التحويل الزاوي في القياس النفسي والإحصاء السلوكي

يمثل التحويل الزاوي (Angular Transformation)، والمعروف على نطاق واسع في الأدبيات الإحصائية باسم تحويل قوس الجيب (Arcsine Transformation)، أحد الأساليب الرياضية والمنهجية الجوهرية التي طُوّرت لمعالجة البيانات المقيدة بنسب مئوية أو احتمالية في البحوث النفسية والسلوكية. تنبع الأهمية البالغة لهذا التحويل من التحديات الإبستمولوجية والإحصائية التي يفرضها انتهاك افتراض تجانس التباين والاعتدالية عندما يتعامل الباحث النفسي مع متغيرات تابعة تعبر عن معدلات الدقة، أو نسب النجاح والخطأ، أو تكرارات الاستجابة المقيدة بمجال مغلق بين الصفر والواحد الصحيح.

المدخل المفاهيمي والتعريف الأكاديمي للتحويل الزاوي

يُعرَّف التحويل الزاوي في إطار القياس النفسي والإحصاء الحيوي بأنه تحويل رياضي غير خطي يُطبَّق على المتغيرات التابعة الموزعة توزيعاً ثنائي الحدين، أو البيانات المعبر عنها بنسب مئوية وتناسبات، بهدف فك الارتباط البنيوي القائم بين المتوسط الحسابي والتباين. في سياق القياس السلوكي، غالباً ما تسجل التجارب المعرفية نسباً مئوية للأداء مثل معدل الاستدعاء الصحيح في مهام الذاكرة أو احتمالية رصد المثير في تجارب علم النفس الفيزيائي (السيكوفيزيقا)، وتتسم هذه البيانات بطبيعتها الرياضية بعدم استقرار التباين عبر مستويات المعالجة التجريبية المختلفة.

تتمثل الصيغة الرياضية الأساسية لهذا التحويل في تطبيق دالة معكوس الجيب (قوس الجيب) على الجذر التربيعي للنسبة، حيث يُعبَّر عنها بالمعادلة: $Y = \arcsin(\sqrt{p})$، حيث يمثل $p$ التناسب المحسوب (الذي يتراوح بين 0 و 1). وفي بعض التطبيقات الإحصائية والبرمجيات الكلاسيكية، يُحوَّل الناتج الناتج من التقدير الدائري (الراديان) إلى الدرجات المئوية الزاوية عبر ضرب الناتج في القيمة $(180 / \pi)$ أو باستخدام معاملات قياسية أخرى تجعل القيمة النهائية تمتد على مقياس مألوف يتراوح عادة بين 0 و 90 درجة، مما يضفي بعداً زاوياً هندسياً على المقاييس النفسية.

إن الغرض الجوهري من التحويل الزاوي ليس مجرد إجراء تعديل شكلي للأرقام، بل استعادة الصلاحية المنهجية للاختبارات الإحصائية المعلمية (Parametric Tests) مثل تحليل التباين (ANOVA) ونماذج الانحدار الخطي المتعدد. تعتمد هذه النماذج الكلاسيكية على افتراض أساسي مفاده أن الأخطاء العشوائية مستقلة وموزعة توزيعاً طبيعياً بتباين متجانس عبر جميع مجموعات المقارنة، وهو افتراض ينهار بنيوياً وتلقائياً عندما تقع البيانات الأصلية بالقرب من الحدود القصوى (الصفر أو الواحد)، مما يؤدي دون تحويل إلى تضخيم خطأ النوع الأول أو تقويض قوة الاختبار الإحصائي.

الجذور التاريخية والتطور في الإحصاء النفسي

يرجع الفضل في تأسيس التحويل الزاوي كأداة إحصائية قياسية إلى الرواد الأوائل لعلم الإحصاء الرياضي في ثلاثينيات القرن العشرين، وتحديداً من خلال الأعمال التأسيسية التي قادها السير رونالد فيشر وعالم الأحياء والإحصاء تشيستر بليس (C. I. Bliss). كان الهدف الأولي ينصب على معالجة نسب الوفيات والاستجابات الحيوية في المقايسات الحيوية والزراعية، حيث لوحظ أن البيانات الثنائية التوزيع تفشل باستمرار في تحقيق افتراضات التوزيع الطبيعي عند استخدام النماذج الخطية التقليدية التي طورها فيشر نفسه لتحليل التجارب الزراعية.

