اختبار كوشران كيو

يُعد اختبار كوشران كيو (Cochran’s Q Test) أحد الأركان الإحصائية اللامعلمية الجوهرية التي تحظى بمكانة محورية في بحوث علم النفس السريري والعلوم السلوكية المتقدمة؛ حيث يوفر أداة استدلالية رصينة لتقييم الفروق عبر شروط متعددة ومترابطة عند التعامل مع معطيات ثنائية التفرع. يبرز هذا الاختبار بصورة خاصة عند الرغبة في تتبع التغيرات في الاستجابات النوعية للمشاركين أنفسهم عبر محطات زمنية متعاقبة أو تحت شروط تجريبية متباينة، مما يجعله وسيلة لا غنى عنها في قياس أثر التدخلات العلاجية النفسية وتطور الأعراض السلوكية بدقة وموثوقية بالغة.

المدخل والتعريف المعجمي لاختبار كوشران كيو

يُعرَّف اختبار كوشران كيو في أدبيات القياس النفسي والإحصاء السلوكي بأنه اختبار فرضيات لامعلمي يُستخدم لتحديد ما إذا كانت هناك فروق ذات دلالة إحصائية بين ثلاث مجموعات مرتبطة أو أكثر (Matched Sets) أو محطات قياس متكررة، عندما يكون المتغير التابع ثنائي التفرع (Dichotomous)، أي مقاساً وفق مقياس اسمي يقتصر على قيمتين فقط (مثل: نعم/لا، نجاح/فشل، وجود العرض النفسي/غيابه، 1/0). ويُصنَّف هذا الاختبار تقنياً بوصفه امتداداً مباشراً وشاملاً لاختبار ماكنيمار (McNemar’s Test) للعينات المرتبطة الثنائية، ولكنه يمتلك القدرة الحسابية على استيعاب ثلاثة مستويات أو أكثر من القياس المترابط لنفس الأفراد أو لعينات متطابقة بنيوياً.

في السياق النظري للمقاييس السلوكية، تنشأ الحاجة إلى هذا الاختبار عندما يعجز الباحث عن افتراض التوزيع الطبيعي للبيانات، أو عندما تفرض طبيعة الظاهرة النفسية رصد استجابات كيفية غير متصلة؛ إذ تتعامل العديد من أدوات التقييم الإكلينيكي مع استجابات قاطعة كحدوث نوبة الهلع أو عدم حدوثها، والامتثال للبروتوكول الدوائي من عدمه، أو اجتياز عتبة التشخيص في الدليل التشخيصي والإحصائي للاضطرابات النفسية. هنا يتيح كوشران كيو معالجة هذا النوع الحرج من المتغيرات دون الوقوع في أخطاء التحليل التي تنجم عن تطبيق اختبارات معلمية مثل تحليل التباين للقياسات المتكررة (Repeated Measures ANOVA) التي تشترط اتصال البيانات وتوزيعها الطبيعي وتجانس تبايناتها الكروي.

يقوم الاختبار على مقارنة نسب النجاح أو الاستجابة الإيجابية بين الشروط التجريبية المختلفة من خلال مصفوفة بيانات تُعرف بمصفوفة القطاعات الإحصائية (Randomized Block Design)، حيث يمثل كل صف فرداً مستقلاً (أو وحدة تطابق تجريبية)، بينما يمثل كل عمود شرطاً تجريبياً أو نقطة زمنية. وبذلك، يُترجم التباين الإجمالي إلى تباين ناجم عن تأثير المعالجة النفسية أو العامل التجريبي مقسوماً على تباين الخطأ العشوائي، مما يعطي مؤشراً دقيقاً على مدى فعالية التغيير المقاس إحصائياً عبر المحطات الزمنية المتتالية.

السياق التاريخي والتطور الإحصائي

يعود الفضل في تطوير هذا الاختبار إلى عالم الإحصاء الاسكتلندي البارز ويليام جيميل كوشران (William Gemmell Cochran)، الذي نشر ورقته التأسيسية الفارقة بعنوان “The Comparison of Percentages in Matched Samples” في مجلة Biometrika المرموقة عام 1950. جاء هذا الابتكار استجابة لحاجة ملحة في البحوث الميدانية والطبية والبيولوجية والنفسية، حيث كان الباحثون يواجهون صعوبة بالغة في تحليل التجارب التي يُقاس فيها أفراد متطابقون عبر أكثر من شرطين بتسجيل استجابات ثنائية بسيطة.

