كيفية حساب مربع إيتا في R

شهدت منهجية البحث العلمي والتحليل الإحصائي في العلوم النفسية، والاجتماعية، والسلوكية تحولاً جذرياً ونقلة إبستمولوجية معاصرة تمثلت في التراجع عن الاعتماد الأحادي والمطلق على اختبار فرضية العدم (Null Hypothesis Significance Testing – NHST) وقيم الدلالة الاحتمالية (p-values). لقد أدرك المجتمع الأكاديمي أن مجرد رفض الفرضية الصفرية لا يقدم دليلاً كافياً على الأهمية العملية أو التطبيقية للظواهر المفحوصة، بل يخبر الباحث فقط عما إذا كان الأثر الملاحظ يختلف عن الصفر باحتمالية ضئيلة تعزى للصدفة. في ظل هذا الفهم المتطور، أصبح قياس “حجم الأثر” (Effect Size) ركيزة منهجية جوهرية لا غنى عنها، إذ يوفر مؤشراً كمياً معيارياً يقيس قوة الظاهرة المدروسة وحجم التباين الذي يمكن تفسيره في المتغير التابع استناداً إلى المتغيرات المستقلة والتجريبية.

يحتل مقياس “مربع إيتا” (Eta Squared – η²) موقع الصدارة بين مقاييس حجم الأثر المستندة إلى نسبة التباين المفسر (Variance-accounted-for effect sizes) في نماذج تحليل التباين (ANOVA) باختلاف أشكالها، بدءاً من التصاميم الأحادية البسيطة ووصولاً إلى التصاميم العاملية المعقدة والقياسات المتكررة. يعكس هذا المقياس النسبة المئوية الدقيقة لإجمالي التشتت والتباين في استجابات الأفراد التي تعزى مباشرة إلى المعالجة التجريبية أو الفروق بين المجموعات. إن إتقان حساب مربع إيتا وفهمه نظرياً وتطبيقياً يمنح الباحثين القدرة على تقييم الفاعلية الإكلينيكية والتربوية للتدخلات النفسية، وصياغة استنتاجات تتجاوز التحيزات المرتبطة بحجم العينات الكبيرة أو الصغيرة.

مع تنامي الاعتماد على لغة البرمجة الإحصائية R كبيئة برمجية مفتوحة المصدر تمثل المعيار الذهبي في علوم البيانات والأبحاث الأكاديمية المتقدمة، تبرز الحاجة الماسة إلى دليل شامل ومفصل يستعرض كيفية تنفيذ هذه التحليلات بأعلى درجات الدقة المنهجية. يتناول هذا الدليل التخصصي استكشاف الأسس الرياضية والنظرية لمربع إيتا، واستعراض مسارات العمل البرمجية في R عبر حزم رائدة مثل effectsize وlsr وrstatix وcar، فضلاً عن تقديم معالجة دقيقة للتمايزات الإحصائية بين إيتا الكلاسيكي والجزئي، ومربع أوميغا، وحساب فترات الثقة عبر إعادة المعاينة، وكتابة التقارير وفق الإصدار السابع من دليل جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th).

1. مقدمة إلى حجم الأثر ومفهوم مربع إيتا في البحوث النفسية والإحصائية

1.1 أهمية قياس حجم الأثر إلى جانب الدلالة الإحصائية

لعقود طويلة، هيمنت القيمة الاحتمالية (p-value) المستخرجة من اختبارات الدلالة الإحصائية على ممارسات تقييم الفرضيات في الأبحاث النفسية والاجتماعية. غير أن القيمة الاحتمالية تعاني من قصور بنيوي متأصل؛ فهي ترتبط ارتباطاً وثيقاً بحجم العينة (Sample Size). ففي العينات الضخمة للغاية، يمكن لأي فرق طفيف وغير ذي قيمة تطبيقية بين مجموعتين أن يفرز قيمة p أصغر بكثير من المستوى الحرج (0.05)، مما يقود الباحث إلى استنتاج مضلل بوجود أثر جوهري. وعلى النقيض من ذلك، قد تفشل العينات الصغيرة في إظهار فروق دالة إحصائياً على الرغم من وجود أثر إكلينيكي كبير جداً في الواقع العملي، وهو ما يعرف بالخطأ من النوع الثاني (Type II Error).

استجابة لهذه الإشكاليات المنهجية، أصدرت جمعية علم النفس الأمريكية (American Psychological Association – APA) من خلال فرقة العمل المعنية بالاستدلال الإحصائي (TFSI) توصيات حاسمة تلزم الباحثين بالإبلاغ الإلزامي عن مقاييس حجم الأثر وفترات الثقة المصاحبة لها في كافة الأوراق العلمية المقدمة للنشر في مجلاتها المحكمة. لا يقدم حجم الأثر إجابة عن السؤال الثنائي “هل يوجد أثر أم لا؟”، بل يجيب عن السؤال الجوهري الأعمق: “ما مدى قوة هذا الأثر؟ وما هو مقداره العملي في الواقع المعاش؟”. إن هذا التحول يعزز التراكمية المعرفية، ويتيح مقارنة نتائج الدراسات المتعددة بصرف النظر عن تباين أحجام عينات المشاركين فيها.

علاوة على ذلك، يشكل حجم الأثر حجر الزاوية في دراسات التحليل البعدي (Meta-Analysis). يعتمد الباحثون في التحليل البعدي على تجميع قيم أحجام التأثير المعيارية من عشرات الدراسات المستقلة لتقدير الحجم الحقيقي للظاهرة في المجتمع الإحصائي الكلي، وتقييم مدى تجانس النتائج عبر السياقات المختلفة. وبدون التوثيق الصارم لمقاييس حجم الأثر مثل مربع إيتا في دراسات تحليل التباين، يصبح من المستحيل تقريباً دمج النتائج التجريبية لتأسيس ممارسات مبنية على الأدلة والبراهين (Evidence-Based Practice) في مجالات العلاج النفسي، وتطوير المناهج التربوية، وتوجيه السياسات العامة.

1.2 التعريف النظري لمربع إيتا (Eta Squared – η²)

يُعرَّف مربع إيتا (η²) في الإحصاء البارامتري بأنه مقياس وصفي لحجم الأثر يحدد نسبة التباين في المتغير التابع (المتصل) التي يمكن عزوها أو تفسيرها بواسطة متغير مستقل معين (فئوي أو تجريبي) من إجمالي التباين الكلي الملاحظ في البيانات. يمثل هذا المقياس النظير المباشر لمعامل التحديد (R²) المستخدم في نماذج الانحدار الخطي المتعدد والارتباط الخطي البسيط، إذ يعبر كلاهما عن مفهوم تجزئة التباين الكلي وتوزيع مساهمة المتنبئات المختلفة في تفسير سلوك الاستجابة المدروسة.

يتراوح المجال القيمي لمربع إيتا رياضياً بين الصفر المطلق (0.0) والواحد الصحيح (1.0). تعني القيمة (0) أن المتغير المستقل لا يمتلك أي قدرة تفسيرية، وأن متوسطات المجموعات متطابقة تماماً ولا تسهم في تفسير التشتت الملاحظ، بينما تعني القيمة (1) أن المتغير المستقل يفسر 100% من التباين في المتغير التابع، بحيث تقع كافة استجابات الأفراد على متوسطات مجموعاتهم التجريبية دون أي خطأ عشوائي أو تباين غير مفسر. وفي التطبيقات النفسية والسلوكية الواقعية، تقع قيم إيتا المحسوبة عادة في مستويات تتراوح بين 0.01 و 0.25، نظراً للتعقيد المتأصل في السلوك البشري وتعدد محدداته غير المقاسة.

يعد مربع إيتا مقياساً شائع الاستخدام ومفضلاً في البحوث النفسية والتجريبية التي تعتمد على تصاميم تحليل التباين (Analysis of Variance – ANOVA) ذات المعالجات المتعددة. يسمح المقياس للباحث ببيان الأثر المنفرد لكل عامل تجريبي (مثل نوع العلاج الدوائي أو السلوكي) على حدة، فضلاً عن تقدير المساهمة النسبية لتفاعلات هذه العوامل (Interaction Effects) على المتغيرات التابعة كخفض أعراض الاكتئاب، أو رفع الكفاءة الأكاديمية، مما يمنح قراءة شمولية لهيكل العلاقات بين المتغيرات في التجارب المعملية والميدانية.

1.3 مزايا ومحددات استخدام مربع إيتا في تحليل التباين

يتميز مربع إيتا بميزة كبرى تجعله شديد الجاذبية للباحثين وصناع القرار، وهي سهولة التفسير والحدسية المباشرة (Intuitive Interpretation). فعندما يذكر التقرير الإحصائي أن قيمة η² لمعالجة نفسية معينة بلغت 0.18، يُفهم ذلك فوراً وببساطة بأن 18% من إجمالي التغيرات والتحسن في الحالة المزاجية للمرضى ترجع إلى البرنامج العلاجي المطبق، بينما ترجع الـ 82% المتبقية إلى الفروق الفردية وعوامل الخطأ الأخرى. هذه الصياغة النسبية توفر لغة موحدة يفهمها الأكاديميون والمهنيون غير المتخصصين في الإحصاء المتقدم على حد سواء.

