كيفية إجراء اختبار جارك-بيرا في R

تُعد مسألة التحقق من اعتدالية البيانات (Normality Testing) إحدى الركائز الأساسية التي يقوم عليها صرح الاستدلال الإحصائي المعلمي (Parametric Statistical Inference) في العلوم النفسية، والاجتماعية، والسلوكية، والعلوم الاقتصادية القياسية. فمنذ اللحظات الأولى لنشوء النظرية الإحصائية الحديثة، تطلب بناء الاختبارات المعلمية الأكثر شيوعاً—مثل اختبار “ت” (t-test)، وتحليل التباين (ANOVA)، ونماذج الانحدار الخطي المتعدد (Multiple Linear Regression)—تحقق افتراض التوزيع الطبيعي المعياري، سواء على مستوى الدرجات الخام للمقاييس أو على مستوى البواقي العشوائية للنماذج التنبؤية. ويترتب على انتهاك هذا الافتراض الوقوع في أخطاء منهجية جسيمة تؤدي إلى تضخيم الخطأ من النوع الأول (Type I Error) أو إضعاف القوة الإحصائية للاختبار، مما يفرز استنتاجات مضللة قد تعصف بصدق البحوث التجريبية والسيكومترية برمتها.

وفي هذا السياق المعرفي، يبرز اختبار جارك-بيرا (Jarque-Bera Test)، الذي ابتكره الإحصائيان كارلوس جارك (Carlos Jarque) وأنيل بيرا (Anil Bera) في أوائل ثمانينيات القرن العشرين، بوصفه أحد أرقى الاختبارات الإحصائية القائمة على تحليل العزوم (Moments-based Goodness-of-Fit Tests). وبخلاف الاختبارات المعتمدة على الفروق في دالة التوزيع التراكمي التجريبية—مثل اختبار كولموجوروف-سميرنوف واختبار شابيرو-ويلك—يركز اختبار جارك-بيرا حصرياً على فحص الخصائص الشكلية للتوزيع من خلال التزاوج الرياضي بين معامل الالتواء (Skewness) ومعامل التفرطح (Kurtosis)، مما يمنحه قوة تشخيصية استثنائية وطبيعة تقاربية مثالية عند التعامل مع العينات الكبيرة والمتوسطة الحجم.

ومع التحول الرقمي الشامل في التحليلات السيكومترية الحديثة، أصبحت لغة البرمجة الإحصائية R البيئة القياسية والمنصة البرمجية الأكثر مرونة ودقة لتطبيق هذه الاختبارات المعقدة واستخلاص دلالاتها. يهدف هذا المقال الموسوعي إلى تقديم دليل تطبيقي ونظري متكامل حول كيفية إجراء اختبار جارك-بيرا في بيئة R، بدءاً من تفكيك جذوره الرياضية ونظرياته السيكومترية، مروراً بكتابة الأكواد البرمجية الاحترافية باستخدام الحزم المتخصصة مثل tseries وmoments وfBasics، وصولاً إلى تفسير المخرجات وصياغتها وفق دليل النشر الأكاديمي الصادر عن جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th Edition)، ومعالجة الانتهاكات المحتملة بكفاءة واقتدار.

1. مقدمة تأسيسية حول اختبار جارك-بيرا (Jarque-Bera Test) وأهميته الإحصائية

1.1 التعريف النظري باختبار جارك-بيرا ودوره كاختبار لحسن المطابقة

يُعرَّف اختبار جارك-بيرا (Jarque-Bera Test) بأنه اختبار إحصائي لامتطابق يُصنف ضمن اختبارات حسن المطابقة (Goodness-of-Fit)، صُمم خصيصاً للتحقق مما إذا كانت العينة المسحوبة من مجتمع إحصائي تتبع التوزيع الطبيعي النظري. يقوم الاختبار في جوهره على قياس التباعد النسبي بين عزوم العينة الملاحظة (Sample Moments)—وتحديداً العزم المركزي الثالث المعياري (الالتواء) والعزم المركزي الرابع المعياري (التفرطح)—وبين القيم المتوقعة لتلك العزوم في التوزيع الطبيعي الخالص.

في ميدان القياس النفسي والسلوكي، تتجلى أهمية فحص حسن المطابقة في التحقق من أن الاستجابات الناتجة عن مقاييس الشخصية، ومقاييس الاتجاهات، والقدرات المعرفية تخضع لتوزيع اعتدالي يسمح بتطبيق النماذج السيكومترية الكلاسيكية. وتتحدد بنية الفرضيات في اختبار جارك-بيرا على النحو الآتي:

• الفرضية الصفرية (H₀): تنص على أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي؛ أي أن معامل الالتواء يساوي صفراً (Skewness = 0)، ومعامل التفرطح الزائد يساوي صفراً (Excess Kurtosis = 0 أو Kurtosis = 3).
• الفرضية البديلة (H₁): تنص على أن البيانات لا تتبع التوزيع الطبيعي؛ أي أن معامل الالتواء يختلف جوهرياً عن الصفر، أو أن معامل التفرطح يختلف عن 3، أو كلاهما معاً.

ويكمن التمايز الجوهري بين اختبار جارك-بيرا واختبارات المطابقة الشاملة (Omnibus Tests) الأخرى في أن الاختبارات الشاملة المعتمدة على الفروق الرأسية في دوال التوزيع (EDF Tests) كاختبار كولموجوروف-سميرنوف تأخذ في الحسبان جميع انحرافات التوزيع التراكمي، بينما يركز جارك-بيرا بدقة على التماثل والتمركز والحدّة الذيولية عبر العزوم، مما يجعله أكثر حساسية وتشخيصاً لطبيعة التشوه في شكل التوزيع الإحصائي للبيانات السلوكية.

1.2 أهمية افتراض الاعتدالية في الأبحاث النفسية والقياس السلوكي

يمثل افتراض الاعتدالية (Normality Assumption) حجر الزاوية في ضمان صدق النتائج المستخلصة من التحليلات الإحصائية الاستدلالية المعلمية. فعندما يستخدم الباحث النفسي اختبار “ت” لعينتين مستقلتين لمقارنة مستويات القلق بين مجموعتين، أو تحليل التباين (ANOVA) لاختبار فعالية تدخلات علاجية متعددة، أو نماذج الانحدار الخطي لنمذجة العلاقات السببية، فإن الاشتقاق الرياضي لإحصاءات الاختبار (مثل قيم t و F) وفترات الثقة يعتمد تماماً على فرضية أن الأخطاء العشوائية أو المشاهدات تتوزع توزيعاً طبيعياً.

ويؤدي انتهاك هذا الافتراض إلى عواقب وخيمة على مستوى دقة الاستدلال السيكومتري؛ حيث تفقد التقديرات كفاءتها الإحصائية، وتصبح قيم الدلالة الاحتمالية (P-values) غير منضبطة، مما قد يقود الباحث إلى رفض فرضيات صفرية صحيحة (خطأ من النوع الأول) أو الفشل في رصد فروق حقيقية وجوهرية (خطأ من النوع الثاني). علاوة على ذلك، يلعب التوزيع الطبيعي دوراً محورياً في بناء وتوحيد معايير الاختبارات النفسية المقننة (Norm-Referenced Tests)، مثل اختبارات الذكاء ومقاييس الشخصية (مثل مقياس وكسلر أو اختبار مينيسوتا المتعدد الأوجه MMPI)؛ إذ تُشتق الدرجات المعيارية (Z-scores) والتئينات (Percentiles) استناداً إلى المنحنى الطبيعي لتحديد موقع الفرد بالنسبة للمجتمع المرجعي بدقة متناهية.

وفي التطبيقات المتقدمة للنمذجة الخطية، ينبغي التمييز بوضوح بين فحص الاعتدالية للمتغيرات الأصلية الخام وفحصها على مستوى بواقي النموذج (Residuals). فالنماذج الإحصائية المعلمية لا تشترط بالضرورة اعتدالية المتغيرات التفسيرية (المستقلة)، بل تشترط اعتدالية البواقي العشوائية غير المفسرة، وهو ما يجعل اختبار جارك-بيرا أداة حاسمة في مرحلة تشخيص النموذج السيكومتري لضمان خلوه من التشوهات النسقية.

1.3 مقارنة أولية بين اختبار جارك-بيرا وبقية اختبارات التوزيع الطبيعي

تتعدد الاختبارات الإحصائية المتاحة في حزم البرمجيات لفحص اعتدالية البيانات، وتتباين هذه الأدوات في مرتكزاتها النظرية ومستويات قوتها الإحصائية تبعاً لخصائص العينة. يحظى اختبار شابيرو-ويلك (Shapiro-Wilk) بشعبية طاغية في العينات الصغيرة والمتوسطة نظراً لاعتماده على تحليل الارتباط بين المشاهدات المرتبة وترتيب إحصاءات النظام الطبيعي، مما يجعله عالي القوة في العينات التي يقل حجمها عن 50 مفحوصاً. في المقابل، يُعد اختبار كولموجوروف-سميرنوف (Kolmogorov-Smirnov)—حتى مع تعديل ليليفورس (Lilliefors)—أقل حساسية ويعاني من ضعف القوة الإحصائية عند التعامل مع التوزيعات التي تعاني من تشوهات في الذيول.