قبل عام 1950، كان الإحصائي كوين ماكنيمار قد طرح اختباره الشهير في عام 1947 لمقارنة نسبتين في عينات مترابطة قبلية وبعدية فقط، غير أن النمو المتسارع لتصاميم البحوث التجريبية الطولية وتجارب القياسات المتكررة في منتصف القرن العشرين أظهر عجز اختبار ماكنيمار عن التوسع ليشمل ثلاث مراحل (مثل: القياس القبلي، والقياس البعدي، وقياس المتابعة). تقدم كوشران بصيغته الرياضية الرائدة لردم هذه الفجوة المنهجية، مستنداً إلى تحويل تباين الترددات الهامشية إلى دالة تقترب من توزيع مربع كاي (Chi-Square Distribution)، مما أتاح للباحثين مرونة تحليلية غير مسبوقة دون الحاجة إلى اللجوء لاختبارات ثنائية متكررة ترفع من معدل الخطأ من النوع الأول.

حظي اختبار كوشران باعتراف واسع في الأوساط السيكومترية والبحثية بفضل تبنيه السريع من قِبل رواد الإحصاء اللامعلمي، مثل سيدني سيغل (Sidney Siegel) في كتابه الكلاسيكي الصادر عام 1956 حول الإحصاء اللامعلمي للعلوم السلوكية. وقد أسهم هذا الكتاب في تحويل معادلة كوشران من صيغة إحصائية بحتة إلى أداة تطبيقية معيارية يعتمد عليها المتخصصون في دراسة التغيرات المعرفية والسلوكية والمواقف النفسية، ولا يزال هذا الاختبار حتى يومنا هذا عنصراً أساسياً في الحزم البرمجية الإحصائية المتقدمة كـ SPSS وR وSAS وPython.

المنطق الرياضي والافتراضات المنهجية للاختبار

يقوم المنطق الرياضي لاختبار كوشران كيو على صياغة فرضيتين متقابلتين: الفرضية الصفرية ($H_0$) التي تنص على أن احتمالية حدوث الاستجابة الإيجابية (الرمز 1) متساوية عبر جميع الشروط أو المعالجات المدروسة (أي أن المعالجة أو الزمن ليس له تأثير حقيقي على تغير نسب الاستجابة)، مقابل الفرضية البديلة ($H_1$) التي تنص على أن احتمالية الاستجابة الإيجابية تختلف في شرط واحد على الأقل من الشروط التجريبية مقارنة بالبقية.

تعتمد الإحصاءة الحسابية لاختبار كوشران، والتي يُرمز لها بالحرف $Q$، على حساب مجاميع الصفوف ومجاميع الأعمدة في مصفوفة بيانات بحجم $N \times k$؛ حيث يمثل $N$ عدد الأفراد أو القطاعات (Blocks)، ويمثل $k$ عدد الشروط أو المعالجات (Treatments). تُعبَّر الصيغة الرياضية للاختبار عن نسبة تباين مجاميع الأعمدة مقارنة بمتوسط تباين الصفوف، وتُكتب كالآتي:

$$Q = \frac{(k – 1) \left[ k \sum_{j=1}^{k} C_j^2 – \left( \sum_{j=1}^{k} C_j \right)^2 \right]}{k \sum_{i=1}^{N} R_i – \sum_{i=1}^{N} R_i^2}$$

في هذه المعادلة الإحصائية، يمثل $C_j$ المجموع الكلي للعمود رقم $j$ (أي إجمالي عدد الاستجابات الإيجابية 1 في الشرط $j$)، بينما يمثل $R_i$ المجموع الكلي للصف رقم $i$ (أي إجمالي الاستجابات الإيجابية للمشارك $i$ عبر الشروط كافة). ويتضح من المعادلة أن الصفوف المتجانسة بالكامل، والتي يحصل فيها المشارك على جميع القيم بصيغة 0 أو جميعها بصيغة 1، لا تُسهم بأي قيمة تباين في المقام؛ إذ إن $R_i = R_i^2$ عندما تكون $R_i$ إما صفراً أو مطابقة لـ $k$، مما يعني رياضياً أن الأفراد الذين لا يتغير سلوكهم إطلاقاً عبر الشروط يُلغى تأثيرهم التفريقي تلقائياً من المعادلة، وينصب التركيز الحسابي على الأفراد الذين يظهرون تبايناً واستجابات متغيرة.