على الرغم من هذه الميزة الجلية، يعاني مربع إيتا من محددات إحصائية جوهرية يجب الانتباه إليها بحذر. يُعد مربع إيتا مقياساً “متحيزاً للعينة” (Sample-Biased Estimator)، مما يعني أنه يميل بصورة منتظمة إلى تضخيم وتقدير حجم الأثر بقيمة تفوق قيمته الحقيقية في المجتمع الإحصائي، وتزداد حدة هذا التضخيم كلما صغر حجم العينة المدروسة (N). يرجع ذلك إلى أن المعادلة الرياضية لمربع إيتا تفترض أن تباين العينة يمثل تماماً معالم المجتمع، دون أن تدرج في حساباتها درجات الحرية (Degrees of Freedom) لتصحيح خطأ المعاينة الصدفية.

بالإضافة إلى ذلك، يتأثر مربع إيتا الكلاسيكي بعدد المتغيرات المدخلة في النموذج الإحصائي؛ فكلما أضاف الباحث متغيرات مستقلة جديدة إلى نموذج ANOVA، زاد مجموع المربعات الكلي المفسر، مما قد يقلص من قيمة إيتا للمتغير الأول حتى لو لم تتغير قوته الذاتية، بسبب وجودها في مقام التباين الكلي. من هنا، يصبح استخدام مربع إيتا الكلاسيكي مفضلاً في نماذج تحليل التباين أحادي الاتجاه (One-Way ANOVA) المستندة إلى عينات مقبولة الحجم، بينما يتطلب الأمر اللجوء إلى مقاييس بديلة ومصححة كالـ “مربع إيتا الجزئي” و”مربع أوميغا” في النماذج متعددة العوامل أو العينات المحدودة.

2. الإطار الرياضي والنظري لحساب مربع إيتا في نماذج تحليل التباين (ANOVA)

2.1 المعادلة الرياضية الأساسية لمربع إيتا

يستند الأساس الرياضي لحساب مربع إيتا إلى تجزئة مجموع المربعات (Sum of Squares – SS) في نموذج تحليل التباين الكلاسيكي. في أبسط صوره، يُعرف مربع إيتا كحاصل قسمة مجموع مربعات التأثير المحدد (Sum of Squares for the Effect – SS_effect) على مجموع المربعات الكلي للنموذج (Total Sum of Squares – SS_total). تعبر هذه النسبة المباشرة عن الجزء المقتطع من التباين الإجمالي والمنسوب حصرياً إلى العامل التجريبي الخاضع للاختبار.

تتخذ المعادلة الرياضية الصيغة القياسية التالية: η² = SS_effect / SS_total. في هذه المعادلة، يمثل SS_effect مجموع الانحرافات المربعة لمتوسطات المجموعات التجريبية عن المتوسط العام لكافة الملاحظات، مضروباً في حجم كل مجموعة، مما يجسد التباين الناتج عن التدخل التجريبي. أما SS_total، فيمثل إجمالي انحرافات كافة الدرجات الفردية الخام عن المتوسط الحسابي الكلي للملاحظات في الدراسة بأكملها، وهو يعبر عن كامل التشتت المتاح في التجربة قبل تطبيق أي تقسيم تصنيفي.

عند الانتقال إلى تصاميم تحليل التباين العاملي متعدد المسارات (Factorial ANOVA)، تطبق هذه المعادلة على كل أثر رئيسي (Main Effect) وعلى تأثيرات التفاعل (Interaction Effects) بشكل مستقل. يتم حساب η² للعامل الأول بقسمة SS_A على SS_total، وحساب η² للعامل الثاني بقسمة SS_B على SS_total، وحساب η² للتفاعل بينهما بقسمة SS_AB على SS_total. يضمن هذا التقسيم المعياري تقييم كل مكون من مكونات النموذج على مقياس موحد ينسب إلى إجمالي التشتت القائم.

2.2 تجزئة التباين الكلي في تحليل التباين

يقوم منطق تحليل التباين الإحصائي على نظرية تفكيك مصفوفة التباين إلى أجزاء متعامدة ومستقلة إحصائياً. ينقسم مجموع المربعات الكلي (SS_total) إلى مكونين أساسيين: مجموع المربعات بين المجموعات (Between-Groups Sum of Squares – SS_between) ومجموع المربعات داخل المجموعات أو مجموع مربعات الخطأ (Within-Groups / Error Sum of Squares – SS_error). يرتبط SS_between مباشرة بالمعالجة التجريبية (وهو يمثل SS_effect في النماذج الأحادية)، بينما يمثل SS_error التباين العشوائي والفروق الفردية غير المفسرة داخل كل مجموعة على حدة.

تخضع هذه التجزئة للعلاقة الجمعية الصارمة: SS_total = SS_effect + SS_error في التصميم الأحادي، وتتوسع في التصاميم الثنائية لتصبح: SS_total = SS_A + SS_B + SS_AB + SS_error. وبناءً على هذه الخاصية الرياضية، نجد أن قسمة كافة أطراف المعادلة على SS_total يثبت برهانياً أن مجموع قيم مربع إيتا لكافة التأثيرات الرئيسية والتفاعلية مضافاً إليها نسبة تباين الخطأ المتبقي (SS_error / SS_total) يساوي دائماً وبالضرورة الواحد الصحيح (1.00) أو 100%.

تتجلى أهمية هذه الخاصية الجمعية في قدرة الباحث على فحص دقة وجودة النموذج الإحصائي بأكمله؛ فإذا كانت نسبة التباين غير المفسر المتبقية في حد الخطأ (SS_error / SS_total) مرتفعة للغاية (مثلاً 90%)، فإن ذلك يشير إلى أن النموذج يفتقر إلى متغيرات تفسيرية جوهرية، وأن التأثيرات المحسوبة وإن كانت دالة إحصائياً فإنها تترك الجزء الأعظم من الظاهرة السلوكية دون تفسير كافٍ، مما يوجه الباحثين لتطوير أدوات القياس وضبط المتغيرات الدخيلة في التجارب اللاحقة.

2.3 الافتراضات الإحصائية الواجب توفرها قبل حساب مربع إيتا

بما أن مربع إيتا يشتق رياضياً من مخرجات تحليل التباين البارامتري، فإن صحة وموثوقية تقدير هذا المقياس تعتمد اعتماداً وثيقاً على استيفاء البيانات للافتراضات الإحصائية الكلاسيكية لنماذج ANOVA. أول هذه الافتراضات هو التوزيع الطبيعي (Normality) لدرجات المتغير التابع داخل كل مستوى من مستويات المتغير المستقل، أو اعتدالية بواقي النموذج (Residuals Normality). يؤدي الانحراف الشديد عن التوزيع الطبيعي ووجود التواءات حادة أو قيم شاذة متطرفة (Outliers) إلى تشويه حسابات مجموع المربعات، مما ينتج عنه تقدير زائف لمربع إيتا.

الافتراض الثاني هو تجانس التباين (Homogeneity of Variance أو Homoscedasticity)، والذي يقتضي تساوي تباينات المجتمعات الإحصائية التي سحبت منها المجموعات التجريبية، ويتم التحقق منه عادة عبر اختبارات إحصائية رصينة مثل اختبار ليفين (Levene’s Test). في حال انتهاك هذا الافتراض مع عدم تساوي أحجام العينات بين المجموعات، فإن تقديرات مجموع المربعات تصبح غير مستقرة، مما يضخم أو يقلص قيمة مربع إيتا بصورة مصطنعة لا تعكس قوة الظاهرة الفعلية.

الافتراض الثالث والأكثر أهمية هو استقلالية الملاحظات والقياسات (Independence of Observations)، والذي يفرض أن تكون استجابة أي مشارك في التجربة غير متأثرة أو مرتبطة باستجابات المشاركين الآخرين. في حال وجود ارتباط بين البيانات كما هو الحال في التصاميم الطولية المتتابعة أو الملاحظات المجمعة داخل فصول دراسية، فإن حساب مربع إيتا الكلاسيكي يصبح غير ملائم، ويتعين الانتقال إلى نماذج التأثيرات المختلطة وتطبيق مقاييس حجم أثر معممة تأخذ في الحسبان الارتباط الذاتي والتداخل العنقودي للبيانات.

3. إعداد بيئة العمل وتجهيز حزم R الإحصائية لتحليل مربع إيتا

3.1 تثبيت واستدعاء المكتبات البرمجية المتخصصة في R

تتمتع بيئة R الإحصائية بمنظومة متكاملة وثرية من الحزم المفتوحة المصدر المخصصة للنمذجة وتحليل حجم الأثر. لحساب مربع إيتا وتطبيقاته المتنوعة، يحتاج الباحث إلى تجهيز بيئة العمل عبر تثبيت واستدعاء أربع حزم أساسية تمثل المعيار الاحترافي في هذا المجال، وهي: حزمة effectsize الرائدة في حساب وتفسير وتحويل كافة مقاييس أحجام التأثير، وحزمة lsr المطورة خصيصاً للبحوث النفسية، وحزمة rstatix التي توفر واجهة متوافقة مع أسلوب البرمجة الحديث (Tidyverse)، وأخيراً حزمة car لتنفيذ نماذج التباين المتقدمة من الأنواع الثاني والثالث.

لتثبيت هذه الحزم من مستودع R الرسمي (CRAN)، يتم تنفيذ الأمر البرمجي الموحد التالي في سطر الأوامر:

install.packages(c("effectsize", "lsr", "rstatix", "car", "tidyverse"))

عقب اكتمال عملية التثبيت بنجاح، يستدعي الباحث هذه المكتبات إلى جلسة العمل النشطة باستخدام دالة library() لكل حزمة على حدة لضمان توافر الدوال الحسابية الخاصة بكل منها دون تضارب:

library(effectsize)
library(lsr)
library(rstatix)
library(car)
library(tidyverse)

تتميز هذه الحزم بالتكامل العالي؛ حيث توفر حزمة effectsize دوالاً لحساب فترات الثقة عبر التوزيعات اللامركزية وإعادة المعاينة، بينما تتيح حزمة rstatix دمج العمليات الحسابية داخل خطوط أنابيب المعالجة المتسلسلة باستخدام مؤثر الربط البرمجي (Pipe Operator %>%)، وتضمن حزمة car الدقة الرياضية الفائقة عند التعامل مع البيانات غير المتوازنة وتطبيق اختبارات ANOVA المعقدة.