يتميز اختبار جارك-بيرا عن هذين الاختبارين بتركيزه الصريح على معادلات العزوم الإحصائية، مما يجعله الخيار الأمثل والمفضل في النماذج الاقتصادية القياسية، والبحوث النفسية السلوكية واسعة النطاق، والتحليلات البيج-داتا (Big Data) التي تتجاوز فيها العينات مئات أو آلاف المشاهدات. يرجع هذا التفضيل إلى أن القيمة المحسوبة للاختبار توفر للمحلل فهماً مباشراً وتفكيكياً لمصدر الانحراف عن الاعتدالية: هل يرجع السبب إلى عدم تماثل الاستجابات (الالتواء) أم إلى ثقل الذيول وتراكم الحالات المتطرفة (التفرطح)؟

ومع ذلك، تبرز حدود واضحة لاستخدام اختبار جارك-بيرا؛ إذ إن اعتماده على الخصائص التقاربية (Asymptotic Properties) يجعله غير دقيق في العينات الصغيرة جداً (أقل من 30 إلى 50 مشاهدة)، حيث تتضخم معدلات الخطأ من النوع الأول وتقل قدرته على تمييز التوزيعات غير الطبيعية ذات العزوم القريبة من المعايير الطبيعية. ولذلك، يتطلب التحليل السيكومتري الرصين إدراكاً عميقاً لهذه المفاضلات لاختيار الاختبار الأنسب لحجم وطبيعة البيانات المجمعة.

2. الأسس الرياضية والنظرية لاختبار جارك-بيرا (Mathematical Foundations)

2.1 معامل الالتواء (Skewness) ومفهوم التماثل الإحصائي

يُمثل معامل الالتواء (Skewness) المقياس الإحصائي المعني بقياس درجة عدم التماثل (Asymmetry) لتوزيع الاحتمال حول متوسطه الحسابي. في التحليل الرياضي، يُعرَّف الالتواء كعزم مركزي معياري من الدرجة الثالثة، ويُحسب للعينة من خلال المعادلة الآتية:

S = [ (1/n) * ∑ (X_i – X̄)³ ] / [ (1/n) * ∑ (X_i – X̄)² ]^(3/2)

حيث يمثل n حجم العينة، و X_i القيمة الفردية، و X̄ المتوسط الحسابي للعينة. في التوزيع الطبيعي المعياري التام، يكون شكل المنحنى متماثلاً تماماً حول مركزه، مما يجعل قيمة الالتواء مساوية للصفر (S = 0).

في دراسات العلوم السلوكية والقياس النفسي، ينقسم الالتواء إلى نمطين رئيسيين يحمل كل منهما دلالات سيكومترية عميقة:

• الالتواء الموجب (Positive / Right Skew): يمتد ذيل التوزيع الطويل نحو اليمين (القيم المرتفعة)، حيث تتكدس غالبية استجابات المفحوصين عند الطرف الأدنى للمقياس، وتكون قيمة المتوسط الحسابي أكبر من الوسيط. يظهر هذا النمط بشكل متكرر في مقاييس الأعراض المرضية كالاكتئاب أو القلق السريري لدى عينات غير إكلينيكية من المجتمع العام.
• الالتواء السالب (Negative / Left Skew): يمتد ذيل التوزيع نحو اليسار (القيم المنخفضة)، وتتجمع معظم الاستجابات عند الحد الأعلى للمقياس، ويكون المتوسط الحسابي أقل من الوسيط. يتكرر هذا النمط في اختبارات الكفاءة السهلة أو مقاييس الرضا الوظيفي وجودة الحياة.

وتجدر الإشارة إلى أن معامل الالتواء يتميز بحساسية مفرطة لوجود القيم المتطرفة (Outliers)؛ فنظراً لرفع الفروق عن المتوسط إلى القوة التكعيبية (درجة 3)، فإن وجود بضع مشاهدات شاذة في أطراف المقياس النفسي كفيل برفع قيمة S بصورة مصطنعة، مما ينعكس مباشرة على تضخيم إحصائية جارك-بيرا النهائية.

2.2 معامل التفرطح (Kurtosis) والتفرطح الزائد (Excess Kurtosis)

يركز معامل التفرطح (Kurtosis) على قياس مقدار التمركز والحدّة في قمة التوزيع النسبي وثقل الذيول (Tails Heaviness) مقارنة بالتوزيع الطبيعي. رياضياً، يُشتق التفرطح من العزم المركزي المعياري الرابع، ويُعبر عنه بالمعادلة التالية:

C = [ (1/n) * ∑ (X_i – X̄)⁴ ] / [ (1/n) * ∑ (X_i – X̄)² ]²

في التوزيع الطبيعي الخالص، تبلغ قيمة هذا العزم الرابع المعياري 3 تماماً (C = 3). ولتسهيل المقارنة المباشرة وجعل نقطة الصفر هي المرجع القياسي، يُلجأ عادة إلى حساب ما يُعرف بـ التفرطح الزائد (Excess Kurtosis)، والذي يُحسب بطرح القيمة 3 من التفرطح المطلق: Excess Kurtosis = C – 3.

تُصنف التوزيعات الإحصائية سيكومترياً بناءً على قيمة التفرطح إلى ثلاثة أنماط أساسية:

• التوزيع المعتدل (Mesokurtic): تبلغ فيه قيمة التفرطح 3 (والتفرطح الزائد = 0)، حيث يتطابق شكل قمة المنحنى وثقل ذيوله مع التوزيع الطبيعي المعياري.
• التوزيع المدبب أو ذو الذيول الثقيلة (Leptokurtic): تزيد فيه قيمة التفرطح عن 3 (التفرطح الزائد > 0)، ويتسم بقمة حادة وضخمة وذيول عريضة وممتدة تحوي احتمالات مرتفعة للظواهر الشاذة. يحظى هذا النمط بأهمية إكلينيكية قصوى؛ إذ يشير إلى تكدس شديد للأفراد حول المتوسط مع وجود نسب معتبرة من الحالات المتطرفة سريرياً التي تتطلب تدخلاً خاصاً.
• التوزيع المسطح أو ذو الذيول الخفيفة (Platykurtic): تقل فيه قيمة التفرطح عن 3 (التفرطح الزائد < 0)، ويتميز بقمة مفلطحة وتشتت واسع للبيانات مع ذيول رقيقة تشير إلى ندرة الاستجابات المتطرفة وتباعد درجات المفحوصين بانتظام عبر المدى القياسي.

2.3 اشتقاق إحصائية اختبار جارك-بيرا وتوزيع كاي تربيع المصاحب

استند كارلوس جارك وأنيل بيرا في اشتقاقهما للاختبار إلى مبدأ مضاعف لاغرانج (Lagrange Multiplier Test) في نظرية التقدير الإحصائي. وبما أن التوزيع الطبيعي يتحدد بصورة كاملة عبر عزميه الأولين (المتوسط والتباين)، فإن أي انحراف عن الاعتدالية يجب أن ينعكس في العزوم العليا (الثالث والرابع). وتُعطى الصيغة الرياضية الكلاسيكية لاحتساب إحصائية جارك-بيرا (JB) بالمعادلة التالية:

JB = (n / 6) * [ S² + (1/4) * (C – 3)² ]

وعند تطبيق الاختبار على بواقي نماذج الانحدار التي تتضمن عدداً من المتغيرات التفسيرية، يُعدل المعامل ليتضمن درجات الحرية عبر الصيغة:

JB = [ (n – k + 1) / 6 ] * [ S² + (1/4) * (C – 3)² ]

حيث تمثل الرموز ما يأتي:

• n: حجم العينة الإجمالي أو عدد المشاهدات الفعالة.
• k: عدد المعلمات أو المتغيرات التفسيرية في النموذج الخطي (بما في ذلك الحد الثابت).
• S: معامل الالتواء المحسوب للعينة.
• C: معامل التفرطح المحسوب للعينة (حيث C – 3 يمثل التفرطح الزائد).

تتمتع إحصائية JB بسلوك تقاربي مبرهن رياضياً (Asymptotic Behavior)؛ فبموجب مبرهنة النهاية المركزية، يقترب توزيع الالتواء المعياري من التوزيع الطبيعي بتباين مقداره (6/n)، ويقترب توزيع التفرطح المعياري من التوزيع الطبيعي بتباين مقداره (24/n). وبتربيع هذين المتغيرين وجمعهما، تتبع إحصائية JB تقاربياً توزيع كاي تربيع (Chi-Square Distribution) بدرجتي حرية (df = 2):

JB ∼ χ²(2)

ومن هذه الصياغة يتضح سبب كون إحصائية جارك-بيرا موجبة دائماً؛ إذ إنها تتألف من مجموع قيمتين مربعتين (S² و (C-3)²). وكلما اقتربت قيمة JB من الصفر، دل ذلك على مطابقة مثالية للاعتدالية. بينما يشير ابتعاد الإحصائية عن الصفر وتجاوزها للقيمة الحرجة لتوزيع كاي تربيع عند درجتي حرية ومستوى دلالة محدد (مثلاً 5.991 عند α = 0.05) إلى وجود تشوه دال إحصائياً ينفي صفة التوزيع الطبيعي عن المجتمع الأصلي.

3. شروط وافتراضات تطبيق اختبار جارك-بيرا في الدراسات السيكومترية

3.1 حجم العينة ومبرهنة النهاية المركزية (Sample Size & Asymptotics)

يستند اختبار جارك-بيرا في استدلاله الاحتمالي إلى الخصائص المقاربة لعينات الحجم اللانهائي؛ ولذا فإن دقة التقريب لتوزيع كاي تربيع بدرجتي حرية ترتبط ارتباطاً وثيقاً بحجم العينة المتاحة لدى الباحث السلوكي. تشير الأدبيات الإحصائية المنهجية إلى ضرورة توافر عينات كبيرة نسبياً تتجاوز 50 إلى 100 مشاهدة على الأقل لضمان عدم تضخم معدلات الخطأ من النوع الأول (Type I Error Inflation)، حيث يؤدي تطبيق الصيغة التقاربية على عينات صغيرة (مثل n < 30) إلى الرفض المفرط للفرضية الصفرية رغم أن البيانات قد تكون مسحوبة من مجتمع معتدل في واقعه.