وسرعان ما التقط علماء النفس التجريبي والقياس النفسي هذه الأداة في أربعينيات وخمسينيات القرن العشرين، تزامناً مع صعود علم النفس المعرفي وسيكولوجية التعلم التي اعتمدت على مهام قياس الأداء المبنية على نسب المحاولات الناجحة، واختبارات زمن الرجع المقترنة باحتمالية الخطأ. وجد الباحثون في أعمال فرانك أنسكومب (F. J. Anscombe) عام 1948 تطويرات جوهرية للتحويل؛ حيث قدم أنسكومب تعديلاً رياضياً دقيقاً للتحويل الزاوي لمعالجة المشكلات المتعلقة بالعينات الصغيرة أو النسب المتطرفة جداً القريبة تماماً من الصفر المطلق أو الواحد المطلق، مما عزز من موثوقية الأداة في الدراسات السيكولوجية التي تعاني من محدودية حجم العينات.

مع تطور حركة القياس النفسي ونظرية الاختبارات الكلاسيكية (Classical Test Theory)، أصبح التحويل الزاوي إجراءً معيارياً لتحليل معاملات صعوبة الفقرة الاختبارية (Item Difficulty Index)، والتي يُرمز لها إحصائياً بالقيمة $p$. ونظراً لأن تباين صعوبة الفقرة يرتبط ارتباطاً وثيقاً بقيمتها نفسها، فقد مكّن التحويل الزاوي مطوري المقاييس والاختبارات النفسية من وضع فقرات الاختبار على متصل متجانس التباين، مما مهد الطريق لاحقاً لمفاهيم مواءمة المقاييس ومعايرة الاختبارات المقننة قبل هيمنة النماذج اللوجستية الحديثة.

الأسس الرياضية وديناميات تثبيت التباين

لفهم الآلية التي يعمل بها التحويل الزاوي، يجب تفكيك السلوك الرياضي للبيانات التناسبية المشتقة من توزيع ثنائي الحدين. عندما يُسجل الباحث نسبة استجابة $p$ بناءً على عدد $n$ من المحاولات المستقلة، فإن التباين النظري لهذه النسبة لا يكون ثابتاً، بل يتحدد بالمعادلة: $\sigma^2_p = \frac{p(1-p)}{n}$. توضح هذه المعادلة بجلاء أن التباين يبلغ ذروته العظمى عندما تكون النسبة متوازنة ($p = 0.5$) حيث يساوي التباين $0.25/n$، بينما ينحدر التباين تدريجياً وبسرعة كلما اقتربت النسبة من الصفر أو الواحد، ليصل إلى الصفر التام عند الأطراف.

هذا التباين المعتمد وظيفياً على المتوسط الحسابي يُنشئ حالة حادة من عدم تجانس التباين (Heteroscedasticity) في التصاميم التجريبية النفسية التي تقارن بين مجموعات ذات مستويات أداء متباينة للغاية. فإذا كانت إحدى المجموعات التجريبية تحقق معدل دقة مرتفعاً جداً (مثلاً $0.95$) ومجموعة الضبط تحقق معدلاً متوسطاً ($0.50$)، فإن التباين في المجموعة الثانية سيكون أضعاف التباين في المجموعة الأولى، مما يجعل تطبيق تحليل التباين الكلاسيكي غير دقيق ويقود إلى استنتاجات مضللة تتعلق بالدلالة الإحصائية للفروق الفردية أو المعالجات النفسية.

يعمل التحويل الزاوي كدالة مثبتة للتباين (Variance-Stabilizing Transformation) استناداً إلى نظرية التقريب والتمدد الرياضي لـ “طريقة دلتا” (Delta Method). من خلال تطبيق المشتقة الرياضية لمعكوس دالة الجيب، يتم إلغاء تأثير الدالة $p(1-p)$ في مقام التباين؛ حيث إن مشتقة $\arcsin(\sqrt{p})$ بالنسبة إلى $p$ تتناسب طردياً مع مقلوب $\sqrt{p(1-p)}$. ونتيجة لهذا الإلغاء الجبري، يصبح التباين المقارب للقيم المحولة مستقلاً تماماً عن قيمة النسبة الحقيقية، ويصل إلى قيمة ثابتة تقريبية مقدارها $\frac{1}{4n}$ (عند استخدام الراديان)، بصرف النظر عما إذا كان الأداء النفسي للمشارك مرتفعاً أو منخفضاً أو متوسطاً.