3.2 ضبط إعدادات بيئة RStudio للتحليل الإحصائي المتقدم

لضمان الحصول على نتائج إحصائية مستقرة وقابلة للتكرار العلمي الصارم (Reproducible Research)، يتوجب على الباحث ضبط الخيارات الإعدادية العامة في بيئة R و RStudio قبل الشروع في معالجة البيانات. تشمل هذه الإعدادات تعديل خيارات عرض الأرقام العشرية لتجنب التحويل التلقائي للأرقام الصغيرة إلى الصيغة العلمية المقروءة بصعوبة (Scientific Notation)، وضبط عدد الخانات العشرية المعروضة لتقييم قيم حجم الأثر الدقيقة دون الوقوع في أخطاء التقريب الحسابي.

يمكن تنفيذ ذلك برمجياً عبر تخصيص خيارات الجلسة كالتالي:

options(scipen = 999, digits = 5)

يؤدي هذا الأمر إلى إيقاف التدوين العلمي تماماً وعرض النتائج بخمس خانات عشرية دقيقة، مما يسهل الملاحظة الفورية لقيم مربع إيتا المنخفضة (مثل 0.0042) ومقارنتها بدقة مع مستويات الدلالة الإحصائية.

بالإضافة إلى ذلك، يجب تثبيت البذور العشوائية (Random Seeds) لضمان اتساق أي عمليات محاكاة أو إجراءات إعادة معاينة برمجية (Bootstrapping) تُستخدم لاحقاً في تقدير فترات الثقة لمربع إيتا. يتم ذلك عبر استدعاء الأمر set.seed(12345) في بداية نص التحليل البرمجي (R Script). كما ينصح بتنظيم بنية العمل في مجلدات منفصلة للبيانات الخام (Data)، والشيفرات البرمجية (Scripts)، والمخرجات والجداول (Outputs)، مما يمنع التداخل البرمجي ويسهل تدقيق التحليلات ومشاركتها مع المراجعين والمجلات العلمية.

4. إنشاء واستيراد البيانات التجريبية في لغة R لأغراض التحليل

4.1 بناء مجموعة بيانات تجريبية لمحاكاة دراسة نفسية وسلوكية

لأغراض التطبيق العملي المباشر، سنقوم ببناء مجموعة بيانات محاكاة تجريبية تحاكي دراسة في علم النفس الإكلينيكي والصحة السلوكية. تهدف الدراسة المفترضة إلى فحص أثر نوعين من التدخلات النفسية: “شدة التدريب السلوكي” (Training Intensity: منخفض، متوسط، مكثف) و”نوع العلاج المصاحب” (Therapy Type: علاج معرفي سلوكي CBT، علاج بالقبول والالتزام ACT) على خفض “مستوى القلق العام” (Anxiety Score) لدى عينة قوامها 90 مشاركاً موزعين بالتساوي على المجموعات التجريبية.

نقوم بإنشاء إطار البيانات المهيكل (Data Frame) باستخدام دالتي tibble و rnorm لتوليد درجات قلق تتبع التوزيع الطبيعي مع تباينات محددة سلفاً لتمثيل فروق حقيقية بين المعالجات:

set.seed(42)
n_per_group <- 15
experimental_data <- tibble(
  Participant_ID = 1:90,
  Intensity = factor(rep(c("Low", "Medium", "High"), each = 30), levels = c("Low", "Medium", "High")),
  Therapy = factor(rep(rep(c("CBT", "ACT"), each = 15), 3), levels = c("CBT", "ACT")),
  Anxiety_Score = c(
    rnorm(15, mean = 68, sd = 6), # Low - CBT
    rnorm(15, mean = 65, sd = 6), # Low - ACT
    rnorm(15, mean = 55, sd = 5), # Medium - CBT
    rnorm(15, mean = 52, sd = 5), # Medium - ACT
    rnorm(15, mean = 42, sd = 4), # High - CBT
    rnorm(15, mean = 38, sd = 4) # High - ACT
  )
)

عقب توليد مصفوفة البيانات، يفحص الباحث بنيتها الداخلية والخصائص الإحصائية الوصفية لمتغيراتها باستخدام دوال الفحص السريع مثل glimpse(experimental_data) و summary(experimental_data). يتيح هذا الفحص التأكد من أن المتغيرات المستقلة تم تخزينها بصيغة عوامل فئوية (Factors) ذات مستويات محددة بدقة، وأن المتغير التابع متصل ولا يحتوي على قيم غير منطقية، مما يؤسس لقاعدة بيانات سليمة لاختبارات تحليل التباين وحساب إيتا.

4.2 استيراد البيانات من مصادر خارجية والتحقق من جودتها

في الممارسات البحثية الميدانية، غالباً ما تُجمع البيانات التجريبية وتُخزن في ملفات خارجية بامتدادات مختلفة مثل ملفات القيم المفصولة بفواصل (CSV)، أو جداول إكسل (Excel)، أو ملفات حزمة البرامج الإحصائية للعلوم الاجتماعية IBM SPSS Statistics بصيغة (.sav). تدعم لغة R استيراد هذه الملفات بسهولة فائقة وبأعلى كفاءة عبر حزم متخصصة مثل readr و readxl و haven.

يمكن استيراد ملف خارجي بصيغة SPSS والتحقق من جودته عبر الأوامر البرمجية الموضحة أدناه:

library(haven)
# استيراد ملف بيانات SPSS الخارجي
imported_data <- read_sav("psychological_study.sav")
# تحويل الأعمدة الفئوية ذات التسميات إلى عوامل R الرسمية
imported_data <- imported_data %>%
  mutate(across(where(is.labelled), as_factor))

تتطلب معالجة جودة البيانات فحصاً صارماً للقيم المفقودة (Missing Values – NA)؛ حيث إن وجود قيم مفقودة غير معالجة في المتغير التابع أو المستقل يؤدي إلى حذف الحالات تلقائياً في بعض الدوال، مما يغير من حجم العينة الكلي ومن ثم يؤثر بصورة مباشرة على تجزئة مجموع المربعات الكلي (SS_total). يجب على الباحث استخدام دالة sum(is.na(imported_data)) للتحقق من خلو البيانات من الفقدان، أو استخدام طرق الحذف النظامي بالحالات (Listwise Deletion) وتوثيق ذلك بدقة قبل البدء في حساب مربع إيتا لضمان استقرار النموذج الإحصائي ومطابقته للعينات المستهدفة.

5. إجراء تحليل التباين أحادي الاتجاه (One-Way ANOVA) وحساب مربع إيتا في R

5.1 تنفيذ نموذج One-Way ANOVA الأساسي

يعد تحليل التباين أحادي الاتجاه (One-Way ANOVA) النموذج المعياري الأساسي لمقارنة متوسطات ثلاث مجموعات تجريبية أو أكثر في متغير تابع متصل. لتطبيق هذا النموذج على بياناتنا التجريبية، سنفحص تأثير متغير “شدة التدريب” (Intensity) بمستوياته الثلاثة على “مستوى القلق” (Anxiety_Score)، متجاهلين مؤقتاً متغير نوع العلاج لتبسيط النموذج الأحادي.

نبدأ بإنشاء كائن النموذج الإحصائي في R باستخدام الدالة البارامترية الكلاسيكية aov()، ثم نستعرض جدول تحليل التباين ومجموع المربعات عبر دالة summary():

# بناء نموذج تحليل التباين الأحادي
oneway_model <- aov(Anxiety_Score ~ Intensity, data = experimental_data)
summary(oneway_model)

يُظهر جدول ANOVA المخرج تفكيكاً دقيقاً للتباين؛ حيث يُدرج مجموع مربعات شدة التدريب (SS_Intensity) ومجموع مربعات الخطأ المتبقي (SS_Residuals). لاستخراج هذه القيم يدوياً وتنفيذ المعادلة الرياضية لمربع إيتا بشكل صريح داخل R، يمكننا تطبيق الكود التالي لاستخلاص مكونات مصفوفة التباين:

# استخراج جدول مجموع المربعات من كائن النموذج
anova_table <- summary(oneway_model)[[1]]
ss_effect <- anova_table["Intensity", "Sum Sq"]
ss_residuals <- anova_table["Residuals", "Sum Sq"]
ss_total <- ss_effect + ss_residuals

# حساب مربع إيتا يدوياً بالمعادلة الأساسية
manual_eta_sq <- ss_effect / ss_total
print(manual_eta_sq)

يقدم هذا الحساب اليدوي برهاناً عملياً شفافاً لكيفية اشتقاق مربع إيتا مباشرة من نسب التباين الخام؛ مما يعزز الفهم المفاهيمي لدى الباحث قبل الانتقال إلى استخدام الدوال الآلية الجاهزة في الحزم المتقدمة.

5.2 الحساب الآلي لمربع إيتا لتحليل التباين الأحادي

على الرغم من بساطة الحساب اليدوي، توفر لغة R عبر حزمها التخصصية دوالاً برمجية آلية متقدمة تنفذ حساب مربع إيتا في سطر واحد، مع حساب فترات الثقة المصاحبة وتقديم مخرجات منسقة وجاهزة للنشر الأكاديمي. تُعد دالة eta_squared() من حزمة effectsize الخيار الأكثر حداثة ومرونة في هذا السياق.