تتوافق هذه الطبيعة التقاربية لاختبار جارك-بيرا بشكل استثنائي مع دراسات القياس النفسي واسعة النطاق، مثل المسوح الميدانية السيكومترية، ودراسات تقنين الاختبارات الوطنية، وتحليلات نماذج الاستجابة للمفردة (IRT)، ودراسات النمذجة بالمعادلات البنائية (SEM) التي تتطلب عينات بالمئات أو الآلاف. وفي حال اضطرار الباحث للتعامل مع عينات صغيرة في دراسات الحالات النادرة، يتعين اللجوء إلى التعديلات الرياضية المصححة لحجم العينة مثل تعديل أورزوا (Urzúa Adjusted JB) لضبط الدلالة الاحتمالية وتجنب القرارات الخاطئة.

3.2 مستوى قياس المتغيرات واستقلال المشاهدات

يتطلب التطبيق المنهجي السليم لاختبار جارك-بيرا استيفاء شروط محددة تتعلق بطبيعة المتغيرات وتصميم الدراسة، وفي مقدمتها:

• مستوى القياس الكمي المتصل (Continuous Metric Scale): يفترض الاختبار أن المتغيرات المقاسة تقع على مستوى القياس الفئوي (Interval Scale) أو النسبي (Ratio Scale). يمثل تطبيق الاختبار على مقاييس ليكرت الرتبوية (Ordinal Likert Scales) ذات التدريجات الضيقة (3 إلى 5 استجابات) مجازفة إحصائية، ما لم تُعامل الدرجات الكلية المجمعة للمقاييس متعددة البنود كمتغيرات شبه متصلة وفق التقاليد السيكومترية الراسخة.
• استقلال المشاهدات (Independence of Observations): يُعد استقلال استجابات المفحوصين شرطاً حاسماً لا يقبل المساومة؛ إذ إن وجود أي ارتباط ذاتي (Autocorrelation) بين الدرجات يؤدي إلى انحياز تقديرات التباين وتشويه قيم الالتواء والتفرطح المحسوبة.
• البيانات المتداخلة والهرمية (Clustered Data): في الدراسات المدرسية أو الأسرية حيث يتداخل الطلاب داخل فصول أو مرضى داخل مراكز علاجية، يؤدي إغفال البنية الهرمية ووجود معامل ارتباط داخلي مرتفع (Intraclass Correlation – ICC) إلى تضخيم إحصائية JB، مما يستلزم فحص الاعتدالية على مستوى البواقي المصححة بالنماذج متعددة المستويات (Multilevel Models).

3.3 حساسية الاختبار للقيم المتطرفة والبيانات المفقودة

تعتمد حسابات الالتواء والتفرطح على رفع الفروق الفردية عن المتوسط إلى القوتين الثالثة والرابعة على التوالي؛ وتترتب على هذه الخاصية الجبرية حساسية فائقة ومفرطة لاختبار جارك-بيرا تجاه وجود القيم الشاذة والمتطرفة (Outliers). ففي البيانات السيكومترية، قد تنجم القيم المتطرفة عن أخطاء في إدخال البيانات، أو استجابات عشوائية وغير جادة من قبل المفحوصين، أو وجود حالات إكلينيكية حادة وفريدة. تكفي مشاهدة متطرفة واحدة في عينة متوسطة الحجم لتضخيم قيمة التفرطح بشكل هائل، مما يقود الاختبار فورياً إلى رفض الفرضية الصفرية للاعتدالية حتى لو كانت 99% من البيانات تتبع منحنى غاوس الطبيعي بدقة.

لذا، يتعين على الباحث اتباع استراتيجيات تشخيص صارمة في بيئة R قبل تشغيل الاختبار، تشمل رسم المخططات الصندوقية، وحساب مسافات كوك ومهالانوبيس لرصد النقاط المؤثرة. كما تفرض إشكالية البيانات المفقودة (Missing Data) تحدياً منهجياً إضافياً؛ إذ يتطلب التعامل معها تجنب الاستبعاد العشوائي الكلي للحالات (Listwise Deletion) الذي قد يشوه بنية التوزيع، واستبدال ذلك بأساليب التعويض المتعدد المتطورة (Multiple Imputation via mice) لضمان اتساق شكل العزوم الإحصائية بعد المعالجة.

4. إعداد وتجهيز بيئة العمل الإحصائية في لغة البرمجة R

4.1 تثبيت واستدعاء الحزم الإحصائية المتخصصة في R

تتميز لغة R بتوفر منظومة برمجية متكاملة تتيح حساب اختبار جارك-بيرا بدقة متناهية عبر عدة حزم رائدة. تُعد حزمة tseries المكتبة المرجعية الأشهر التي تتضمن الدالة القياسية jarque.bera.test(). وإلى جانبها، توفر حزم متخصصة أخرى مثل moments و fBasics و psych أدوات متقدمة لتشريح العزوم وحساب المؤشرات السيكومترية الوصفية.

لتثبيت هذه الحزم واستدعائها في جلسة العمل، يُنفذ الكود الإحصائي الآتي:

# تثبيت الحزم الإحصائية المطلوبة من مستودع CRAN
install.packages(c("tseries", "moments", "fBasics", "psych", "haven", "readr", "ggplot2", "car"))
# تحميل الحزم في بيئة العمل النشطة
library(tseries) # لتنفيذ اختبار جارك-بيرا الأساسي
library(moments) # لحساب معاملات الالتواء والتفرطح والاختبارات التابعة
library(fBasics) # للاختبارات المالية والإحصائية المتقدمة
library(psych) # للتحليلات السيكومترية والإحصاءات الوصفية المعمقة
library(haven) # لاستيراد ملفات SPSS
library(readr) # لقراءة ملفات البيانات النصية و CSV
library(ggplot2) # للتحقق البصري المتقدم
library(car) # لرسم مخططات QQ الاحترافية
# تثبيت بذرة التوليد العشوائي لضمان تكرارية النتائج العلمية (Reproducibility)
set.seed(12345)

يضمن ضبط خيار set.seed() استقرار المحاكاة وإمكانية تكرار وتدقيق النتائج الإحصائية بدقة من قِبل الباحثين والمحكمين الأكاديميين، وهو معيار جوهري في الممارسات العلمية المفتوحة (Open Science).

4.2 استيراد وتنظيف بيانات البحوث النفسية في R

تُحفظ بيانات البحوث السلوكية عادة بصيغ متعددة مثل جداول ميكروسوفت إكسل، أو ملفات القيم المفصولة بفواصل (CSV)، أو قواعد بيانات الحزمة الإحصائية للعلوم الاجتماعية (SPSS .sav). يوفر نظام R عبر حزمتي readr و haven دوالاً عالية الكفاءة لقراءة هذه البيانات مع الاحتفاظ بالملصقات السيكومترية (Variable Labels).

يوضح الكود التالي خطوات استيراد ملف بيانات سيكومتري افتراضي، وفحص هيكليته البرمجية، والتعامل مع القيم المفقودة:

# 1. استيراد بيانات بصيغة CSV
psych_data <- read_csv("psychometric_study_data.csv")
# أو استيراد ملف SPSS مباشر مع الاحتفاظ بالبيانات الوصفية
# psych_data <- read_sav("psychometric_study_data.sav")
# 2. فحص هيكل البيانات وأسماء المتغيرات
str(psych_data)
head(psych_data)
# 3. التأكد من تحويل المتغيرات المستهدفة إلى أرقام متصلة (Numeric)
psych_data$Anxiety_Total <- as.numeric(psych_data$Anxiety_Total)
psych_data$Depression_Total <- as.numeric(psych_data$Depression_Total)
# 4. تنظيف ومعالجة القيم المفقودة للمتغير المستهدف
clean_anxiety <- na.omit(psych_data$Anxiety_Total)
# التحقق من عدد الحالات الصالحة للتحليل النهائي
cat("عدد الحالات الصالحة بعد استبعاد المفقود:", length(clean_anxiety), "n")

4.3 الاستكشاف الأولي للمتغيرات وحساب الإحصاءات الوصفية

قبل الشروع في الاختبارات الاستدلالية الصارمة، يُوصى منهجياً بإجراء فحص استكشافي شامل للمتغيرات السيكومترية. توفر دالة describe() المضمنة في حزمة psych تقريراً وصفياً متكاملاً يتضمن المتوسطات الحسابية، والانحرافات المعيارية، والوسيط، ونسبة التشذيب، والمدى الربيعي، وقيم الالتواء والتفرطح الأولية مع أخطائها المعيارية.

# استخراج الإحصاءات الوصفية المعمقة لمتغيرات القياس النفسي
psych_summary <- describe(psych_data[, c("Anxiety_Total", "Depression_Total")])
print(psych_summary)
# استخراج وفحص الالتواء والتفرطح المستقل لكل متغير
skew_val <- psych::skew(psych_data$Anxiety_Total, na.rm = TRUE)
kurt_val <- psych::kurtosi(psych_data$Anxiety_Total, na.rm = TRUE) # يعطي التفرطح الزائد
cat("معامل الالتواء الأولي:", round(skew_val, 4), "n")
cat("معامل التفرطح الزائد الأولي:", round(kurt_val, 4), "n")

تساعد هذه المؤشرات الاستكشافية الباحث في التحقق من أن درجات المفحوصين تقع ضمن النطاق المنطقي المسموح به للمقياس (Minimum to Maximum)، وتكشف مبدئياً عن أي انحرافات صارخة قبل الخوض في اختبار جارك-بيرا الرسمي.