وفي الحالات التي تكون فيها العينات صغيرة الحجم، أو عند وجود نسب متطرفة تماماً (مثل تحقق الدقة بنسبة 100% أو الفشل الكامل بنسبة 0%)، يدخل تعديل أنسكومب الرياضي ليحل الصيغة التالية:
$$Y = \arcsin\left(\sqrt{\frac{x + 3/8}{n + 3/4}}\right)$$
حيث تمثل $x$ عدد الاستجابات المحققة، و $n$ إجمالي المحاولات. يوفر هذا التعديل استقراراً فائقاً للتباين حتى في أقصى هوامش التوزيع، مما يمنع حدوث تشوهات حسابية مفاجئة في مصفوفات التغاير أثناء النمذجة الإحصائية المعقدة للبيانات السيكولوجية.

التطبيقات المنهجية في علم النفس والعلوم السلوكية

تتعدد مجالات تطبيق التحويل الزاوي عبر الفروع التخصصية المختلفة لـ علم النفس، وتبرز أهميته بوضوح في أبحاث علم النفس المعرفي التجريبي. في دراسات الانتباه التنفيذي والذاكرة العاملة ومهام التعرف، يُقاس الأداء عادةً بنسبة الإجابات الصحيحة أو نسبة الأخطاء المرتكبة من قبل المشاركين تحت ظروف تجريبية متنوعة؛ حيث يؤدي التحويل الزاوي إلى تحويل هذه النسب المقيدة إلى قيم متصلة قابلة للمعالجة الدقيقة عبر نماذج القياسات المتكررة لتحليل التباين (Repeated Measures ANOVA)، دون خوف من تحيز التقديرات الناتجة عن تأثيرات السقف والقاع.

يمتد التطبيق المنهجي للتحويل الزاوي إلى ميدان علم النفس الفيزيائي (Psychophysics) ونظرية كشف الإشارة (Signal Detection Theory). عند حساب معدلات الضربات الصحيحة (Hit Rates) والإنذارات الكاذبة (False Alarm Rates) للكشف عن العتبات الحسية المطلقة والافتراقية، تقع العديد من الاستجابات الفردية في أطراف التوزيع التكراري، وتتطلب مقارنة الحساسية الإدراكية بين الأفراد تثبيتاً دقيقاً لتباين تلك المعدلات، مما يجعل التحويل الزاوي خطوة معيارية سابقة لتقدير مؤشرات التمييز والانحياز الاستجابي لدى المفحوصين.

كذلك يستفيد باحثو علم النفس العصبي والطب النفسي التجريبي من هذا التحويل في تحليل البيانات المأخوذة من الاختبارات العصبية النفسية المقننة، مثل مهام فرز بطاقات ويسكونسن أو بطاريات تقييم الخلل الوظيفي للجبهة الجبهية. في هذه السياقات الإكلينيكية، غالباً ما تقارن الدراسات بين مجموعات إكلينيكية تعاني من إصابات دماغية أو اضطرابات نفسية حادة ومجموعات أصحاء أسوياء؛ وتظهر المجموعات الإكلينيكية معدلات فشل مرتفعة للغاية تقترب من أطراف المقياس، مما يجعل تثبيت التباين بالتحويل الزاوي شرطاً أساسياً لضمان عدم تأثر النتائج الإحصائية بالاختلافات التوزيعية المصطنعة.

وفي حقل التحليل التلوي (Meta-Analysis) في البحوث النفسية والتربوية، يحظى التحويل الزاوي بأهمية بالغة عند تركيب أحجام الأثر المشتقة من نسب انتشار الاضطرابات النفسية، أو نسب الاستجابة للتدخلات العلاجية النفسية، أو معدلات التسرب من البرامج الإرشادية. يضمن التحويل المزدوج لقوس الجيب (Freeman-Tukey transformation)، وهو امتداد متقدم للتحويل الزاوي، إمكانية دمج نتائج دراسات ذات أحجام عينات شديدة التفاوت دون إعطاء وزن غير متكافئ للدراسات التي تسجل نسب انتشار متطرفة، مما يعزز دقة التقديرات التلوية التجميعية.