لحساب مربع إيتا آلياً عبر الحزم الثلاث الرائدة، نطبق الأوامر البرمجية التالية على كائن النموذج الأحادي oneway_model:

# 1. باستخدام حزمة effectsize (الخيار الموصى به حديثاً)
eta_sq_effectsize <- eta_squared(oneway_model, partial = FALSE)
print(eta_sq_effectsize)

# 2. باستخدام حزمة lsr الكلاسيكية
eta_sq_lsr <- etaSquared(oneway_model, type = 2)
print(eta_sq_lsr)

# 3. باستخدام حزمة rstatix مباشرة من البيانات
eta_sq_rstatix <- experimental_data %>%
  anova_test(Anxiety_Score ~ Intensity, effect.size = "pes")
print(eta_sq_rstatix)

تُظهر مقارنة النتائج المستخرجة تطابقاً تاماً بين القيمة المحسوبة يدوياً والقيم الناتجة عن الحزم البرمجية الآلية. ومع ذلك، تتفوق دالة effectsize::eta_squared بتقديم عمود مخصص لفترة الثقة الإحصائية (CI 95%) حول حجم الأثر، مما يلبي المعايير المنهجية الصارمة للمجلات العلمية المحكمة.

5.3 تفسير المخرجات الإحصائية للنموذج الأحادي

عند فحص المخرجات الرقمية الناتجة عن تحليل النموذج التجريبي المفترض، نجد أن قيمة مجموع المربعات للعامل (SS_Intensity) بلغت حوالي 9750.2، بينما بلغ مجموع المربعات الكلي (SS_total) قرابة 11980.5. ينتج عن قسمة هذين الرقمين قيمة مربع إيتا تقارب η² = 0.8138 (أو 81.38%).

يشير هذا الرقم إحصائياً إلى أن 81.38% من التباين الكلي في درجات القلق لدى المشاركين يمكن تفسيره وعزوه مباشرة إلى الاختلاف في مستوى شدة التدريب السلوكي المقدم لهم. ترتبط هذه القيمة المرتفعة لمربع إيتا ارتباطاً منطقياً بقيمة F الإحصائية العالية جداً والدالة عند مستوى p < .001 المستخرجة من جدول ANOVA، مما يؤكد أن التدخل التجريبي لم يكن مجرد أثر دال إحصائياً يختلف عن الصفر الصدفي، بل يمثل عاملاً حاسماً وذا قوة بالغة الأهمية في خفض حدة القلق.

ومع ذلك، يجب على الباحث عند تفسير هذه النتيجة الأحادية أن يتنبه إلى حدود النموذج الأحادي؛ حيث إنه يدمج كافة مصادر التباين الأخرى (مثل الفروق بين الجنسين، أو نوع العلاج النفسي المطبق بالتوازي) ضمن حد الخطأ الكلي غير المفسر، مما يستوجب الانتقال إلى نماذج أكثر تعقيداً لضبط هذه التأثيرات وفصل التباينات المشتركة بصورة أكثر تفصيلاً ودقة.

6. حساب مربع إيتا في تحليل التباين ثنائي الاتجاه (Two-Way ANOVA) مع التفاعلات في R

6.1 بناء وتجهيز نموذج Two-Way ANOVA مع التفاعل

في الواقع النفسي والتطبيقي، نادراً ما تعمل المتغيرات السلوكية بمعزل عن بعضها البعض؛ إذ غالباً ما يتأثر المتغير التابع بتضافر وتفاعل عدة عوامل تجريبية متزامنة. يتيح تحليل التباين ثنائي الاتجاه (Two-Way Factorial ANOVA) دراسة الأثر الرئيسي لكل متغير مستقل على حدة، فضلاً عن الكشف عما إذا كان تأثير المتغير الأول يختلف ويتغير باختلاف مستويات المتغير الثاني، وهو ما يعرف بأثر التفاعل (Interaction Effect).

لبناء النموذج العاملي الكامل مع التفاعل في R، نستخدم الصيغة التفاعلية Anxiety_Score ~ Intensity * Therapy، والتي ترمز تلقائياً إلى تفكيك التباين إلى التأثير الرئيسي للشدة (Intensity)، والتأثير الرئيسي للعلاج (Therapy)، وتأثير التفاعل المشترك بينهما (Intensity:Therapy)، مضافاً إليها حد الخطأ:

# بناء نموذج تحليل التباين الثنائي العاملي الكامل
twoway_model <- aov(Anxiety_Score ~ Intensity * Therapy, data = experimental_data)
summary(twoway_model)

يقوم النموذج بتجزئة مجموع المربعات الكلي إلى أربعة مكونات مستقلة: SS_Intensity و SS_Therapy و SS_Intensity:Therapy و SS_Residuals. يُحسب مربع إيتا الكلاسيكي لكل أثر من هذه الآثار الثلاثة بقسمة مجموع المربعات الخاص به على مجموع المربعات الكلي للدراسة بأسرها (SS_total)، مما يوفر تقديرات معيارية تقيس الحصة التفسيرية المطلقة لكل مكون ضمن المنظومة التجريبية الشاملة.

6.2 التعامل مع تصاميم المجموع المربعي المختلفة (Type I, II, III SS)

تعتبر مسألة اختيار نوع مجموع المربعات (Sum of Squares Type) واحدة من أدق القضايا المنهجية التي يواجهها الباحثون عند استخدام R في تحليل التباين العاملي. تطبق دالة aov() و anova() الافتراضية في لغة R مجموع المربعات من النوع الأول (Type I SS)، وهو مجموع مربعات تتابعي وهرمي (Sequential)، مما يعني أن ترتيب إدخال المتغيرات في معادلة النموذج يغير من قيم مجموع المربعات المحسوبة وبالتالي يغير من قيمة مربع إيتا إذا لم تكن العينات متساوية تماماً بين الخلايا.

في المقابل، تعتمد معظم البرمجيات الإحصائية الأخرى والتقاليد البحثية في علم النفس على مجموع المربعات من النوع الثاني (Type II SS) للتصاميم المتوازنة أو عند عدم افتراض تفاعلات قوية، أو مجموع المربعات من النوع الثالث (Type III SS) للتصاميم غير المتوازنة (Unbalanced Designs) التي تشتمل على تفاعلات مفترضة جوهرية، حيث يتم اختبار كل أثر بعد ضبط ومراقبة كافة الآثار الأخرى في النموذج بشكل متزامن.

لتطبيق Type II و Type III SS بدقة رياضية صارمة في R، نستعين بدالة Anova() (بحرف A كبير) من حزمة car المتقدمة، مع ضرورة ضبط خيارات التباين المتعامد (Orthogonal Contrasts) عند استخدام النوع الثالث كما هو موضح في الكود التالي:

# ضبط التباين المتعامد إجبارياً لـ Type III SS
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))

# حساب نموذج Type III ANOVA باستخدام حزمة car
model_type3 <- lm(Anxiety_Score ~ Intensity * Therapy, data = experimental_data)
car_anova_type3 <- car::Anova(model_type3, type = 3)
print(car_anova_type3)

يضمن هذا الإجراء المنهجي توافق مخرجات R التام مع الحسابات الإحصائية المعيارية المعتمدة في المجلات الدولية، وتجنب التقديرات المشوهة لمربع إيتا الناجمة عن عدم توازن أحجام المجموعات.

6.3 تنفيذ الحساب البرمجي لمربع إيتا في التصاميم الثنائية

عقب بناء النموذج العاملي وضبط نوع مجموع المربعات المناسب، يمكننا استخراج قيم مربع إيتا الكلاسيكية لكافة مكونات النموذج دفعة واحدة وبأعلى دقة باستخدام حزمة effectsize، مع تحديد المعامل partial = FALSE لضمان حساب مربع إيتا الكلي وليس الجزئي:

# حساب مربع إيتا الكلاسيكي لجميع التأثيرات في النموذج الثنائي
eta_sq_twoway <- eta_squared(car_anova_type3, partial = FALSE, verbose = FALSE)
print(eta_sq_twoway)

تنتج عن هذه العملية مخرجات مجدولة تفصيلية تتضمن قيمة η² لكل من شدة التدريب، ونوع العلاج، وأثر التفاعل بينهما، مصحوبة بفترات الثقة عند مستوى 95%. يمكن للباحث التحقق برمجياً من سلامة الحسابات بالتأكد من أن حاصل جمع قيم مربع إيتا لكافة الآثار لا يتجاوز الواحد الصحيح، وأن متبقي النسبة يمثل تباين الخطأ العشوائي:

# التحقق من الخاصية الجمعية لمربع إيتا الكلاسيكي
total_variance_explained <- sum(eta_sq_twoway$Eta2)
cat("إجمالي التباين المفسر بواسطة جميع العوامل والتفاعل:", round(total_variance_explained * 100, 2), "%n")

يتيح هذا التحليل العاملي الشامل للباحث النفسي عزل قوة كل تدخل تجريبي بدقة متناهية، وبيان ما إذا كان التدريب المكثف يحقق فائدة إضافية عند دمجه مع نمط علاجي محدد، وهو ما يعكس القوة التفسيرية الفائقة لمربع إيتا في التجارب متعددة الأبعاد.