5. التطبيق العملي الأساسي لاختبار جارك-بيرا باستخدام حزمة tseries في R

5.1 توليد وتجربة بيانات عشوائية معتدلة للتوضيح المعياري

لترسيخ الفهم التطبيقي لمخرجات دالة jarque.bera.test()، سنقوم بتوليد متغير افتراضي عشوائي يتبع التوزيع الطبيعي القياسي بحجم عينة محدد (n = 300)، بمتوسط حسابي يساوي 50 وانحراف معياري قدره 10، يمثل درجات ذكاء معيارية على مقياس نفسي مقنن.

# توليد عينة طبيعية عشوائية
set.seed(42)
normal_sample <- rnorm(n = 300, mean = 50, sd = 10)
# تطبيق اختبار جارك-بيرا باستخدام حزمة tseries
jb_result_norm <- jarque.bera.test(normal_sample)
# طباعة المخرجات الكاملة للاختبار
print(jb_result_norm)

تُنتج هذه الدالة كائناً برمجياً من فئة htest (Hypothesis Test Object). ويمكن تفكيك واستخراج عناصره الفردية برمجياً كما يلي:

# استخراج المكونات التفصيلية للاختبار
jb_stat <- jb_result_norm$statistic # قيمة إحصائية الاختبار المحسوبة X-squared
jb_pval <- jb_result_norm$p.value # القيمة الاحتمالية
jb_df <- jb_result_norm$parameter # درجات الحرية (تساوي 2 دائماً)
cat("إحصائية JB المحسوبة:", round(jb_stat, 4), "n")
cat("درجات الحرية:", jb_df, "n")
cat("القيمة الاحتمالية P-value:", round(jb_pval, 5), "n")

في هذه الحالة الطبيعية النموذجية، ستكون قيمة إحصائية JB قريبة جداً من الصفر (مثلاً 0.45)، وستكون القيمة الاحتمالية أكبر بكثير من مستوى الدلالة 0.05 (مثلاً p = 0.798)، مما يفرض الفشل في رفض الفرضية الصفرية وتأكيد اعتدالية البيانات.

5.2 تطبيق الاختبار على متغيرات نفسية حقيقية أحادية البعد

لننتقل الآن إلى دراسة حالة واقعية تتضمن تطبيق الاختبار على درجات مقياس القلق العام (GAD-7)، وهو مقياس نفسي يُظهر في المجتمعات الطبيعية غير الإكلينيكية التواءً موجباً واضحاً؛ حيث يحصل أغلب الأفراد على درجات منخفضة بينما تتركز الأعراض الحادة لدى قلة من المفحوصين.

# محاكاة درجات مقياس قلق غير معتدل (ملتوي موجباً عبر توزيع كاي تربيع)
set.seed(101)
anxiety_scores <- rchisq(n = 250, df = 4) * 2.5
# تطبيق اختبار جارك-بيرا
jb_anxiety <- jarque.bera.test(anxiety_scores)
print(jb_anxiety)
# حساب الالتواء والتفرطح لتفسير أسباب الرفض
s_anx <- moments::skewness(anxiety_scores)
k_anx <- moments::kurtosis(anxiety_scores) # التفرطح المطلق
cat("الالتواء المحسوب للمقياس:", round(s_anx, 3), "n")
cat("التفرطح المطلق المحسوب:", round(k_anx, 3), "n")
cat("قرار الاختبار الإحصائي:", 
 ifelse(jb_anxiety$p.value < 0.05, 
 "رفض الفرضية الصفرية: البيانات غير معتدلة", 
 "قبول الفرضية الصفرية: البيانات معتدلة"), "n")

تُظهر مخرجات هذا الكود قيمة مرتفعة جداً لإحصائية جارك-بيرا وقيمة احتمالية بالغة الصغر (p < 0.001)، مما يبرهن بوضوح على عدم اعتدالية توزيع درجات القلق ويوجه الباحث نحو المعالجات السيكومترية اللازمة.

5.3 التطبيق التكراري على مصفوفة متغيرات متعددة (Automation with apply)

في المقاييس النفسية متعددة الأبعاد (مثل استبيان الشخصية ذي العوامل الخمسة الكبرى NEO-PI-R أو مقياس الاحتراق النفسي MBI)، يواجه الباحث تحدي فحص اعتدالية عشرات الأبعاد الفرعية والبنود دفعة واحدة. يوفر نظام البرمجة الاتجاهية في R عبر دوال apply() و sapply() إمكانية أتمتة هذه العملية بالكامل وبناء تقرير تجميعي منظم.

# إنشاء مصفوفة بيانات تتضمن 4 أبعاد نفسية مختلفة
set.seed(777)
survey_matrix <- data.frame(
 Neuroticism = rnorm(200, mean = 30, sd = 5),
 Extraversion = rnorm(200, mean = 28, sd = 4),
 Depression = rchisq(200, df = 3),
 Somatic_Symp = rexp(200, rate = 0.2)
)
# بناء دالة مخصصة لأتمتة فحص جارك-بيرا واستخراج النتائج
run_jb_summary <- function(df) {
 results_list <- lapply(names(df), function(var_name) {
 vec <- na.omit(df[[var_name]])
 jb <- jarque.bera.test(vec)
 sk <- moments::skewness(vec)
 kt <- moments::kurtosis(vec) - 3 # تفرطح زائد
 
 data.frame(
 Variable = var_name,
 N = length(vec),
 Skewness = round(sk, 3),
 Excess_Kurtosis = round(kt, 3),
 JB_Statistic = round(jb$statistic, 3),
 P_Value = format.pval(jb$p.value, digits = 4, eps = 0.001),
 Normality = ifelse(jb$p.value >= 0.05, "معتدل (Normal)", "غير معتدل (Non-Normal)"),
 stringsAsFactors = FALSE
 )
 })
 
 do.call(rbind, results_list)
}
# تشغيل الدالة وتوليد جدول التقييم الشامل
normality_report <- run_jb_summary(survey_matrix)
print(normality_report)
# تصدير التقرير إلى ملف CSV خارجي
write.csv(normality_report, "Multivariate_Normality_Report.csv", row.names = FALSE)

6. حزم ودوال بديلة لحساب اختبار جارك-بيرا في R وتعديلاته الرياضية

6.1 استخدام حزمة moments وحساب مؤشرات العزوم بشكل مستقل

توفر حزمة moments دالة بديلة تحمل الاسم jarque.test(). وتتميز هذه الحزمة بتمكين الباحث من فك شفرة الحسابات الإحصائية وحساب العزوم المستقلة خطوة بخطوة للتحقق من الموثوقية الرياضية للنتائج.

# استخدام دالة jarque.test من حزمة moments
jb_moments <- moments::jarque.test(anxiety_scores)
print(jb_moments)
# الحساب اليدوي البرمجي لمعادلة جارك-بيرا خطوة بخطوة في R
n_len <- length(anxiety_scores)
s_manual <- moments::skewness(anxiety_scores)
c_manual <- moments::kurtosis(anxiety_scores) # التفرطح المطلق (قيمته 3 للطبيعي)
# تطبيق الصيغة الرياضية الكلاسيكية
jb_manual_stat <- (n_len / 6) * (s_manual^2 + 0.25 * (c_manual - 3)^2)
jb_manual_pval <- pchisq(jb_manual_stat, df = 2, lower.tail = FALSE)
cat("إحصائية JB المحسوبة يدوياً:", round(jb_manual_stat, 4), "n")
cat("القيمة الاحتمالية المحسوبة يدوياً:", format.pval(jb_manual_pval, eps = 0.001), "n")

يُلاحظ وجود اختلافات طفيفة أحياناً بين بعض الحزم البرمجية تعود إلى الفروق في حساب قواسم التباين (استخدام n مقابل n-1 في درجات الحرية للعزوم المركزية)، إلا أن هذه الفروق تتلاشى تماماً مع نمو حجم العينة.

6.2 استخدام حزمة fBasics وإجراء الاختبارات التكيفية

تُعد حزمة fBasics إحدى أقوى الحزم المخصصة للتحليلات الإحصائية الدقيقة. تتضمن الحزمة الدالة jbTest() التي لا تكتفي بتقديم القيمة التقاربية الكلاسيكية، بل تقدم تقديراً للاختبار عبر محاكاة مونت-كارلو والمقارنة مع اختبار كولموجوروف-سيرفيلي (CS Test) ود’أغوستينو (D’Agostino).

# تشغيل اختبار جارك-بيرا المتقدم عبر fBasics
fbasics_jb <- fBasics::jbTest(anxiety_scores)
print(fbasics_jb)

توفر هذه الحزمة للمحلل السيكومتري تشخيصاً متقدماً لذيول التوزيع بدقة تفوق الدوال التقليدية، وتتيح إجراء مقارنات معيارية مباشرة لشكل التوزيع الملاحظ.