الشروط والافتراضات المنهجية لتطبيق التحويل

لا يُعد تطبيق التحويل الزاوي إجراءً عشوائياً يُتخذ مع جميع أنواع البيانات التناسبية، بل يتطلب الالتزام الصارم بجملة من الشروط والافتراضات الإحصائية والمنهجية التي تضمن سلامة الاستنتاج السيكولوجي. يُلخص المتخصصون في القياس النفسي أهم الشروط المنهجية الواجب توفرها قبل اتخاذ قرار التحويل في النقاط التالية:

• طبيعة البيانات الأولية ثنائية الحدين: يجب أن تكون النسب الخاضعة للتحويل ناتجة في أصلها عن تعداد استجابات ثنائية صريحة (نجاح/فشل، وجود/غياب، صواب/خطأ) مقسومة على إجمالي عدد محاولات محدد مسبقاً ومعروف بدقة، وليس مجرد نسب تقديرية انطباعية.
• تفاوت النسب وتطرفها الملحوظ: تظهر الحاجة الحقيقية للتحويل الزاوي بصورة ملحة عندما تقع النسب خارج النطاق المعتدل الممتد بين $0.20$ و $0.80$؛ فإذا كانت جميع النسب واقعة في هذا النطاق الأوسط، فإن دالة التوزيع تكون خطية تقريباً ولا يكون للتحويل أثر دال إحصائياً.
• استقلالية المحاولات داخل المفحوص: يفترض التحويل أن الاحتمالية الأساسية لحدوث الاستجابة تظل ثابتة عبر محاولات المفحوص الواحد، وأن كل محاولة مستقلة إحصائياً عن المحاولات الأخرى، وهو افتراض يحتاج إلى فحص دقيق في مهام التعلم التراكمي وتأثيرات التعب.
• الهدف الموجه نحو الاختبارات المعلمية: يُشترط أن يكون الهدف المنهجي النهائي هو إدخال المتغير المحول في نماذج إحصائية خطية تفترض التوزيع الاعتدالي للأخطاء وتجانس التباين بين المجموعات.

تتكامل هذه الشروط مع فحص تشخيصي مسبق للمخلفات الإحصائية (Residuals)؛ حيث يتعين على الباحث بعد تطبيق التحويل الزاوي التحقق من أن تباين المخلفات قد استقر بالفعل عبر فحص الرسوم البيانية للتشتت، واختبارات التجانس مثل اختبار ليفين (Levene’s Test) بعد التحويل، للتأكد من أن العملية الرياضية قد حققت غايتها ولم تنشئ تشوهات غير مرغوبة في البنية التوزيعية للبيانات.

المزايا الإحصائية والفوائد المنهجية

يقدم التحويل الزاوي حزمة من المزايا المنهجية الحاسمة التي جعلته يصمد لعقود كأحد أكثر الحلول الإحصائية انتشاراً في الأدبيات النفسية. في مقدمة هذه المزايا قدرته الفائقة على تمكين الباحث من توظيف قوة وسلاسة تحليل التباين الكلاسيكي وتصاميمه المعقدة متعددة العوامل والتفاعلات، والتي يصعب أحياناً تطبيقها بنفس المرونة عبر النماذج اللامعلمية البديلة التي تعاني عادة من انخفاض القوة الإحصائية وتحديات في تفسير التفاعلات المعقدة بين المتغيرات المستقلة.

علاوة على ذلك، يتميز التحويل الزاوي ببساطته الحسابية الفائقة واستقراره البرمجي في البيئات الإحصائية المختلفة مثل R، وSPSS، وSAS؛ حيث لا يتطلب خوارزميات استمثال معقدة تعتمد على التكرار والتقارب الرياضي (Iterative Maximum Likelihood Algorithms)، والتي قد تفشل أحياناً في الوصول إلى الحلول الرياضية في ظل العينات الصغيرة أو البيانات شديدة التشتت. هذا الاستقرار الحسابي يجعل التحويل حلاً موثوقاً وعملياً لا يتأثر بمشكلات عدم التقارب البرمجي التي قد تواجه الباحثين عند نمذجة البيانات بنماذج متقدمة.

ميزة أخرى لا تقل أهمية تتمثل في حماية التحليل النفسي من أخطاء القرار الإحصائي. من خلال معادلة التباينات عبر مستويات التجربة، يقلل التحويل الزاوي بشكل جذري من معدلات الخطأ من النوع الأول (رفض الفرضية الصفرية وهي صحيحة)، ويحمي في الوقت ذاته القوة الإحصائية (Statistical Power) للدراسة من التآكل الناتج عن التباينات المفرطة في المجموعات ذات النسب المتوسطة، مما يمنح الثقة في النتائج المتعلقة بالتدخلات العلاجية أو الفروق المعرفية بين الفئات المجتمعية المختلفة.