يخضع اختبار كوشران كيو لعدة افتراضات منهجية صارمة يجب استيفاؤها لضمان دقة النتائج الإحصائية وصحتها الاستدلالية:

• طبيعة المتغير التابع: يجب أن يكون المتغير التابع ثنائياً اسمياً حصرياً (Dichotomous Categorical Variable)، مثل: وجود قلق حاد (1) مقابل غياب القلق الحاد (0)، أو الإجابة الصحيحة مقابل الإجابة الخاطئة.
• تصميم العينة والترابط: يجب أن تكون الملاحظات مرتبطة منهجياً؛ إما عبر تصميم القياسات المتكررة على العينة الفردية ذاتها، أو عبر استخدام مجموعات متطابقة بنيوياً يتم فيها مطابقة الأفراد وفق متغيرات وسيطة حاسمة كالعمر، والذكاء، وشدة الاضطراب الأساسية.
• استقلالية القطاعات: في حين تكون الاستجابات ضمن الفرد الواحد مترابطة عبر الزمن، يجب أن تكون استجابات كل فرد أو قطاع مستقلة استقلالاً تاماً عن استجابات الأفراد أو القطاعات الأخرى.
• حجم العينة وكفاية التقارب: تقترب إحصاءة $Q$ من توزيع كاي تربيع بدرجات حرية مساوية لـ ($k – 1$) تقارباً تقريبياً مع زيادة حجم العينة. وتوصي الأدبيات السيكومترية بألا يقل حاصل ضرب عدد الأفراد في عدد الشروط المتغيرة عن قيم كافية تضمن متانة التقارب المقارب (Asymptotic approximation)، وإلا وجب الاعتماد على التوزيعات الاحتمالية الدقيقة (Exact Permutation Tests).

التطبيقات المنهجية في علم النفس والقياس السلوكي

تتعدد التطبيقات الميدانية لاختبار كوشران كيو في مجالات القياس النفسي والبحوث الإكلينيكية؛ نظراً لأن الكثير من الظواهر السلوكية والمؤشرات النفسية تُصاغ في صورة معايير فارقة محددة تشخيصياً. من أبرز هذه المجالات تقييم كفاءة البرامج العلاجية، مثل تقييم التدخل القائم على العلاج المعرفي السلوكي (CBT) لمرضى اضطراب الهلع؛ حيث قد يقوم الباحث برصد ما إذا كان المريض قد عانى من نوبة هلع خلال الأسبوع السابق في ثلاث محطات زمنية: قبل بدء العلاج (T1)، فور انتهاء التدخل العلاجي (T2)، وفي مرحلة المتابعة بعد ستة أشهر (T3). يتيح اختبار كوشران تحديد ما إذا كان التراجع في نسب حدوث النوبات ذو دلالة إحصائية حقيقية تعكس أثر التدخل لا مجرد تباين عشوائي.

يبرز التطبيق العملي أيضاً في أبحاث علم نفس الإدمان وتعديل السلوك؛ حيث تُسجل حالات الانتكاس (Relapse) كمتغير ثنائي (انتكاس = 1، امتناع = 0) عبر مراحل التعافي المتتالية. وعند دراسة أثر بروتوكولات دوائية أو نفسية داعمة على مدار عدة أشهر، يُمكّن كوشران كيو الباحثين من تقييم ثبات الامتناع وتحديد المراحل الزمنية التي تشهد تغيراً محورياً في معدلات الانتكاس الجماعية بين أفراد العينة ذاتها.

أما في ميدان القياس النفسي والتعليمي (Psychometrics & Educational Psychology)، فيُستخدم الاختبار لفحص تجانس صعوبة الفقرات الاختبارية (Item Difficulty Equivalence) عبر نماذج أو محطات تقييم متعددة. فعند تطبيق ثلاثة اختبارات متكافئة تقيس التحصيل المعرفي أو الكفاءة الانفعالية على العينة نفسها، يساعد اختبار كوشران كيو على التحقق مما إذا كانت نسب النجاح والرسوب تختلف بين الاختبارات، مما يشير إلى وجود خلل في التكافؤ البنائي أو صعوبة غير مقصودة في أحد النماذج، وهو ما يُعد مدخلاً أساسياً في ضبط جودة الأدوات السيكومترية.