6.3 النسخ المعدلة لاختبار جارك-بيرا للعينات الصغيرة (Adjusted JB Tests)

نظراً للقصور الرياضي التقاربي لـ JB في العينات الصغيرة، اقترح الباحث أورزوا (Urzúa, 1996) نسخة معدلة تُعرف باختبار جارك-بيرا المصحح (Adjusted Jarque-Bera – AJB). يقوم هذا التعديل بضبط الانحياز وحساب التباين الحقيقي للعزمين الثالث والرابع في العينات المحدودة وفق المعادلات الآتية:

Var(S) = [ 6 * (n – 2) ] / [ (n + 1) * (n + 3) ]

Var(C) = [ 24 * n * (n – 2) * (n – 3) ] / [ (n + 1)² * (n + 3) * (n + 5) ]

يمكن بناء دالة متخصصة في R لتطبيق اختبار جارك-بيرا المصحح للعينات الصغيرة (AJB):

# بناء دالة اختبار جارك-بيرا المصحح للعينات الصغيرة (Urzua, 1996)
adjusted_jb_test <- function(x) {
 x <- na.omit(x)
 n <- length(x)
 
 if (n < 8) stop("حجم العينة صغير جداً لإجراء الاختبار المصحح (n >= 8 مطلوب)")
 
 s <- moments::skewness(x)
 c <- moments::kurtosis(x)
 
 # التوقعات الرياضية والتباينات المصححة للعينات المحدودة
 mean_s <- 0
 var_s <- (6 * (n - 2)) / ((n + 1) * (n + 3))
 
 mean_c <- 3 * (n - 1) / (n + 1)
 var_c <- (24 * n * (n - 2) * (n - 3)) / (((n + 1)^2) * (n + 3) * (n + 5))
 
 # إحصائية AJB المصححة
 ajb_stat <- ((s - mean_s)^2 / var_s) + ((c - mean_c)^2 / var_c)
 p_val <- pchisq(ajb_stat, df = 2, lower.tail = FALSE)
 
 result <- list(
 statistic = ajb_stat,
 p.value = p_val,
 method = "Urzua Adjusted Jarque-Bera Normality Test for Small Samples",
 n = n
 )
 class(result) <- "htest"
 return(result)
}
# تجربة الاختبار المصحح على عينة صغيرة الحجم (n = 25)
set.seed(99)
small_sample <- rnorm(25)
print(adjusted_jb_test(small_sample))

7. تفسير المخرجات الإحصائية وقراءة نتائج اختبار جارك-بيرا بدقة أكاديمية

7.1 تفسير قيمة إحصائية الاختبار (JB Statistic)

تُمثل إحصائية جارك-بيرا المحسوبة مؤشراً تجميعياً للمسافة الرياضية المربعة التي تفصل العينة الملاحظة عن التماثل والتفرطح الطبيعيين. كلما كانت هذه القيمة متدنية وقريبة من الصفر الصرف، عكس ذلك تطابقاً وثيقاً مع التوزيع الغوسي الطبيعي؛ حيث يشير اقتراب JB من الصفر إلى أن كلاً من معامل الالتواء ومعامل التفرطح الزائد يقتربان تزامناً من الصفر دون أي تشوه شكلي بارز.

ولتحديد مقدار مساهمة كل عزم في القيمة الإجمالية، يستطيع الباحث تفكيك الإحصائية إلى مركبتين:

1. مركبة عدم التماثل (Skewness Contribution): (n/6) * S²، وهي المسؤولة عن قياس الانحراف الناتج عن التواء الدرجات.
2. مركبة تشوه الذيول (Kurtosis Contribution): (n/24) * (C-3)²، وهي المسؤولة عن رصد التفرطح الحاد أو المسطح.

تتم مقارنة إحصائية JB المحسوبة بالقيمة الجدولية الحرجة لتوزيع كاي تربيع بدرجتي حرية (df = 2). عند مستوى دلالة α = 0.05، تبلغ القيمة الحرجة 5.991، وعند مستوى دلالة صارم α = 0.01، تبلغ القيمة الحرجة 9.210. فإذا تجاوزت القيمة المحسوبة حاجز 5.991، اعتُبر الانحراف عن الاعتدالية ذا دلالة إحصائية عند مستوى ثقة 95%.

7.2 تفسير القيمة الاحتمالية (P-value) واتخاذ القرار الإحصائي

تُعد القيمة الاحتمالية (P-value) المعيار الحاسم لاتخاذ القرار الإحصائي بشأن فرضية الاعتدالية، وتتحدد القواعد المنهجية للقرار كما يأتي:

• إذا كانت P-value ≥ 0.05: يفشل الباحث في رفض الفرضية الصفرية (Fail to reject H₀). يعني هذا القرار عدم وجود أدلة إحصائية كافية تشير إلى انتهاك التوزيع الطبيعي، مما يتيح الاعتماد الآمن على الاختبارات المعلمية الكلاسيكية.
• إذا كانت P-value < 0.05: تُرفض الفرضية الصفرية رسمياً لصالح الفرضية البديلة (Reject H₀)، وتُصنف البيانات على أنها لا تتبع التوزيع الطبيعي بدلالة إحصائية.

ومع ذلك، ينبغي على الباحث السلوكي المتمرس الحذر من “فخ العينات الضخمة جداً” (Large Sample Size Trap). ففي العينات التي تضم آلاف المشاهدات (مثلاً n > 5000)، يمتلك اختبار جارك-بيرا قوة إحصائية فائقة تجعله يرفض الفرضية الصفرية وتنتج عنه قيم p < 0.001 استجابةً لانحرافات شكلية بالغة الضآلة لا تترك أي أثر عملي يُذكر على صدق الاختبارات المعلمية. ولذا، يتحتم دائماً الجمع بين الدلالة الإحصائية للـ P-value والدلالة العملية عبر الفحص البصري وقيم الالتواء والتفرطح المطلقة (حيث يُعتبر الالتواء بين -1 و +1، والتفرطح الزائد بين -2 و +2، مؤشرات مقبولة عملياً للاعتدالية في كثير من الممارسات السيكومترية).

7.3 ربط نتائج JB بالسياق السيكومتري لخصائص المقياس

لا تنتهي مهمة الباحث بمجرد استخراج الأرقام الإحصائية، بل يجب ربط نتائج اختبار جارك-بيرا بالسياق السيكومتري للمقياس المدروس. فالالتواء المرتفع دال إحصائياً قد يفسر وجود عيوب بنائية في أداة القياس، مثل:

• تأثير الأرضية (Floor Effect): حيث تكون فقرات الاختبار شديدة الصعوبة أو تصف أعراضاً نادرة الحدوث، مما يدفع غالبية المفحوصين لتسجيل أدنى الدرجات الممكنة مسبباً التواءً موجباً حاداً.
• تأثير السقف (Ceiling Effect): حيث تكون فقرات الاختبار بالغة السهولة أو تقيس سمات مرغوبة اجتماعياً بصورة فجة، مما يجعل الدرجات تتكدس عند الحد الأقصى للمقياس مسبباً التواءً سالباً.

أما التفرطح الحاد الدال (Leptokurtosis) فيشير إلى تجانس مفرط (Excessive Homogeneity) في عينة الدراسة، أو ضعف قدرة البنود على التمييز والفرز السيكومتري بين المستويات المتباينة للسمة المقاسة، مما يقلل من القوة التمايزية للمقياس النفسي.

8. فحص اعتدالية بواقي نماذج الانحدار الخطي (Regression Residuals) في R

8.1 بناء النموذج الخطي وتوليد البواقي السيكومترية

في نماذج الانحدار الخطي المتعدد (Multiple Linear Regression)، لا يُشترط أن تتوزع المتغيرات المستقلة أو حتى المتغير التابع توزيعاً طبيعياً مطلقاً؛ بل ينصب شرط الاعتدالية الحاسم على بواقي النموذج (Residuals)، وهي الفروق العشوائية غير المفسرة بين القيم الملاحظة والقيم التنبؤية (e_i = Y_i – Ŷ_i). إن اعتدالية البواقي هي الضامن الوحيد لصحة فترات الثقة لضروب الانحدار، ودقة اختبارات F لاختبار النموذج الكلي، واختبارات t للمعلمات الفردية.

يوضح الكود التالي بناء نموذج انحدار خطي للتنبؤ بمستوى الرضا عن الحياة (Life Satisfaction) استناداً إلى الدعم الاجتماعي وتقدير الذات، وتوليد البواقي للفحص الإحصائي:

# محاكاة بيانات سيكومترية لنماذج الانحدار
set.seed(456)
n_subj <- 350
Social_Support <- rnorm(n_subj, mean = 50, sd = 8)
Self_Esteem <- rnorm(n_subj, mean = 40, sd = 6)
# توليد المتغير التابع مع خطأ عشوائي
Life_Satisfaction <- 10 + (0.4 * Social_Support) + (0.6 * Self_Esteem) + rnorm(n_subj, mean = 0, sd = 5)
# تجميع البيانات في إطار عمل
reg_data <- data.frame(Life_Satisfaction, Social_Support, Self_Esteem)
# بناء نموذج الانحدار الخطي المتعدد
reg_model <- lm(Life_Satisfaction ~ Social_Support + Self_Esteem, data = reg_data)
summary(reg_model)
# استخراج البواقي الخام والبواقي المعيارية (Standardized Residuals)
raw_residuals <- residuals(reg_model)
std_residuals <- rstandard(reg_model)

8.2 تطبيق اختبار جارك-بيرا مع تصحيح درجات الحرية (k Regressors)

عند اختبار بواقي الانحدار، ينبغي استخدام الصيغة المصححة التي تأخذ في الحسبان عدد المتغيرات التنبؤية في النموذج (k)، لتعويض الفقد في درجات الحرية نتيجة تقدير المعلمات:

# حساب عدد المشاهدات وعدد المعلمات المقدرة k (المتغيرات + الحد الثابت)
n_obs <- nrow(reg_data)
k_params <- length(coef(reg_model))
# استخراج الالتواء والتفرطح لبواقي النموذج
res_skew <- moments::skewness(raw_residuals)
res_kurt <- moments::kurtosis(raw_residuals)
# حساب إحصائية جارك-بيرا المصححة لمعلمات الانحدار
jb_reg_stat <- ((n_obs - k_params + 1) / 6) * (res_skew^2 + 0.25 * (res_kurt - 3)^2)
jb_reg_pval <- pchisq(jb_reg_stat, df = 2, lower.tail = FALSE)
cat("إحصائية JB المصححة لبواقي الانحدار:", round(jb_reg_stat, 4), "n")
cat("القيمة الاحتمالية P-value لبواقي النموذج:", round(jb_reg_pval, 5), "n")
cat("قرار فحص بواقي النموذج:", 
 ifelse(jb_reg_pval > 0.05, 
 "بواقي النموذج تتبع التوزيع الطبيعي (الافتراض محقق)", 
 "بواقي النموذج لا تتبع التوزيع الطبيعي (الافتراض منتهك)"), "n")

إذا أظهر هذا الفحص انتهاكاً لافتراض اعتدالية البواقي، فإن تقديرات معلمات الانحدار تظل غير منحازة (Unbiased) ولكنها تفقد خاصية الكفاءة المثلى (Efficiency – BLUE)، وتصبح فترات الثقة غير دقيقة، مما يستوجب استخدام أساليب الانحدار الحصين (Robust Regression) أو البوتسترابينج.

8.3 التشخيص التكاملي للبواقي مع فرضيات الانحدار الأخرى

يرتبط فحص اعتدالية البواقي بافتراضات النمذجة الخطية الأخرى، ولا سيما افتراض تجانس التباين (Homoscedasticity). ففي كثير من الأحيان، يؤدي وجود تباين غير متجانس (Heteroscedasticity) إلى تضخيم الذيول في البواقي بصورة تؤدي بالتبعية إلى فشل اختبار جارك-بيرا وظهور تفرطح شاذ مصطنع.

# فحص تجانس التباين باستخدام اختبار بروش-باغان (Breusch-Pagan Test)
# يتطلب حزمة lmtest
if (!require(lmtest)) install.packages("lmtest")
library(lmtest)
bp_test <- bptest(reg_model)
print(bp_test)
# مصفوفة التشخيص البصري الرباعية المعتمدة في R
par(mfrow = c(2, 2))
plot(reg_model)
par(mfrow = c(1, 1))

يتيح هذا الفحص التكاملي للمحلل استبانة ما إذا كان الخلل يكمن في اعتدالية البواقي بذاتها، أم أنه انعكاس لعدم خطية العلاقة أو غياب تجانس التباين عبر مستويات المتغير التنبؤي.

9. التحقق البصري المكمل لاختبار جارك-بيرا باستخدام ggplot2

9.1 رسم مخططات التوزيع التكراري ومنحنى الكثافة المعياري

لا يكتمل التحليل السيكومتري الرصين بالاعتماد الأعمى على الاختبارات الرقمية الصماء؛ إذ يُعد الفحص البصري (Visual Diagnostics) عبر حزمة ggplot2 خطوة لا غنى عنها لفهم الطبيعة الهندسية للتوزيع الملاحظ ورسم مقارنة بصرية بين المنحنى الملاحظ ومنحنى غاوس النظري.

# إنشاء مخطط التوزيع التكراري مع منحنى الكثافة ومنحنى التوزيع الطبيعي
ggplot(reg_data, aes(x = Life_Satisfaction)) +
 # رسم المدرج التكراري المعياري
 geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 25, 
 fill = "#2c3e50", color = "white", alpha = 0.7) +
 # إضافة منحنى الكثافة التجريبي الملاحظ
 geom_density(color = "#e74c3c", size = 1.2, linetype = "solid") +
 # إضافة منحنى التوزيع الطبيعي النظري المقابل
 stat_function(fun = dnorm, 
 args = list(mean = mean(reg_data$Life_Satisfaction), 
 sd = sd(reg_data$Life_Satisfaction)),
 color = "#27ae60", size = 1.2, linetype = "dashed") +
 theme_minimal(base_size = 14) +
 labs(
 title = "المخطط التكراري وكثافة توزيع درجات الرضا عن الحياة",
 subtitle = "المنحنى الأحمر المتقطع: الطبيعي النظري | المنحنى الأخضر المتصل: التجريبي الملاحظ",
 x = "الدرجة الكلية للرضا عن الحياة",
 y = "الكثافة الاحتمالية (Density)"
 ) +
 theme(plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
 plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5))

9.2 مخطط الاحتمال الطبيعي ومخطط الربعيات (Q-Q Plot)

يُعتبر مخطط الربعيات الطبيعية (Quantile-Quantile Plot / Q-Q Plot) الأداة البصرية التشخيصية الأهم لتقييم الاعتدالية. يقوم المخطط بمطابقة ربيعيات العينة التجريبية على المحور الرأسي مع الربيعيات المتوقعة للتوزيع الطبيعي النظري على المحور الأفقي. إذا كانت البيانات معتدلة تماماً، تصطف جميع النقاط على خط مستقيم بزاوية 45 درجة.

# رسم مخطط Q-Q احترافي مع مناطق الثقة 95% باستخدام حزمة car
car::qqPlot(reg_data$Life_Satisfaction, 
 distribution = "norm",
 main = "مخطط الربعيات الطبيعية (Q-Q Plot) مع شريط الثقة 95%",
 xlab = "الربيعيات الطبيعية النظرية",
 ylab = "ربيعيات العينة الملاحظة",
 col = "#2980b9", col.lines = "#c0392b", pch = 19)

يُترجم شكل الانحرافات في أطراف مخطط Q-Q مباشرة إلى لغة العزوم لاختبار جارك-بيرا:

• انحناء على شكل حرف S (S-shape): يشير إلى تفرطح حاد وثقل في الذيول (Leptokurtic).
• انحناء على شكل حرف S معكوس: يشير إلى تفرطح مسطح وخفة الذيول (Platykurtic).
• تقوس المنحنى بأكمله لأعلى أو لأسفل عن الخط المرجعي: يشير مباشرة إلى الالتواء الموجب أو السالب على التوالي.

9.3 مخططات الصندوق والتشتت لتشخيص الحالات الطرفية

تساعد المخططات الصندوقية (Boxplots) ومخططات الكمان (Violin Plots) في كشف النقاط الشاذة والطرفية المسؤولة عن تضخيم التفرطح في إحصائية JB.

# رسم مخطط الكمان المدمج بالصندوق لتشخيص التوزيع
ggplot(reg_data, aes(y = Life_Satisfaction, x = "")) +
 geom_violin(fill = "#ecf0f1", color = "#7f8c8d", alpha = 0.8) +
 geom_boxplot(width = 0.2, fill = "#3498db", color = "#2c3e50", 
 outlier.color = "#e74c3c", outlier.size = 3) +
 theme_minimal(base_size = 14) +
 labs(
 title = "مخطط الصندوق والكمان لفحص تركز الدرجات والقيم المتطرفة",
 y = "درجات المقياس النفسي",
 x = ""
 ) +
 theme(plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5))

10. التعامل مع انتهاك افتراض الاعتدالية: الحلول والبدائل في R

10.1 التحويلات الرياضية لتعديل الالتواء والتفرطح (Data Transformations)

عندما يسفر اختبار جارك-بيرا عن رفض قاطع للاعتدالية، يمتلك الباحث السلوكي ترسانة من التحويلات الرياضية غير الخطية القادرة على إعادة استقرار العزوم وجعل التوزيع قريباً من التوزيع الطبيعي:

1. التحويل اللوغاريتمي (Log Transformation – log(x)): فعال للغاية في تصحيح الالتواء الموجب المتوسط والشديد.
2. تحويل الجذر التربيعي (Square Root Transformation – sqrt(x)): ملائم للالتواء الموجب الطفيف وبيانات التكرارات والعدّ (Count Data).
3. تحويل مقلوب القيمة (Inverse / Reciprocal – 1/x): يعالج الالتواء الموجب الشديد جداً (مع الحذر من تغيير اتجاه تفسير الدرجات).
4. تحويلات بوكس-كوكس المعلمية (Box-Cox Transformation): طريقة تلقائية متقدمة للبحث عن القوة الأسية المثلى (λ) لتقريب البيانات من الاعتدالية عبر الحزمة MASS.