الحدود المنهجية والانتقادات المعاصرة

على الرغم من النجاح التاريخي والفوائد العملية للتحويل الزاوي، فقد وُجهت إليه في العقود الأخيرة انتقادات منهجية وإحصائية بالغة العمق من قبل علماء الإحصاء القياسي والنفسي المعاصرين. يرتكز الانتقاد الرئيسي على مسألة قابلية التفسير النظري (Interpretability)؛ فالقيم الناتجة عن التحويل لم تعد تعبر عن نسب مئوية مفهومة بالسياق البشري التلقائي، بل تحولت إلى راديانات أو درجات زاوية مجردة، مما يجعل تفسير حجم الأثر الإكلينيكي أو التربوي (Effect Size) أمراً في غاية التعقيد للممارسين وصناع القرار المتلقين للنتائج البحثية.

كذلك تبرز مشكلة الإرجاع التحويلي العكسي (Back-Transformation)؛ فعندما يحاول الباحث تحويل المتوسطات وفترات الثقة الناتجة من المقياس الزاوي رجوعاً إلى مقياس النسب الأصلي لغايات العرض التفسيري، تنشأ تحيزات حسابية تؤدي إلى عدم تناظر فترات الثقة حول المتوسط المحسوب، مما قد يعطي انطباعاً خادعاً بدقة القياس عند نهايات النطاق الاحتمالي. يظهر هذا التحدي بوضوح عند صياغة التوصيات العملية المستندة إلى نسب النجاح المعرفي أو التعافي الإكلينيكي التي تم إرجاعها حسابياً بطرق غير دقيقة رياضياً.

انتقاد منهجي معاصر آخر يتركز حول تجاهل التباين الحقيقي المرتبط باختلاف عدد المحاولات بين المفحوصين أو الفقرات. يفترض التحويل الزاوي التقليدي أن جميع التناسبات مستندة إلى عدد ثابت ومتساوٍ تماماً من المحاولات ($n$)؛ ولكن في الواقع السيكولوجي العملي، تتفاوت أعداد المحاولات الصالحة للتحليل نتيجة استبعاد الاستجابات الشاردة أو عدم استكمال بعض المفحوصين لفقرات معينة، مما يؤدي إلى فشل التحويل الزاوي في تحقيق التثبيت المثالي للتباين عبر الحالات البحثية المختلفة.

البدائل الإحصائية الحديثة في النمذجة النفسية

استجابة للتطورات الحاسوبية الكبرى في حزم التحليل الإحصائي، شهد القياس النفسي انتقالاً نموذجياً (Paradigm Shift) من استخدام تحويلات البيانات الكلاسيكية، بما فيها التحويل الزاوي، نحو النمذجة المباشرة للبيانات باستخدام النماذج الخطية المعممة (GLMs) والنماذج الخطية المعممة ذات التأثيرات المختلطة (GLMMs). تقدم هذه النماذج الحديثة بدائل أقوى فلسفياً ورياضياً من خلال نمذجة المتغير التابع التناسبي مباشرة بافتراض توزيع ثنائي الحدين، وباستخدام دوال ربط لوجستية (Logit) أو احتمالية (Probit) دون الحاجة إلى تشويه المقياس الأصلي عبر التحويل الزاوي.

من بين أبرز هذه البدائل يبرز انحدار بيتا (Beta Regression)، وهو أسلوب إحصائي متقدم مصمم خصيصاً للتعامل مع المتغيرات المتصلة التي تقع حصراً في المدى المفتوح بين الصفر والواحد الصحيح، مثل نسب الرضا، والدرجات المعيارية المحولة لنسب، ومؤشرات الأداء المقيدة بمدى. يتميز انحدار بيتا بالمرونة الهائلة في استيعاب الالتواء وعدم التجانس في التباين كجزء أصيل من النموذج الرياضي، بدلاً من السعي القسري لإخفائهما عبر دوال التحويل الزاوية التقليدية.

مع ذلك، لا يعني بروز هذه النماذج الحديثة اندثار التحويل الزاوي بالكامل؛ إذ يظل الأخير محتفظاً بمكانة فريدة ومفضلة في سياقات بحثية معينة، لا سيما في التحليلات التلوية لنسب الأحداث النادرة، والدراسات التجريبية السريعة، والتصاميم التي تتضمن حجوم عينات متوازنة بالكامل وتتطلب مقارنات معلمية بسيطة وواضحة المعالم، مما يجعله أداة كلاسيكية حية لا غنى عن استيعابها في ترسانة الباحث النفسي المتمرس.