المقارنة التحليلية مع الاختبارات الإحصائية ذات الصلة

لفهم الموضع الدقيق لاختبار كوشران كيو في مصفوفة القرارات الإحصائية للباحث النفسي، لا بد من مقارنته بنظرائه من الاختبارات التي تعالج تصاميم القياسات المتكررة؛ إذ يتشابك الاختبار مفاهيمياً مع عدة اختبارات شائعة ولكنه يتميز بخصائص قياسية محددة تجعله الأنسب في سياقات معينة دون غيرها.

يُمثل اختبار ماكنيمار الحالة الخاصة المصغرة من اختبار كوشران كيو، حيث يقتصر ماكنيمار على شرطين فقط ($k = 2$) للمتغير الثنائي. وإذا تم تطبيق معادلة كوشران كيو على مصفوفة تحتوي على عمودين فقط، فإن القيمة الناتجة لـ $Q$ تتطابق تماماً مع إحصاءة مربع كاي المستخرجة من اختبار ماكنيمار بدون تصحيح الاستمرارية. وبذلك، فإن كوشران كيو هو التوسيع الرياضي الطبيعي لماكنيمار للتعامل مع السلاسل الزمنية الطولية ذات النقاط الثلاث فما فوق.

من جانب آخر، يقف اختبار فريدمان (Friedman Test) بوصفه النظير اللامعلمي الشهير لتصميم القياسات المتكررة عندما يكون المتغير التابع مقاساً برتب ترتيبية (Ordinal) أو كمية متصلة منتهكة لشروط التوزيع السوي. وفي الحقيقة، يمثل اختبار كوشران كيو حالة خاصة من اختبار فريدمان؛ فإذا جرى ترميز البيانات الثنائية (0 و 1) وحساب اختبار فريدمان عليها مع ضبط تصحيح الرتب المكررة (Tied Ranks)، فإن النتيجة الإحصائية تؤول رياضياً إلى إحصاءة $Q$ لكوشران، مما يؤكد التوافق الهيكلي العميق بين هذين الإجراءين اللامعلميين.

وعند المقارنة مع تحليل التباين للقياسات المتكررة (Repeated Measures ANOVA)، يتضح الفارق الجوهري في مستويات القياس والافتراضات المنهجية؛ حيث يتطلب الأخير متغيراً فئوياً متصلاً، وتوزيعاً طبيعياً للمجتمع، وتجانساً في مصفوفات التغاير، وتطابقاً في التباينات التوافقية (Sphericity). وفي حال إقحام متغير ثنائي التفرع قسراً في تحليل التباين، تتعرض النتائج لتشوه جسيم ويزداد معدل الخطأ من النوع الأول أو الثاني بشكل لا يمكن الركون إليه، وهو ما يعزز الحصانة التحليلية لاختبار كوشران كيو في حفظ قوة الاختبار الإحصائية في البيئات السلوكية الحساسة.

خطوات إجراء الاختبار والحساب الإحصائي التفصيلي

يمر تطبيق اختبار كوشران كيو في البحوث النفسية بمنظومة إجرائية متسلسلة تبدأ بتصميم مصفوفة المعطيات وتنتهي باتخاذ القرار الإحصائي بشأن فرضيات البحث. تتلخص هذه الإجراءات المنهجية في الخطوات التالية:

• تنظيم جدول البيانات: يتم ترتيب الملاحظات في جدول ثنائي الاتجاه؛ يمثل كل سطر فرداً من العينة ($i = 1, 2, dots, N$)، ويمثل كل عمود قياساً أو شرطاً ($j = 1, 2, dots, k$). تُسجل الاستجابات رقمياً كـ 1 (لحدوث السلوك/النجاح/الامتثال) أو 0 (لعدم الحدوث/الفشل/الرفض).
• حساب المجاميع الهامشية:
  • حساب مجموع كل صف: $R_i = \sum_{j=1}^{k} X_{ij}$، وهو يمثل عدد مرات استجابة الفرد بإيجابية عبر كافة الشروط.
  • حساب مجموع كل عمود: $C_j = \sum_{i=1}^{N} X_{ij}$، وهو يمثل إجمالي أفراد العينة الذين أظهروا استجابة إيجابية في الشرط $j$.
• استخراج الحدود التربيعية: يتم تربيع كل مجموع من مجاميع الأعمدة وحساب المجموع الكلي للتربيعات $\sum C_j^2$، وكذلك تربيع مجاميع الصفوف وحساب إجمالي تلك التربيعات $\sum R_i^2$.
• التعويض في معادلة الاختبار: تُدرج القيم المستخرجة في معادلة $Q$ الرياضية لحساب القيمة الإحصائية التجريبية، مع استبعاد الأثر التبايني للقطاعات المتطابقة تلقائياً من خلال ميكانيكية حساب المقام.
• تحديد القيمة الحرجة والدلالة الإحصائية: تُقارن قيمة $Q$ المحسوبة بالقيمة الحرجة المستخرجة من جداول توزيع كاي تربيع ($\chi^2$) عند مستوى دلالة محدد سلفاً (غالباً $\alpha = 0.05$) وبدرجات حرية $df = k – 1$. إذا كانت $Q_{calc} ge \chi^2_{crit}$، يتم رفض الفرضية الصفرية وقبول الفرضية البديلة القائلة بوجود اختلاف دال إحصائياً في نسب الاستجابة بين الشروط.

المقارنات البعدية وحساب حجوم الأثر

عندما يسفر اختبار كوشران كيو عن رفض الفرضية الصفرية وتأكيد وجود فرق عام دال إحصائياً بين الشروط، يواجه الباحث مشكلة عدم قدرة الاختبار العام (Omnibus Test) على تحديد أي الشروط تحديداً تختلف عن غيرها. هل يكمن الفرق بين القياس القبلي والبعدي؟ أم بين القياس البعدي والمتابعة؟ لحل هذه المسألة المنهجية، يقتضي التحليل الانتقال إلى مرحلة المقارنات المتعددة البعدية (Post-Hoc Pairwise Comparisons).

تتم المقارنات البعدية المعتمدة في هذا السياق عبر إجراء سلسلة من اختبارات ماكنيمار الثنائية بين كل زوج من الشروط الممكنة (Pairs). ونظراً لأن إجراء مقارنات ثنائية متتالية على نفس المعطيات يؤدي بالضرورة إلى تضخم خطأ العائلة (Family-wise Type I Error)، يتحتم على الباحث تطبيق أساليب الضبط الإحصائي الصارمة. ومن أشهر هذه الأساليب:

• تعديل بونفيروني (Bonferroni Correction): يتم فيه قسمة مستوى الدلالة الاسمي $\alpha$ على إجمالي عدد المقارنات الثنائية الممكنة، والمحسوب بالصيغة $c = \frac{k(k-1)}{2}$. فإذا كان لدينا 3 شروط ($k=3$)، يكون عدد المقارنات 3، ويصبح مستوى الدلالة المعدل $\alpha_{adj} = 0.05 / 3 \approx 0.0167$. لا يُعد الفرق بين أي زوجين دالاً إحصائياً إلا إذا كانت قيمته الاحتمالية أقل من هذه العتبة المعدلة.
• إجراء بنجاميني-هوشبيرغ (Benjamini-Hochberg False Discovery Rate): وهو بديل أكثر قوة وتوازناً من بونفيروني؛ إذ يحمي ضد تضخم الخطأ من النوع الأول دون التضحية المفرطة بالقوة الإحصائية، مما يجعله مفضلاً في التجارب الإكلينيكية المعقدة ذات القياسات المتعددة.

علاوة على إثبات الدلالة الإحصائية، تقتضي المعايير الحديثة للجمعية الأمريكية لعلم النفس (APA) الإبلاغ عن حجم الأثر (Effect Size) لتقييم الأهمية العملية والسريرية للفروق. في اختبار كوشران كيو، يُستخدم معامل ثبات التحول أو مؤشر الحجم المقترح من سيرلين وأقرانه (Serlin et al., 1982)، والذي يعتمد على تحويل إحصاءة $Q$ إلى مقياس نسبي يعبر عن نسبة التباين المفسر، أو استخدام نسبة إيتا المربعة اللامعلمية المقابلة:

$$\eta_Q^2 = \frac{Q}{N(k – 1)}$$

يتراوح هذا المؤشر بين 0 و1؛ حيث تشير القيم القريبة من الصفر إلى أن التدخل العلاجي أو التغير الزمني أحدث أثراً ضئيلاً في تعديل السلوك أو إزالة الأعراض، بينما تعكس القيم المرتفعة قوة تأثير بالغة تسند التوصيات السريرية والتدخلات السلوكية المقترحة.