# تطبيق تحويل بوكس-كوكس الآلي
library(MASS)
# محاكاة متغير شديد الالتواء
set.seed(33)
skewed_var <- rexp(200, rate = 0.1) + 1 # ضمان قيم موجبة تماماً
# البحث عن المعلمة المثلى لامدا Lambda
bc <- boxcox(skewed_var ~ 1, plotit = FALSE)
optimal_lambda <- bc$x[which.max(bc$y)]
cat("قيمة لامدا المثلى لبوكس-كوكس:", round(optimal_lambda, 4), "n")
# تطبيق التحويل الأمثل
transformed_var <- if (abs(optimal_lambda) < 0.01) {
 log(skewed_var)
} else {
 (skewed_var^optimal_lambda - 1) / optimal_lambda
}
# إعادة فحص جارك-بيرا بعد التحويل لتقييم نجاح الإجراء
jb_post_trans <- jarque.bera.test(transformed_var)
cat("P-value لاختبار JB قبل التحويل:", format.pval(jarque.bera.test(skewed_var)$p.value), "n")
cat("P-value لاختبار JB بعد تحويل بوكس-كوكس:", round(jb_post_trans$p.value, 4), "n")

10.2 استخدام الأساليب الإحصائية اللامعلمية والبديلة (Non-Parametric Methods)

إذا لم تفلح التحويلات الرياضية في استعادة الاعتدالية، أو فضل الباحث الحفاظ على الدرجات الأصلية لتسهيل التفسير النفسي، يتعين التحول إلى الإحصاء اللامعلمي (Non-Parametric Statistics) الذي لا يفرض أي شروط على شكل التوزيع:

• استخدام اختبار مان-ويتني (Mann-Whitney U / Wilcoxon Rank-Sum) كبديل لاختبار “ت” للعينات المستقلة: wilcox.test(y ~ group, data = df).
• استخدام اختبار كروسكال-واليز (Kruskal-Wallis) كبديل لتحليل التباين الأحادي (ANOVA): kruskal.test(y ~ group, data = df).
• استخدام معامل ارتباط الرتب لسبيرمان (Spearman’s Rho) بدلاً من معامل بيرسون: cor.test(x, y, method = "spearman").
• تطبيق النماذج الخطية المعممة (Generalized Linear Models – GLM) لنمذجة المتغيرات التابعة ذات التوزيعات غير الطبيعية (مثل توزيع جاما أو بواسون أو التوزيع اللوجستي).

10.3 أساليب إعادة أخذ العينات والتعزيز الإحصائي (Bootstrapping)

يُمثل أسلوب إعادة أخذ العينات المعزز بالبوتستراب (Bootstrapping) البديل الإحصائي الحديث والأكثر قوة عند انتهاك فرضية الاعتدالية في النماذج المعقدة كالوساطة والاعتدال والانحدار المتعدد. لا يعتمد البوتستراب على أي افتراضات شكلية للعزوم، بل يقوم بتوليد التوزيع العيني التجريبي عبر سحب آلاف العينات العشوائية مع الإحلال من بيانات الدراسة نفسها.

# تطبيق البوتستراب لنموذج الانحدار باستخدام حزمة boot
library(boot)
# تعريف دالة حساب معاملات الانحدار لكل عينة بوتستراب
boot_reg_fn <- function(data, indices) {
 d <- data[indices, ]
 fit <- lm(Life_Satisfaction ~ Social_Support + Self_Esteem, data = d)
 return(coef(fit))
}
# تشغيل 2000 إعادة بوتستراب
set.seed(888)
boot_results <- boot(data = reg_data, statistic = boot_reg_fn, R = 2000)
# استخراج فترات الثقة المصححة بالانحياز والتسارع (BCa Confidence Intervals)
boot_ci_social <- boot.ci(boot_results, type = "bca", index = 2)
print(boot_ci_social)

تضمن فترات الثقة BCa هذه استنتاجاً دقيقاً وحصيناً لا يتأثر بالالتواء أو التفرطح الشديد للبواقي.

11. مقارنة منهجية شاملة: جارك-بيرا في مواجهة اختبارات الاعتدالية الأخرى

11.1 مقارنة القوة الإحصائية (Statistical Power Analysis)

تتفاوت القوة الإحصائية (Statistical Power)—وهي القدرة على الرفض الصحيح للفرضية الصفرية عندما تكون البيانات غير معتدلة في الواقع—بين اختبار جارك-بيرا والاختبارات التنافسية بناءً على نمط التوزيع البديل وحجم العينة:

• أمام التوزيعات ذات الذيول الثقيلة المتماثلة (مثل توزيع t لستيودنت): يتفوق اختبار جارك-بيرا بشكل حاسم على اختبار كولموجوروف-سميرنوف وليليفورس؛ نظراً لتركيز JB الصريح على قياس العزم الرابع (التفرطح).
• أمام التوزيعات غير المتماثلة الملتوية (مثل توزيع جاما وتوزيع بيتا ولوغ-نورمال): يُظهر اختبار شابيرو-ويلك واختبار أندرسون-دارلينج (Anderson-Darling) حساسية وقوة أعلى في العينات الصغيرة والمتوسطة، بينما يتعادل جارك-بيرا معهما مع تجاوز العينة حاجز 100 مفحوص.
• أمام التوزيعات المسطحة والموحدة (Uniform Distributions): يمتلك اختبار أندرسون-دارلينج حساسية مرتفعة جداً عند الأطراف، في حين يرصد جارك-بيرا الانخفاض الحاد في التفرطح بكفاءة عالية في العينات الكبيرة.

11.2 جدول المفاضلة الإرشادية للباحث النفسي

يلخص الجدول الإرشادي التالي معايير المفاضلة المنهجية لاختيار اختبار الاعتدالية الملائم في الدراسات السيكومترية:

اسم الاختبار الإحصائي	حجم العينة الموصى به	المرتكز الرياضي النظري	أبرز نقاط القوة	أبرز نقاط الضعف والمحددات
جارك-بيرا (Jarque-Bera)	عينات كبيرة (n > 100) وبواقي النماذج	عزوم العينة المعيارية (الالتواء والتفرطح)	كشف فوري لطبيعة الخلل (التواء أم تفرطح)، ممتاز للبواقي	تضخم الخطأ من النوع الأول في العينات الصغيرة (n < 30)
شابيرو-ويلك (Shapiro-Wilk)	عينات صغيرة ومتوسطة (n < 50 إلى 2000)	الارتباط بين المشاهدات وإحصاءات النظام	أعلى قوة إحصائية شاملة لمعظم التوزيعات البديلة	حساسية مفرطة وغير مفيدة في العينات الضخمة جداً
أندرسون-دارلينج (Anderson-Darling)	عينات متوسطة وكبيرة (n > 50)	الفروق التراكمية مع ترجيح الذيول	حساسية استثنائية لتشوهات واضطرابات الذيول	صعوبة تفكيك مصدر الانتهاك برمجياً بدقة
كولموجوروف-سميرنوف (مع ليليفورس)	عينات كبيرة فقط (n > 300)	أقصى فرق رأسي في دالة التوزيع التراكمي (EDF)	شائع تاريخياً وسهل التطبيق الشامل	ضعف شديد في القوة الإحصائية مقارنة بالبدائل

11.3 تنفيذ مصفوفة اختبارات الاعتدالية المتعددة دفعة واحدة في R

لضمان اتخاذ قرار منهجي قاطع لا يرتهن لتقلبات اختبار منفرد، يُوصى في الممارسات البحثية المتقدمة بتطبيق مصفوفة اختبارات متعددة باستخدام حزمة nortest ومقارنة درجات التوافق الإحصائي:

# تثبيت واستدعاء حزمة nortest للاختبارات التراكمية
if (!require(nortest)) install.packages("nortest")
library(nortest)
# بناء دالة المصفوفة المقارنة الشاملة للاعتدالية
multi_normality_battery <- function(x) {
 x <- na.omit(x)
 
 # تنفيذ حزمة الاختبارات
 jb_res <- tseries::jarque.bera.test(x)
 sw_res <- if(length(x) <= 5000) shapiro.test(x) else list(statistic = NA, p.value = NA)
 ad_res <- nortest::ad.test(x)
 ll_res <- nortest::lillie.test(x)
 
 # بناء جدول المقارنة
 battery_df <- data.frame(
 Test_Name = c("Jarque-Bera", "Shapiro-Wilk", "Anderson-Darling", "Lilliefors (K-S)"),
 Statistic = c(jb_res$statistic, sw_res$statistic, ad_res$statistic, ll_res$statistic),
 P_Value = c(jb_res$p.value, sw_res$p.value, ad_res$p.value, ll_res$p.value)
 )
 
 battery_df$Decision <- ifelse(battery_df$P_Value >= 0.05, "معتدل (Normal)", "غير معتدل (Reject H0)")
 battery_df$P_Value_Formatted <- format.pval(battery_df$P_Value, digits = 4, eps = 0.001)
 
 return(battery_df[, c("Test_Name", "Statistic", "P_Value_Formatted", "Decision")])
}
# تطبيق البطارية على درجات متغير نفسي
battery_results <- multi_normality_battery(reg_data$Life_Satisfaction)
print(battery_results)

12. أفضل الممارسات، توثيق التقارير الأكاديمية (APA)، وتطبيقات عملية

12.1 صياغة وتوثيق نتائج اختبار جارك-بيرا وفق دليل جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th)

يفرض دليل النشر الأكاديمي الصادر عن جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th Edition) قواعد صارمة للشفافية المنهجية في توثيق الفروض الإحصائية. وعند كتابة نتائج اختبار جارك-بيرا في المتن الأكاديمي، تُوثق إحصائية كاي تربيع، ودرجات الحرية بين قوسين، والقيمة الاحتمالية الدقيقة، مصحوبة بقيمتي الالتواء والتفرطح لتوضيح طبيعة التوزيع.

النموذج النصي المعتمد باللغة العربية (في حال اعتدالية البيانات):

“تم فحص افتراض الاعتدالية لدرجات مقياس الرضا عن الحياة (N = 350) باستخدام اختبار جارك-بيرا لحسن المطابقة. أظهرت النتائج أن توزيع الدرجات لا يختلف جوهرياً عن التوزيع الطبيعي المعياري، حيث بلغت إحصائية الاختبار المحسوبة: JB = 0.842، بدرجتي حرية، بقيمة احتمالية غير دالة إحصائياً (p = .656)، مع اقتراب معامل الالتواء (S = 0.08) ومعامل التفرطح الزائد (C – 3 = -0.15) من الصفر الصرف. وعليه، تم المضي قدماً في تطبيق النماذج المعلمية بثقة.”