إرشادات عملية لتطبيق التحويل وإعداد التقارير البحثية

لضمان الاستخدام الأكاديمي الرصين للتحويل الزاوي في بحوث علم النفس، ينبغي على الباحثين اتباع بروتوكول منهجي منظم يبدأ بالتشخيص وينتهي بالصياغة التفسيرية الشفافة. توضح الخطوات الإرشادية التالية كيفية التعامل المنهجي مع البيانات المقيدة بالنسب:

• التشخيص الاستكشافي المبدئي: فحص توزيع النسب الأصلية عبر الرسوم التكرارية ومخططات التشتت؛ فإذا كانت النسب تتكدس دون قيمة $0.20$ أو تتجاوز $0.80$، وكان هناك انتهاك واضح لتجانس التباين، يصبح التحويل مبرراً منهجياً.
• تحديد الصيغة الملائمة: تطبيق صيغة أنسكومب أو صيغة فريمان-توكي بدلاً من التحويل البسيط إذا كانت العينات صغيرة أو احتوت البيانات على قيم صفرية مطلقة، لضمان استقرار التباين عند الحواف.
• تنفيذ التحليل المعلمي: إجراء اختبارات تحليل التباين أو النماذج الخطية على القيم المحولة زاوياً، مع التحقق المستمر من استقرار مخلفات النموذج واعتداليتها.
• إعادة التحويل للعرض التفسيري: حساب المتوسطات وفترات الثقة في المقياس الزاوي، ثم إجراء عملية التحويل العكسي (Back-Transformation) إلى النسب المئوية قبل تضمينها في الجداول والأشكال التوضيحية داخل التقرير البحثي، لتيسير القراءة السيكولوجية للنتائج.
• الشفافية في تقرير المنهجية: الإفصاح الكامل في قسم المنهجية عن أسباب استخدام التحويل الزاوي، والصيغة الرياضية المحددة التي جرى تطبيقها، والبرمجية الإحصائية المستخدمة، مع الإشارة إلى إحصاءات الاختبار المحسوبة على القيم المحولة جنباً إلى جنب مع المتوسطات الأصلية.

يضمن هذا النهج الدقيق التوفيق بين الصرامة الرياضية المفروضة على الاختبارات المعلمية وبين الوضوح التفسيري المطلوب في العلوم الإنسانية والسلوكية، مما يرفع من جودة النشر العلمي ويمنع الوقوع في الأخطاء الشائعة المتعلقة بسوء تفسير المتغيرات المحولة.

خاتمة

يظل التحويل الزاوي معلماً بارزاً في تاريخ المنهجية الإحصائية المطبقة في علم النفس والقياس السلوكي؛ حيث جسد عبر عقود الحل الرياضي الأنيق لمعضلة التباين غير المتجانس في البيانات التناسبية وثنائية الحدين. وعلى الرغم من صعود نماذج الانحدار المعممة المتقدمة، يظل استيعاب الميكانيزم الرياضي والدلالة القياسية للتحويل الزاوي متطلباً أساسياً لفهم الأدبيات النفسية الكلاسيكية والحديثة، وتقييم جودة الاستنتاجات العلمية المبنية على قياسات الأداء والدقة والاستجابة البشرية.

المراجع

• Anscombe, F. J. (1948). The transformation of poisson, binomial and negative-binomial data. Biometrika, 35(3/4), 246-254. https://doi.org/10.2307/2332343
• Bliss, C. I. (1937). The analysis of field experimental data expressed to percentages. Plant Protection (Leningrad), 12, 67-77.
• Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.
• Fisher, R. A. (1954). Statistical methods for research workers (12th ed.). Oliver and Boyd.
• Freeman, M. F., & Tukey, J. W. (1950). Transformations related to the angular and the square root. The Annals of Mathematical Statistics, 21(4), 607-611. https://doi.org/10.1214/aoms/1177729756
• Jaeger, T. F. (2008). Categorical data analysis: Away from ANOVAs (transformation or not) and towards logit mixed models. Journal of Memory and Language, 59(4), 434-446. https://doi.org/10.1016/j.jml.2007.11.007
• Winer, B. J., Brown, D. R., & Michels, K. M. (1991). Statistical principles in experimental design (3rd ed.). McGraw-Hill.