المزايا والحدود المنهجية في البحوث النفسية

يمتاز اختبار كوشران كيو بعدة خصائص تجعله خياراً مثالياً في البيئات البحثية السلوكية؛ أولها متانته العالية في التعامل مع البيانات غير المتصلة دون الحاجة إلى اللجوء إلى تحويلات رياضية قسرية تشوه المعنى النفسي الأصيل للاستجابة. كما يتميز بقدرته الفائقة على ضبط التباين الفردي الداخلي (Intra-individual Variability)؛ إذ إن تصميم القياسات المتكررة على العينات المتطابقة يجعل كل فرد بمثابة ضابط لنفسه (Self-Control)، مما يُقصي الفروق الفردية الأساسية كعامل مشوش للنتائج.

ومع ذلك، توجد جملة من القيود المنهجية التي ينبغي للباحث المتمرس إدراكها بحذر:

• حساسية العينات الصغيرة: يعتمد الاختبار على التوزيع التقريبي لمربع كاي، وهذا التقريب يفقد دقته عندما يكون عدد الأفراد ($N$) صغيراً جداً، أو عندما تكون التغيرات الإجمالية نادرة الحدوث. في مثل هذه الحالات، يُفضل الاستعانة بحزم التباديل الدقيقة (Exact Permutation Tests).
• فقدان البيانات الحركية (Missing Data): يفترض تصميم كوشران كيو وجود مصفوفة بيانات مكتملة بالكامل عبر جميع القياسات لكل مفحوص. إن فقدان قياس واحد في إحدى المحطات الزمنية لمشارك معين يؤدي برمجياً إلى استبعاد كامل بيانات هذا المشارك من التحليل الإجمالي (Listwise Deletion)، مما قد يترتب عليه تناقص ملحوظ في حجم العينة النهائية وتحيز محتمل في المعاينة في حال كان الفقد غير عشوائي.
• عدم حساسية البيانات للتغيرات الكمية: بتحويل المتغيرات السلوكية إلى مجرد نعم/لا، قد يفقد الباحث معلومات ثرية حول شدة العرض أو درجته الدقيقة. فاختفاء نوبة الهلع تماماً يمنح الدرجة نفسها لتقليل حدتها من مستويات مدمرة إلى مستويات خفيفة ولكنها ما زالت حاضرة اسمياً، مما يستوجب دعم الاختبار بمقاييس كمية موازية.

خاتمة

يمثل اختبار كوشران كيو أداة إحصائية نوعية راسخة تجمع بين البساطة الرياضية والقوة الاستدلالية الفائقة، مما يجعله جزءاً لا يتجزأ من الحقيبة التحليلية لأي باحث في مجالات القياس النفسي، والطب النفسي، وتعديل السلوك البشري. بفضل قدرته الدقيقة على تتبع التغيرات في المتغيرات الثنائية عبر شروط متعددة ومترابطة، يظل هذا الاختبار هو الخيار الأمثل والمنهجي الأقوى لمراقبة مسارات التعافي، والتحقق من صلاحية الفرضيات السريرية، وضمان خروج الأبحاث السلوكية باستنتاجات صلبة تتجاوز عشوائية الصدفة وترتقي إلى معايير البرهان العلمي الرصين.

المراجع

• Cochran, W. G. (1950). The comparison of percentages in matched samples. Biometrika, 37(3/4), 256–266. https://doi.org/10.2307/2332378
• Field, A. (2018). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (5th ed.). SAGE Publications.
• McNemar, Q. (1947). Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages. Psychometrika, 12(2), 153–157. https://doi.org/10.1007/BF02295996
• Serlin, R. C., Carr, T. S., & Marascuilo, L. A. (1982). A planned contrasts approach to Cochran’s Q test. The Journal of Experimental Education, 51(1), 38–41. https://doi.org/10.1080/00220973.1982.11011833
• Sheskin, D. J. (2020). Handbook of parametric and nonparametric statistical procedures (5th ed.). Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/9781420036268
• Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric statistics for the behavioral sciences (2nd ed.). McGraw-Hill.