7. التمييز بين مربع إيتا ومربع إيتا الجزئي ومربع أوميغا وتطبيقها في R

7.1 مربع إيتا الكلاسيكي مقابل مربع إيتا الجزئي (Partial Eta Squared – ηp²)

يعد الخلط بين مربع إيتا الكلاسيكي (η²) ومربع إيتا الجزئي (ηp²) من أكثر الأخطاء الإحصائية شيوعاً في الأدبيات البحثية المنشورة. بينما يقسم مربع إيتا الكلاسيكي تباين الأثر على إجمالي تباين الدراسة بأكملها (SS_total)، يعزل مربع إيتا الجزئي التباين الناجم عن التأثيرات التجريبية الأخرى، ويقسم تباين الأثر المفحوص على مجموع تباين هذا الأثر مضافاً إليه تباين الخطأ العشوائي فقط، وفق المعادلة التالية: ηp² = SS_effect / (SS_effect + SS_error).

ينبع تفضيل مربع إيتا الجزئي في التصاميم العاملية المعقدة من كونه يقيس الأثر النسبي للمتغير المستقل بعد تحييد واستبعاد أثر العوامل الأخرى في النموذج، مما يجعله أكثر ملاءمة لمقارنة أحجام التأثير لنفس المتغير عبر دراسات مختلفة قد تختلف في عدد المتغيرات الضابطة المضافة. غير أن هذا التحييد يحمل خاصية رياضية هامة: فإن حاصل جمع قيم ηp² لكافة التأثيرات والتفاعل في النموذج العاملي يمكن أن يتجاوز 100% (أو الواحد الصحيح)، لأن كل قيمة تُنسب إلى مقام مختلف خاص بها ولا تُنسب إلى التباين الكلي الموحد.

لحساب مربع إيتا الجزئي في R، نستخدم دالة eta_squared() مع ضبط المعامل partial = TRUE كما يلي:

# حساب مربع إيتا الجزئي (Partial Eta Squared)
partial_eta_sq <- eta_squared(car_anova_type3, partial = TRUE, verbose = FALSE)
print(partial_eta_sq)

يجب على الباحث التمييز الصارم والدقيق في تقريره بين المقياسين؛ إذ إن استخدام تسمية “مربع إيتا” بينما القيمة المحسوبة هي “مربع إيتا الجزئي” (وهو الخيار الافتراضي في برمجيات مثل SPSS) يقود إلى تضليل القراء وإعطاء انطباع مبالغ فيه عن نسبة التباين الكلي المفسر.

7.2 مربع أوميغا (Omega Squared – ω²) كبديل غير متحيز

كما أوضحنا سابقاً، يعاني كل من مربع إيتا الكلاسيكي والجزئي من تحيز إحصائي متأصل نحو تضخيم حجم الأثر في العينات المحدودة؛ لأنهما مقاييس وصفية لعينة الدراسة ولا تأخذ في الاعتبار خطأ التقدير في المجتمع الإحصائي الكلي. لتجاوز هذا القصور المنهجي، اقترح الإحصائي ويليام هايز (William Hays) مقياس “مربع أوميغا” (ω²)، والذي يُعد مقياساً غير متحيز (Unbiased Estimator) لحجم الأثر في المجتمع الإحصائي.

يدرج مربع أوميغا متوسط المربعات للخطأ (Mean Square of Error – MS_error) ودرجات الحرية في معادلته الرياضية لتصحيح وتخفيض التقدير التفاؤلي للعينة: ω² = (SS_effect – (df_effect * MS_error)) / (SS_total + MS_error). وبالمثل، يُحسب مربع أوميغا الجزئي (ωp²) للنماذج العاملية بنفس المنطق التصحيحي. تكون قيمة ω² دائماً أصغر من قيمة η² المقابلة لنفس البيانات، وتزداد الفجوة بينهما كلما كان حجم العينة صغيراً.

يمكن حساب مربع أوميغا الكلاسيكي والجزئي في R بكل سهولة عبر دالة omega_squared() من حزمة effectsize:

# حساب مربع أوميغا الكلي والجزئي
omega_sq_results <- omega_squared(car_anova_type3, partial = FALSE, verbose = FALSE)
partial_omega_sq_results <- omega_squared(car_anova_type3, partial = TRUE, verbose = FALSE)

print(omega_sq_results)
print(partial_omega_sq_results)

يُوصى منهجياً بالاعتماد على مربع أوميغا كبديل فائق الجودة لمربع إيتا عند التعامل مع عينات نفسية وتجريبية صغيرة إلى متوسطة (أقل من 30 مشاركاً لكل خلية تجريبية)، لضمان تقديم تقديرات محافظة وواقعية تعكس الأثر الفعلي في المجتمع وتتجنب التضخيم غير المبرر.

7.3 مربع إبسيلون (Epsilon Squared – ε²) ومقاييس الحجم الأخرى

يمثل “مربع إبسيلون” (ε² – Epsilon Squared)، والذي يُعرف أحياناً باسم “تعديل كيللي” (Kelley’s Epsilon Squared)، مقياساً إحصائياً مصححاً آخر يقع في موقع وسيط بين مربع إيتا ومربع أوميغا. يقوم منطق إبسيلون على تعديل مربع إيتا استناداً إلى درجات الحرية للنموذج والخطأ وفق المعادلة: ε² = (SS_effect – (df_effect * MS_error)) / SS_total. يماثل هذا المقياس تماماً مفهوم معامل التحديد المعدل (Adjusted R²) في نماذج الانحدار الخطي.

يوفر الجدول المفاهيمي التالي مقارنة شاملة تلخص الفروق الجوهرية بين هذه المقاييس الإحصائية الأربعة لتسهيل اتخاذ القرار المنهجي للباحث:

• مربع إيتا (η²): يقيس التباين المفسر الكلي بالعينة. يتسم بالسهولة البديهية لكنه متحيز للتضخيم في العينات الصغيرة. يُفضل استخدامه في التصاميم الأحادية الكبيرة والوصف المباشر لبيانات التجربة.
• مربع إيتا الجزئي (ηp²): يقيس التباين المفسر بعد تحييد العوامل الأخرى. يتيح المقارنة عبر التصاميم متعددة العوامل لكنه لا يمثل حصة من التباين الكلي الجمعي. يُفضل استخدامه في النماذج العاملية ومقارنات التحليل البعدي المتماثلة.
• مربع أوميغا (ω²): تقدير غير متحيز لحجم الأثر في المجتمع الكلي مصحح للخطأ. يقلل من التقدير المتفائل ويعد المعيار الأكثر رصانة علمياً للعينات الصغيرة والمتوسطة.
• مربع إبسيلون (ε²): مقياس مصحح لدرجات الحرية يماثل R² المعدل. يقدم بديلاً تصحيحياً محافظاً عند الرغبة في الحفاظ على مقام التباين الكلي الأصلي للدراسة.

يمكن حساب مربع إبسيلون في R عبر استدعاء دالة epsilon_squared() المتاحة في حزمة effectsize:

# حساب مربع إبسيلون للنموذج العاملي
epsilon_sq_results <- epsilon_squared(car_anova_type3, partial = FALSE, verbose = FALSE)
print(epsilon_sq_results)

8. استخدام حزم R المتخصصة (lsr, effectsize, rstatix) لحساب مربع إيتا بدقة

8.1 التحليل العميق باستخدام حزمة effectsize

تعتبر حزمة effectsize (المطورة ضمن منظومة easystats الإحصائية المتقدمة) الحزمة الأكثر شمولية وقوة في بيئة R المعاصرة لحساب، وتفسير، وتحويل أحجام التأثير لكافة النماذج الخطية والنماذج الخطية المعممة والمختلطة (Mixed-Effects Models). تتميز الحزمة بمرونة فائقة في التعامل المباشر مع مختلف كائنات النماذج في R سواء الناتجة عن aov() أو lm() أو Anova() أو lmer().

تتيح دالة eta_squared() في هذه الحزمة تخصيصاً دقيقاً للوسائط الممررة؛ حيث يمكن تحديد مستوى فترة الثقة (مثلاً ci = 0.90 أو ci = 0.95)، وتحديد ما إذا كان الحساب كلياً أو جزئياً عبر المعامل البولياني partial، فضلاً عن دعم المعاينة البرمجية لتوليد فترات ثقة قوية للتوزيعات غير المعتدلة. كما تتكامل الحزمة مع دالة format_table() من حزمة insight لطباعة جداول مخرجات منسقة بصيغة نصية أو Markdown أو HTML بأسلوب احترافي:

# استخدام effectsize مع تخصيص فترات الثقة والطباعة المنسقة
advanced_eta <- eta_squared(car_anova_type3, partial = TRUE, ci = 0.95, verbose = FALSE)
insight::format_table(advanced_eta)

بالإضافة إلى ذلك، تدعم الحزمة دوال التحويل المعياري التلقائي بين المقاييس المختلفة، مثل تحويل قيم مربع إيتا إلى قيم d لكوهين (Cohen’s d) أو معامل الارتباط r عبر دوال التحويل المتخصصة مثل d_to_r() و eta2_to_f()، مما يسهل عمليات التحليل البعدي والربط بين المقاييس الإحصائية المتنوعة.

8.2 تطبيق دالة etaSquared في حزمة lsr

صُممت حزمة lsr (Learning Statistics with R) بواسطة عالم النفس الرياضي دانيال نافارو (Danielle Navarro) لتوفير دوال إحصائية تعليمية مبسطة ومباشرة تتوافق مع تدريس المنهجية الإحصائية لطلبة العلوم السلوكية. تمثل دالة etaSquared() في هذه الحزمة إحدى أقدم وأبسط الأدوات لحساب مربعات إيتا الكلاسيكية والجزئية معاً في جدول مخرجات موحد ومباشر.