النموذج النصي المعتمد باللغة العربية (في حال انتهاك الاعتدالية):

“أشار اختبار جارك-بيرا إلى انتهاك دال إحصائياً لافتراض التوزيع الطبيعي في درجات مقياس القلق السريري، χ²(2) = 48.72، p < .001. ويُعزى هذا الانتهاك إلى وجود التواء موجب جوهري (S = 1.42) مصحوباً بتفرطح حاد ذي ذيول ثقيلة (C – 3 = 2.18). وبناءً على ذلك، تم الاعتماد على فترات الثقة المعززة بأسلوب البوتستراب (Bootstrapped BCa 95% CIs) في تقدير معلمات الانحدار اللاحقة.”

Standard APA 7th English Reporting Template:

“Prior to parametric hypothesis testing, the normality assumption of the regression residuals was assessed using the Jarque-Bera test. The results confirmed that the residuals conformed to a normal distribution, χ²(2, N = 350) = 1.15, p = .563, with sample skewness (S = 0.05) and excess kurtosis (Excess C = -0.18) well within the acceptable psychometric boundaries.”

12.2 دراسة حالة تطبيقية متكاملة في القياس النفسي والعلوم السلوكية

نستعرض فيما يلي سيناريو بحثياً تطبيقياً متكاملاً يتناول دراسة واقعية لقياس الاحتراق النفسي الوظيفي لدى عينة من الممارسين الصحيين (n = 450) باستخدام مقياس ماسلاش للاحتراق النفسي (Maslach Burnout Inventory – MBI) – بعد الاستنزاف العاطفي (Emotional Exhaustion)، وفحص اعتدالية الدرجات لاتخاذ القرار بشأن استخدام الانحدار الخطي أو البدائل الحصينة.

# ==============================================================================
# دراسة حالة سيكومترية متكاملة: فحص اعتدالية بعد الاستنزاف العاطفي (MBI)
# ==============================================================================
# 1. إعداد المحاكاة وتوليد بيانات واقعية لعينة الدراسة
set.seed(2024)
n_health <- 450
Work_Hours <- rnorm(n_health, mean = 48, sd = 10)
Job_Stress <- rnorm(n_health, mean = 65, sd = 12)
# توليد درجات استنزاف عاطفي ذات التواء طفيف
Burnout_Exhaustion <- 15 + (0.3 * Work_Hours) + (0.45 * Job_Stress) + rchisq(n_health, df = 6)
mbi_study <- data.frame(Work_Hours, Job_Stress, Burnout_Exhaustion)
# 2. الاستكشاف الأولي وحساب العزوم
mbi_desc <- psych::describe(mbi_study$Burnout_Exhaustion)
sk_mbi <- moments::skewness(mbi_study$Burnout_Exhaustion)
kt_mbi <- moments::kurtosis(mbi_study$Burnout_Exhaustion) - 3
# 3. تشغيل اختبار جارك-بيرا المباشر
jb_mbi <- tseries::jarque.bera.test(mbi_study$Burnout_Exhaustion)
# 4. طباعة التقرير التشخيصي المتكامل
cat("==================================================n")
cat("تقرير فحص اعتدالية مقياس الاستنزاف العاطفي (MBI)n")
cat("==================================================n")
cat("حجم العينة الصالحة (N):", n_health, "n")
cat("المتوسط الحسابي (SD):", round(mbi_desc$mean, 2), "(", round(mbi_desc$sd, 2), ")n")
cat("معامل الالتواء (Skewness):", round(sk_mbi, 3), "n")
cat("معامل التفرطح الزائد (Excess Kurtosis):", round(kt_mbi, 3), "n")
cat("إحصائية اختبار جارك-بيرا (JB Statistic):", round(jb_mbi$statistic, 3), "n")
cat("القيمة الاحتمالية (P-value):", format.pval(jb_mbi$p.value, eps = 0.001), "n")
cat("القرار الإحصائي النهائي:", 
 ifelse(jb_mbi$p.value >= 0.05, 
 "البيانات تتبع التوزيع الطبيعي - يُعتمد الانحدار الخطي المعلمي", 
 "البيانات تنتهك التوزيع الطبيعي - يُوصى بالتحويل أو استخدام Bootstrap"), "n")
cat("==================================================n")

12.3 الأخطاء الشائعة والوصايا الختامية للباحثين

لتجنب المنزلقات المنهجية التي تقع فيها العديد من الدراسات الميدانية، يُلخص الدليل قائمة من الأخطاء الشائعة والوصايا الحاكمة لتطبيق اختبار جارك-بيرا في بيئة R:

• الخطأ الأول: تطبيق JB على عينات صغيرة جداً دون تصحيح: الاعتماد على الصيغة التقاربية الافتراضية في عينات تقل عن 30 مفحوصاً يؤدي لرفض زائف؛ والبديل هو استخدام دالة adjusted_jb_test() أو اختبار شابيرو-ويلك.
• الخطأ الثاني: فحص اعتدالية المتغير التابع بدلاً من بواقي النموذج: في نماذج الانحدار، العبرة دائماً باعتدالية البواقي العشوائية (Residuals Normality) وليس بالمتغيرات الخام قبل النمذجة.
• الخطأ الثالث: الإلغاء التام للفحص البصري: إغفال مخططات Q-Q والاعتماد الحصري على قيمة P-value قد يحرم الباحث من رصد قيم شاذة معزولة يمكن معالجتها دون المساس ببقية البيانات.
• الخطأ الرابع: الخلط بين التفرطح المطلق والتفرطح الزائد: تذكر دائماً أن بعض الدوال في R ترجع التفرطح المطلق (قيمته 3 للطبيعي) بينما ترجع دوال أخرى التفرطح الزائد (قيمته 0 للطبيعي)، وهو ما يتطلب تدقيق صيغة الدالة المستخدمة.

قائمة المراجعة المنهجية النهائية (Checklist):

1. هل حجم العينة كافٍ لتطبيق الخصائص التقاربية لاختبار جارك-بيرا (n > 50-100)؟
2. هل تم تنظيف البيانات واستبعاد أخطاء الإدخال المادي المشوهة للعزوم؟
3. هل تم حساب قيمتي الالتواء والتفرطح المستقلتين لتفسير مصدر الإحصائية؟
4. هل تم تعزيز القرار الإحصائي برسم مخططات Q-Q ومخططات الكثافة عبر ggplot2؟
5. في حال بناء نماذج انحدار، هل تم تطبيق الاختبار على البواقي مع تعديل درجات الحرية (k)؟

الخاتمة

يُمثل اختبار جارك-بيرا (Jarque-Bera Test) إضافة نوعية لمنهجيات التحليل الإحصائي في القياس النفسي والبحوث السلوكية؛ إذ يجمع بين الأناقة النظرية المستندة إلى العزوم الإحصائية والقوة التشخيصية التي تفكك انحرافات التوزيع بدقة إلى مركبتي الالتواء والتفرطح. وبفضل المرونة الهائلة للغة البرمجة R وتعدد حزمها المتخصصة مثل tseries و moments و fBasics، بات بمقدور الباحثين أتمتة هذه الفحوص وتطبيقها على المقاييس المعقدة وبواقي النماذج الخطية بكفاءة متناهية.

إن الاستخدام المسؤول لاختبار جارك-بيرا يقتضي مراعاة حجم العينة، والجمع الواعي بين المؤشرات الرقمية والرؤية البصرية الفاحصة لمخططات الاحتمال الطبيعي، والالتزام الصارم بالشفافية الأكاديمية عند توثيق النتائج وفق معايير APA 7th. وبتحقيق هذا التكامل المنهجي، يرتقي الباحث بجودة مخرجاته العلمية ويضمن متانة استدلالاته السيكومترية في خدمة المعرفة الإنسانية.

References

• Bera, A. K., & Jarque, C. M. (1981). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. Economics Letters, 7(4), 313-318. https://doi.org/10.1016/0165-1765(81)90035-5
• Jarque, C. M., & Bera, A. K. (1980). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. Economics Letters, 6(3), 255-259. https://doi.org/10.1016/0165-1765(80)90024-5
• Jarque, C. M., & Bera, A. K. (1987). A test for normality of observations and regression residuals. International Statistical Review, 55(2), 163-172. https://doi.org/10.2307/1403192
• Urzúa, C. M. (1996). On the correct use of omnibus tests for normality. Economics Letters, 53(3), 247-251. https://doi.org/10.1016/S0165-1765(96)00923-8
• Trapletti, A., & Hornik, K. (2023). tseries: Time Series Analysis and Computational Finance (R package version 0.10-54). CRAN. https://CRAN.R-project.org/package=tseries
• Komsta, L., & Novomestky, F. (2022). moments: Moments, cumulants, skewness, kurtosis and related tests (R package version 0.14.1). CRAN. https://CRAN.R-project.org/package=moments
• Revelle, W. (2023). psych: Procedures for Psychological, Psychometric, and Personality Research (R package version 2.3.9). Northwestern University. https://CRAN.R-project.org/package=psych
• American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000
• Field, A., Miles, J., & Field, Z. (2012). Discovering statistics using R. SAGE Publications.
• Wickham, H. (2016). ggplot2: Elegant graphics for data analysis. Springer-Verlag New York. https://ggplot2.tidyverse.org