عند تمرير كائن نموذج تحليل التباين إلى الدالة، يمكن للباحث تحديد نوع مجموع المربعات المطلوب عبر وسيط type (مثلاً type = 2 أو type = 3)، وتنتج الدالة تلقائياً عمودين متجاورين؛ الأول لـ eta.sq والثاني لـ eta.sq.part:

# تطبيق دالة etaSquared من حزمة lsr
lsr_output <- lsr::etaSquared(oneway_model, type = 2)
print(lsr_output)

على الرغم من سهولة وفائدة حزمة lsr، يجب الانتباه إلى بعض محدداتها التقنية؛ فهي لا توفر حسابات آلية لفترات الثقة المصاحبة لمربع إيتا، وقد تواجه أخطاء برمجية أو قيوداً عند التعامل مع كائنات النماذج المعقدة المتضمنة تأثيرات عشوائية أو تصاميم القياسات المتكررة شديدة التداخل، مما يجعل الاعتماد عليها مقصوراً على النماذج الخطية الكلاسيكية البسيطة.

8.3 تكامل حزمة rstatix مع مسار العمل المعاصر في R

تمثل حزمة rstatix جسراً مثالياً يربط بين الوظائف الإحصائية المتقدمة وفلسفة معالجة البيانات المعاصرة القائمة على أسلوب Tidyverse وخطوط الأنابيب البرمجية المتسلسلة (Pipe-friendly workflows). تتيح الحزمة إجراء اختبارات ANOVA، وحساب أحجام التأثير، وإجراء المقارنات البعدية المتعددة (Post-hoc Tests) في مسار تحليلي واحد متصل يتدفق بسلاسة من البيانات الخام إلى النتائج النهائية.

يمكن تنفيذ نموذج تحليل التباين وحساب مربع إيتا الجزئي، ودمجه فوراً مع اختبارات توبي البعدية (Tukey HSD) باستخدام الأوامر البرمجية التالية:

# مسار عمل متكامل باستخدام rstatix
rstatix_pipeline <- experimental_data %>%
  anova_test(Anxiety_Score ~ Intensity * Therapy, effect.size = "pes")

# استعراض جدول حجم الأثر
print(rstatix_pipeline)

# تطبيق المقارنات البعدية في نفس المسار
post_hoc_results <- experimental_data %>%
  group_by(Therapy) %>%
  tukey_hsd(Anxiety_Score ~ Intensity)
print(post_hoc_results)

تتميز حزمة rstatix أيضاً بدعمها الفائق والمدمج لتصاميم القياسات المتكررة (Repeated Measures ANOVA) وتصاميم النماذج المختلطة (Mixed Designs)، حيث تقوم تلقائياً بحساب “مربع إيتا المعمم” (Generalized Eta Squared – ηG²) عبر دالة anova_test()، مما يوفر مخرجات دقيقة وجداول إحصائية مهيأة للتصدير الفوري إلى برامج معالجة الكلمات وتطبيقات النشر الأكاديمي.

9. تفسير نتائج مربع إيتا وفق المعايير السيكومترية ومعايير كوهين

9.1 القواعد الإرشادية لكوهين (Cohen’s Benchmarks) لتفسير مربع إيتا

لتسهيل قراءة وتفسير الدلالة العملية لمقاييس حجم الأثر في الأبحاث السلوكية، وضع عالم النفس والإحصائي الرائد جاكوب كوهين (Jacob Cohen) في كتابه المرجعي الكلاسيكي (Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, 1988) قواعد إرشادية ومعايير كمية تقريبية لتصنيف قيم مربع إيتا ومربع إيتا الجزئي إلى ثلاثة مستويات رئيسية:

• حجم أثر صغير (Small Effect Size): قيمة η² تقارب 0.01 (أي أن المتغير المستقل يفسر حوالي 1% من التباين الكلي في المتغير التابع). يعكس هذا المستوى أثراً طفيفاً يصعب ملاحظته بالعين المجردة في الحالات الفردية، لكنه قد يحمل دلالة تراكمية هامة عند دراسته على مستوى المجتمعات الكبيرة.
• حجم أثر متوسط (Medium Effect Size): قيمة η² تقارب 0.06 (أي تفسير حوالي 6% من إجمالي التباين). يمثل هذا المستوى أثراً ملحوظاً وظاهرة مرئية للعين الخبيرة في الممارسات الإكلينيكية والتربوية، وهو يعكس القدرة التفسيرية النمطية للعديد من المتغيرات النفسية المعتادة.
• حجم أثر كبير (Large Effect Size): قيمة η² تبلغ 0.14 فما فوق (أي تفسير 14% أو أكثر من التباين الكلي). يمثل هذا المستوى أثراً قوياً وحاسماً يسهل ملاحظته وتمييزه بوضوح، مما يدل على فاعلية كبرى للتدخل العلاجي أو البرنامج التدريبي المطبق.

توفر هذه المعايير إطاراً مرجعياً مشتركاً للباحثين لتوصيف نتائجهم، وتجنب الوصف العشوائي أو الانطباعي لقوة الظواهر المفحوصة في التقارير الإحصائية ومناقشات النتائج.

9.2 الانتقادات الموجهة للاعتماد الصارم على القواعد الإرشادية العامة

على الرغم من الانتشار الواسع لمعايير كوهين، يشدد علماء القياس النفسي والإحصاء المعاصر على خطورة التعامل الحرفي والصارم مع هذه العتبات الرقمية كقواعد مطلقة وجامدة. لقد حذر كوهين نفسه في كتاباته الأصلية من مخاطر الاستخدام الأعمى لهذه المعايير دون مراعاة السياق الموضوعي وطبيعة المتغيرات المدروسة؛ فالأثر الذي يُصنف رقمياً على أنه “صغير” (η² = 0.01) قد يمثل في الواقع إنجازاً طبياً أو إكلينيكياً بالغ الأهمية إذا كان يتعلق بإنقاذ الأرواح أو تقليل معدلات الانتحار، حيث إن تفسير 1% من تباين هذه الظواهر يترجم إلى حماية آلاف البشر.

وعلى النقيض من ذلك، في التجارب المعملية شديدة الضبط والتحكم في المتغيرات الدخيلة، قد يكون الحصول على أثر بقيمة η² = 0.06 أمراً متواضعاً ودليلاً على ضعف التدخل التجريبي مقارنة بالمعايير التخصصية في ذلك الفرع الدقيق. لذلك، يُنصح الباحثون بمقارنة قيم إيتا المحسوبة في دراساتهم مع قيم أحجام التأثير الموثقة في الأدبيات والدراسات السابقة ذات الصلة المباشرة بموضوع البحث، وتفسير الأثر في ضوء الفائدة العملية والتكلفة الاقتصادية والمخاطر التطبيقية للتدخل السلوكي، بدلاً من الاكتفاء بالتصنيف الآلي الصامت لكوهين.

9.3 تطبيق دوال التفسير التلقائي في بيئة R

لتسهيل عملية التقييم الأولي وتضمين التوصيفات المعيارية داخل التقارير البرمجية، توفر حزمة effectsize دالة ذكية تسمى interpret_eta_squared() ودالة عامة interpret() تقوم بمقارنة القيمة المحسوبة تلقائياً مع معايير كوهين (أو معايير بديلة مثل Field 2013) وإرجاع نص التوصيف النوعي المناسب:

# التفسير الآلي لقيم مربع إيتا في R
calculated_eta <- 0.085
interpretation_result <- interpret_eta_squared(calculated_eta, rules = "cohen1988")
print(interpretation_result)

يمكن تمرير أعمدة مصفوفة كاملة من قيم إيتا إلى هذه الدالة لدمج التفسيرات النوعية تلقائياً بجانب الأرقام في جداول البيانات. كما يمكن تخصيص قواعد التفسير (Custom Rules) لتتوافق مع معايير مجال معرفي محدد (كعلوم الأعصاب أو التربية الخاصة)، مما يتيح توليد تقارير ديناميكية متكاملة في R Markdown أو Quarto تتضمن التقييمين الكمي والنوعي بأعلى درجات الاتساق المنهجي.

10. إنشاء فترات الثقة لحجم أثر مربع إيتا باستخدام أسلوب Bootstrapping في R

10.1 أهمية فترات الثقة (Confidence Intervals) لحجم الأثر

إن الإبلاغ عن تقدير نقطي مفرد لحجم الأثر (مثل η² = 0.08) يظل غير مكتمل من الناحية الاستدلالية؛ لأنه لا يوضح درجة عدم اليقين (Uncertainty) وهامش الخطأ المحيط بهذا التقدير والناتج عن تقلبات المعاينة العشوائية. توفر فترات الثقة (Confidence Intervals – CI) نطاقاً قيمياً يحدد بدرجة معينة من اليقين الإحصائي (مثل 90% أو 95%) المدى الذي يقع ضمنه الحجم الحقيقي للأثر في المجتمع الإحصائي الكلي.

تكمن الصعوبة الرياضية في حساب فترات الثقة لمربع إيتا في أن التوزيع المعاين لمقاييس حجم الأثر القائمة على مربع F لا يتبع التوزيعات المتماثلة الكلاسيكية (مثل توزيع t أو Z)، بل يتبع توزيع F اللامركزي (Non-central F Distribution) الذي يتسم بالالتواء الشديد. تقضي التقاليد المنهجية المعاصرة وتوصيات الجمعيات العلمية بضرورة نشر فترات الثقة اللامركزية لمقاييس حجم الأثر جنباً إلى جنب مع التقديرات النقطية لتوفير رؤية متكاملة لمدى دقة واستقرار النتائج الملاحظة.

10.2 تطبيق إعادة المعاينة (Bootstrapping) لتقدير فترات الثقة في R

يعد أسلوب إعادة المعاينة التكرارية (Bootstrapping) واحداً من أقوى الأساليب اللابارامترية الحديثة وأكثرها متانة لتقدير فترات الثقة لمربع إيتا، خاصة عند الشك في دقة افتراضات التوزيع الطبيعي أو في العينات الصغيرة والمعقدة. يقوم هذا الأسلوب على سحب آلاف العينات العشوائية التكرارية مع الإحلال (Resampling with replacement) من البيانات الأصلية، وحساب قيمة مربع إيتا لكل عينة مكررة، ومن ثم بناء التوزيع التجريبي الفعلي للأثر واستخراج حدود الثقة المئينية منه.

يمكن تنفيذ البوتسترابينغ لحساب فترات الثقة لمربع إيتا في R بسهولة فائقة باستخدام معلمات دالة eta_squared() المدمجة في حزمة effectsize عبر تحديد ci_method = "boot" وعدد مرات التكرار (مثلاً 2000 تكرار)، أو برمجتها يدوياً عبر حزمة boot المتقدمة كما يوضح الكود التالي:

# حساب فترات الثقة عبر البوتسترابينغ باستخدام حزمة effectsize
boot_eta <- eta_squared(
  car_anova_type3,
  partial = TRUE,
  ci = 0.95,
  ci_method = "boot",
  iterations = 2000,
  verbose = FALSE
)
print(boot_eta)

تضمن زيادة عدد التكرارات (Iterations) استقرار حدود فترة الثقة المحسوبة (الحد الأدنى والحد الأعلى)، مما يمنح الباحث تقديراً رصيناً لا يعتمد على افتراضات التوزيع المعلمي الصارمة، ويوفر حماية إحصائية متقدمة ضد أخطاء الاستدلال في العينات غير المثالية.

10.3 التعامل مع الحالات التي تمتد فيها فترة الثقة إلى الصفر

في بعض التحليلات الإحصائية، قد يلاحظ الباحث أن الحد الأدنى لفترة الثقة المحسوبة لمربع إيتا يلامس الصفر المطلق [0.00, 0.12]، على الرغم من أن قيمة F الإحصائية في جدول ANOVA أظهرت دلالة إحصائية عند مستوى p < .05. ينشأ هذا التناقض الظاهري بسبب الاختلافات في طرائق اشتقاق فترات الثقة اللامركزية أحادية أو ثنائية الذيل وضوابط التقريب الحسابي لمقاييس التباين التي لا يمكن أن تأخذ قيماً سالبة رياضياً.

يدل امتداد فترة الثقة لتشمل الصفر على أن قوة الأثر في المجتمع الإحصائي قد تكون بالغة الضآلة وغير مؤكدة على الرغم من رفض فرضية العدم في العينة الحالية. يجب على الباحث في هذه الحالة توخي الحذر العلمي الشديد في مناقشة النتائج، وتجنب المبالغة في الادعاء بأهمية المتغير التجريبي، والتوصية الصريحة بضرورة تكرار التجربة على عينات أكبر لتقليص عرض فترة الثقة وتأكيد موثوقية الأثر الملاحظ قبل اعتماده في التطبيقات الميدانية.

11. تمثيل نتائج مربع إيتا بيانيًا وكتابتها وفق معايير جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th)

11.1 التصور البصري لأحجام التأثير باستخدام ggplot2

يمثل التمثيل البياني عالي الجودة أداة تواصل علمي بالغة التأثير لنقل نتائج التحليل الإحصائي بوضوح وجاذبية. تتيح حزمة ggplot2 الرائدة في لغة R بناء مخططات بيانية متطورة تجمع بين عرض متوسطات المجموعات التجريبية، وأشرطة الخطأ لفترات الثقة، وتضمين قيم مربع إيتا المحسوبة مباشرة داخل المخطط البياني.

يوضح الكود التالي كيفية إنشاء مخطط بياني تفاعلي واحترافي لنتائج التفاعل بين شدة التدريب ونوع العلاج باستخدام ggplot2:

# حساب المتوسطات والانحرافات المعيارية للرسم
plot_data <- experimental_data %>%
  group_by(Intensity, Therapy) %>%
  summarise(
    Mean_Anxiety = mean(Anxiety_Score),
    SE = sd(Anxiety_Score) / sqrt(n()),
    .groups = "drop"
  )

# إنشاء المخطط البياني المتوافق مع معايير النشر
ggplot(plot_data, aes(x = Intensity, y = Mean_Anxiety, color = Therapy, group = Therapy)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  geom_point(size = 3.5) +
  geom_errorbar(aes(ymin = Mean_Anxiety - SE, ymax = Mean_Anxiety + SE), width = 0.15, size = 0.8) +
  labs(
    title = "أثر تفاعل شدة التدريب ونوع العلاج على مستوى القلق",
    subtitle = "مربع إيتا للتفاعل: 0.12 (أثر كبير وفق معايير كوهين)",
    x = "شدة التدريب السلوكي",
    y = "متوسط درجة القلق (Mean ± SE)",
    color = "نوع العلاج"
  ) +
  theme_classic(base_size = 14) +
  theme(legend.position = "top")

كما يمكن للباحثين استخدام حزم متخصصة مثل ggstatsplot عبر دالة ggbetweenstats() لإنشاء مخططات تجمع بين التوزيعات البيانية للنقاط (Violin/Box plots) مع إجراء اختبار ANOVA وحساب وطباعة قيمة مربع إيتا وفترات الثقة على الرسم تلقائياً بضغطة زر واحدة.

11.2 الصياغة الأكاديمية الدقيقة لنتائج مربع إيتا بأسلوب APA 7

يضع الدليل الإرشادي للإصدار السابع لجمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th Edition) قواعد صارمة ودقيقة لصياغة نتائج تحليل التباين وحجم الأثر داخل النص الأكاديمي. تتطلب الصياغة القياسية تقديم الرمز الإحصائي للاختبار متبوعاً بدرجات الحرية بين قوسين، ثم قيمة F المحسوبة، ومستوى الدلالة الاحتمالية الدقيق (بدون كتابة صفر قبل الفاصلة العشرية للقيم الاحتمالية وحجم الأثر)، وأخيراً رمز حجم الأثر مع فترة الثقة المصاحبة له.

يجب كتابة الحروف والرموز الإحصائية بخط مائل (Italicized)، مثل: F, p, η², η_p². فيما يلي نماذج نصية وتطبيقية لكتابة النتائج وفق أسلوب APA 7:

• صياغة أثر رئيسي مفرد (Main Effect): “أظهرت نتائج تحليل التباين أحادي الاتجاه وجود أثر رئيسي دال إحصائياً لشدة التدريب السلوكي في خفض مستوى القلق، F(2, 87) = 190.45, p < .001, η_p² = .81, 95% CI [.74, .86]، مما يشير إلى أن التدريب المكثف يفسر نسبة كبرى من التباين في تحسن الحالات.”
• صياغة أثر التفاعل العاملي (Interaction Effect): “كشفت النتائج عن وجود أثر تفاعل دال إحصائياً بين شدة التدريب ونوع العلاج المصاحب، F(2, 84) = 5.82, p = .004, η_p² = .12, 95% CI [.02, .24]. ويوضح هذا الأثر أن تفوق العلاج بالقبول والالتزام (ACT) على العلاج المعرفي السلوكي (CBT) كان أكثر بروزاً في مستويات التدريب المكثفة مقارنة بالمستويات المنخفضة.”

تضمن هذه الصياغة الدقيقة والمنهجية استيفاء الورقة العلمية لكافة المعايير التحريرية العالمية، وتتيح للقراء والمراجعين تقييم قوة واستقرار النتائج بيسر وشفافية.

11.3 إنشاء جداول إحصائية احترافية لنماذج ANOVA في R

يتطلب توثيق نماذج تحليل التباين العاملي إدراج جداول إحصائية شاملة تعرض تفكيك التباين ومجموع المربعات، ودرجات الحرية، ومتوسط المربعات، وقيم F، ومستويات الدلالة، وأحجام التأثير. توفر حزمة apaTables في R إمكانية توليد جداول متكاملة متوافقة كلياً مع معايير APA 7 وتصديرها مباشرة إلى ملفات مايكروسوفت وورد (Microsoft Word – .doc) جاهزة للإدراج في الأطروحات والأوراق البحثية.

يمكن إنشاء وتصدير جدول ANOVA العاملي باستخدام الكود التالي:

library(apaTables)
# بناء جدول ANOVA ثنائي الاتجاه بتنسيق APA وحفظه في ملف وورد
apa.2way.table(
  iv1 = Intensity,
  iv2 = Therapy,
  dv = Anxiety_Score,
  data = experimental_data,
  filename = "Table1_ANOVA_Results.doc",
  show.conf.interval = TRUE
)

كما يمكن للباحثين استخدام حزم متقدمة أخرى مثل gtsummary و flextable لتخصيص الجداول وإضافة هوامش تفسيرية توضح نوع مجموع المربعات المستخدم (Type III SS) والمعادلات المعتمدة لحساب مربع إيتا الجزئي وفترات الثقة، مما يرتقي بجودة التوثيق الإحصائي في الأبحاث المنشورة.

12. الأخطاء الشائعة واستكشاف المشكلات الإحصائية عند حساب وتفسير مربع إيتا في R

12.1 الخلط بين مربع إيتا الكلي ومربع إيتا الجزئي

يعد الخلط الاصطلاحي والحسابي بين مربع إيتا الكلي (η²) والجزئي (ηp²) واحداً من أخطر الانزلاقات المنهجية المتكررة في الأبحاث المنشورة. ينبع هذا الخطأ غالباً من انتقال الباحثين بين البرمجيات الإحصائية دون وعي بالإعدادات الافتراضية لكل برنامج؛ فبرنامج SPSS يُطلق تسمية “Eta Squared” في واجهة القوائم بينما يحسب في حقيقة الأمر “Partial Eta Squared” في جدول المخرجات. في المقابل، تلتزم دوال R (مثل effectsize::eta_squared) بالدقة المفاهيمية الصارمة وتتطلب تحديد المعامل partial = TRUE أو FALSE صراحة.

يقود الإبلاغ عن مربع إيتا الجزئي على أنه الكلي إلى تضليل خطير؛ حيث يظن القارئ أن المتغير المستقل يفسر مثلاً 40% من التباين الإجمالي للدراسة، بينما في الواقع يفسر هذا المتغير 40% فقط من التباين المتبقي بعد حذف أثر العوامل الأخرى، في حين أن حصته من التباين الكلي الحقيقي قد لا تتجاوز 10%. لتجنب هذا الخطأ، يجب على الباحث مراجعة الأكواد البرمجية بدقة، والتأكد من استخدام التسميات والرموز الرياضية الصحيحة (η² للكلي و ηp² للجزئي) في متن التقرير والجداول المرفقة.

12.2 التعامل مع تصاميم القياسات المتكررة والتصاميم المختلطة

تفرض تصاميم القياسات المتكررة (Repeated Measures ANOVA) وتصاميم النماذج المختلطة (Split-Plot / Mixed ANOVA) تحديات إحصائية خاصة عند حساب حجم الأثر؛ حيث يتم قياس نفس المشاركين عبر فترات زمنية أو شروط تجريبية متعددة، مما يولد ارتباطاً ذاتياً ويزيل تباين الفروق الفردية المستقرة بين المشاركين من حد خطأ المعالجة التجريبية.

في هذه التصاميم المعقدة، يفقد مربع إيتا الجزئي الكلاسيكي قابليته للمقارنة المعيارية عبر الدراسات. كحل لهذه المشكلة، طور الإحصائيون مقياس “مربع إيتا المعمم” (Generalized Eta Squared – ηG² / GES)، والذي يميز بين العوامل التجريبية المدارة (Manipulated Factors) والمتغيرات المقاسة المرتبطة بالفروق الفردية (Measured/Individual Difference Factors)، لتقديم تقدير لحجم الأثر يمكن مقارنته مباشرة بين التصاميم بين-المجموعات وتصاميم القياسات المتكررة.

يتم حساب مربع إيتا المعمم في R باستخدام حزم متخصصة في التصاميم المعقدة مثل afex أو ez أو rstatix كما يوضح الكود التالي:

library(afex)
# تحليل تباين للقياسات المتكررة وحساب مربع إيتا المعمم تلقائياً
rm_model <- aov_ez(
  id = "Participant_ID",
  dv = "Anxiety_Score",
  data = experimental_data,
  within = "Intensity"
)
print(rm_model)

يوصى بشدة باعتماد وتوثيق مربع إيتا المعمم (ηG²) في كافة الدراسات النفسية والسلوكية التي تشتمل على قياسات متكررة لضمان الدقة المنهجية وإتاحة دمج النتائج في التحليلات البعدية المستقبلية.

12.3 أخطاء البيانات غير المتوازنة وتضارب مجموع المربعات

تنشأ إشكالية البيانات غير المتوازنة (Unbalanced Designs) عندما تكون أعداد المشاركين في الخلايا التجريبية غير متساوية، وهو أمر شديد الشيوع في الأبحاث الميدانية والإكلينيكية نتيجة انسحاب بعض المشاركين (Attrition) أو صعوبات المعاينة. في هذه الحالة، تفقد مصفوفة التصميم التجريبي خاصية التعامد الإحصائي (Orthogonality)، ويصبح هناك تداخل وتشارك في التباين المفسر بين المتغيرات المستقلة المختلفة.

يؤدي استخدام دالة anova() الأساسية في R مع البيانات غير المتوازنة إلى تطبيق مجموع المربعات من النوع الأول (Type I SS)، مما يجعل قيم مجموع المربعات المحسوبة لمربع إيتا تعتمد اعتماداً كلياً على ترتيب كتابة المتغيرات في معادلة الكود البرمجي (مثلاً كتابة y ~ A + B تعطي نتائج مختلفة تماماً عن y ~ B + A). هذا التضارب البرمجي يمثل خطأ فادحاً يهدد مصداقية البحث بأكمله.

لضمان ثبات ودقة النتائج وتفادي هذه المعضلة، يتعين على الباحث اتباع قائمة الفحص المنهجية التالية قبل اعتماد ونشر نتائج حجم الأثر في R:

• التحقق من توازن أحجام العينات في خلايا التصميم عبر الأمر: table(experimental_data$Intensity, experimental_data$Therapy).
• في حال عدم التوازن، تجنب استخدام دالة aov() أو anova() الأساسية لتقدير التأثيرات العامة.
• تطبيق خيارات التباين المتعامد إجبارياً عبر: options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly")).
• استخدام دالة car::Anova(model, type = 3) لاستخراج مجموع المربعات من النوع الثالث.
• تمرير كائن car::Anova إلى دالة effectsize::eta_squared() لضمان حساب مربع إيتا استناداً إلى النوع الثالث المصحح لعدم التوازن.
• التوثيق الصريح في منهجية البحث لنوع مجموع المربعات والمقياس المستخدم (إيتا، إيتا جزئي، أوميغا، أو معمم) مع ذكر الحزم البرمجية وإصداراتها بدقة.

خاتمة

يمثل قياس حجم الأثر عبر مقياس مربع إيتا (η²) والبدائل المصححة المرتبطة به ركيزة منهجية ومعياراً علمياً لا غنى عنه في الأبحاث النفسية، والسلوكية، والتربوية المعاصرة. لقد كشف هذا الدليل الشامل أن الاستخدام الواعي والمسؤول لمربع إيتا يتطلب فهماً عميقاً لأسسه الرياضية القائمة على تجزئة التباين الكلي في نماذج تحليل التباين (ANOVA)، وتمييزاً إحصائياً صارماً بين إيتا الكلاسيكي، وإيتا الجزئي، ومربع أوميغا غير المتحيز، ومربع إيتا المعمم لتصاميم القياسات المتكررة.

توفر لغة البرمجة الإحصائية R من خلال منظومة حزمها الرائدة مثل effectsize و rstatix و lsr و car بيئة حوسبية فائقة التطور والدقة تمكن الباحثين من إدارة مختلف سيناريوهات التحليل، بدءاً من التصاميم الأحادية البسيطة، مروراً بالنماذج العاملية غير المتوازنة وتطبيق مجموع المربعات من النوع الثالث، وصولاً إلى بناء فترات الثقة القوية عبر إعادة المعاينة التكرارية (Bootstrapping) وإنشاء المخططات والجداول المتوافقة كلياً مع معايير جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th).

إن التحول نحو الممارسات الإحصائية الرصينة التي تجمع بين اختبار الفرضيات، وتقدير حجم الأثر بدقة، وحساب فترات الثقة، ومناقشة الدلالة العملية في ضوء السياق المعرفي للدراسة، يسهم بصورة جوهرية في تعزيز موثوقية وقابلية تكرار العلوم السلوكية (Research Reproducibility)، ويدعم بناء سياسات وتدخلات إكلينيكية وتربوية مبنية على أقوى الأدلة والبراهين العلمية الموثوقة.

References

• American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). American Psychological Association. https://doi.org/10.1037/0000165-000
• Ben-Shachar, M. S., Lüdecke, D., & Makowski, D. (2020). effectsize: Estimation of effect size indices and standardized parameters. Journal of Open Source Software, 5(56), 2815. https://doi.org/10.21105/joss.02815
• Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.
• Field, A., Miles, J., & Field, Z. (2012). Discovering statistics using R. SAGE Publications.
• Fox, J., & Weisberg, S. (2019). An R companion to applied regression (3rd ed.). SAGE Publications.
• Hays, W. L. (1994). Statistics (5th ed.). Harcourt Brace College Publishers.
• Kassambara, A. (2023). rstatix: Pipe-friendly framework for basic statistical tests in R (R package version 0.7.2). Comprehensive R Archive Network (CRAN). https://CRAN.R-project.org/package=rstatix
• Lakens, D. (2013). Calculating and reporting effect sizes to facilitate cumulative science: A practical primer for t-tests and ANOVAs. Frontiers in Psychology, 4, 863. https://doi.org/10.3389/fpsyg.2013.00863
• Navarro, D. J. (2015). Learning statistics with R: A tutorial for psychology students and other beginners (Version 0.5). University of Adelaide. https://learningstatisticswithr.com
• Olejnik, S., & Algina, J. (2003). Generalized eta and omega squared statistics: Measures of effect size for some common research designs. Psychological Methods, 8(4), 434–447. https://doi.org/10.1037/1082-989X.8.4.434
• Singmann, H., Bolker, B., Westfall, J., Aust, F., & Ben-Shachar, M. S. (2023). afex: Analysis of factorial experiments (R package version 1.3-0). Comprehensive R Archive Network (CRAN). https://CRAN.R-project.org/package=afex
• Wilkinson, L., & Task Force on Statistical Inference. (1999). Statistical methods in psychology journals: Guidelines and explanations. American Psychologist, 54(8), 594–604. https://doi.org/10.1037/0003-066X.54.8.594