كيفية استخدام دالة mean في R (مع أمثلة)

تُعد لغة البرمجة الإحصائية R واحدة من أقوى المنظومات الحوسبية وأكثرها مرونة في مجالات استكشاف البيانات، والنمذجة الرياضية، والقياس النفسي والسلوكي. في قلب هذه المنظومة تبرز المفاهيم الإحصائية الأساسية التي تحول الأرقام الخام المجردة إلى مؤشرات دلالية ومعرفية ذات موثوقية علمية. ومن بين هذه المقاييس الأساسية، يظل الوسط الحسابي أو المتوسط (Arithmetic Mean) حجر الزاوية الذي لا غنى عنه لأي باحث أو محلل بيانات، إذ يمثل نقطة الارتكاز المركزية التي تتوازن عندها المشاهدات وتتأسس عليها الاختبارات الإحصائية المعلمية والبارامترية الأكثر تقدماً، مثل تحليل التباين ونماذج الانحدار الخطي.

تعتمد كفاءة المعالجة الإحصائية في R على مجموعة من الدوال الأساسية المصممة للتعامل مع المتجهات والمصفوفات وإطارات البيانات بسرعة حسابية فائقة. وتأتي دالة mean() كأداة رئيسية لتنفيذ هذه المهمة بدقة متناهية، متيحة للمستخدم ليس فقط حساب المتوسط الحسابي البسيط، بل وأيضاً ضبط التعامل مع الفجوات الشائعة في البيانات الحقيقية، مثل القيم المفقودة والحالات الشاذة والمتطرفة التي قد تعصف بدقة التقديرات الإحصائية. إن الفهم العميق للآليات الداخلية لهذه الدالة وبنيتها النحوية يمثل خطوة جوهرية للانتقال من التطبيق البرمجي السطحي إلى الممارسة الإحصائية الرصينة القادرة على إنتاج تحليلات قابلة للتكرار وتلبي أعلى المعايير الأكاديمية العالمية.

يهدف هذا الدليل المرجعي الشامل إلى تقديم تفكيك مفاهيمي وبرمجي وتطبيقي دقيق لدالة mean() في بيئة R. سنستعرض من خلاله الأسس الرياضية، والوسائط البرمجية التفصيلية، واستراتيجيات تنظيف البيانات المتقدمة، وحساب المتوسطات المشذبة، والتعامل مع الجداول المجمعة، وصولاً إلى تطبيقات متقدمة في قياس المتغيرات النفسية، ومعالجة أزمنة الرجع، وتوحيد المقاييس المعيارية، مع توضيح أفضل ممارسات تحسين الأداء وتجنب المزالق التحليلية الشائعة.

1. مقدمة إلى دالة mean في لغة R وأهميتها في التحليل الإحصائي

1.1 المفهوم الرياضي والإحصائي للمتوسط الحسابي

يُعرَّف الوسط الحسابي (Arithmetic Mean) في النظرية الإحصائية بأنه أحد أهم مقاييس النزعة المركزية التي تسعى إلى تلخيص مجموعة كاملة من المشاهدات في قيمة عددية فريدة تعبر عن المركز التوزيعي للبيانات. رياضياً، يتم حساب المتوسط الحسابي لبيانات المجتمع من خلال جمع كافة القيم ومطابقتها مع الحجم الكلي للمجتمع عبر المعادلة الشهيرة التي تقسم المجموع الكلي للقيم على عددها، بينما يُحسب لبيانات العينة بقسمة مجموع قيم المشاهدات في العينة على حجم تلك العينة الفعلي. تتجلى القوة الرياضية للمتوسط في كونه يمثل مركز ثقل التوزيع الإحصائي، حيث يكون مجموع انحرافات كافة القيم عن هذا المتوسط مساوياً للصفر تماماً، مما يجعله المقدر غير المتحيز الأفضل لمركز التوزيع الطبيعي المتماثل.

تعتمد النمذجة الإحصائية الكلاسيكية على افتراضات معيارية تدعم كفاءة المتوسط الحسابي، وأبرزها افتراض التوزيع الطبيعي واعتدالية البيانات وخلوها النسبي من الالتواء الشديد. عندما تكون البيانات مستوفية لشروط القياس الفتري (Interval) أو النسبي (Ratio)، يوفر المتوسط الحسابي استقراراً رياضياً فائقاً يجعله المدخل الأساسي لحساب التباين والانحراف المعياري وخطأ القياس المعياري. ومع ذلك، فإن الطبيعة التراكمية للمعادلة الرياضية للمتوسط تجعله شديد التأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة؛ إذ تكفي قيمة واحدة غير طبيعية لسحب المتوسط الحسابي باتجاهها، مما يستوجب فحص البيانات وفهم طبيعتها التوزيعية بعناية قبل الاعتماد على هذا المقياس في التفسير والاستدلال الإحصائي.

1.2 دور لغة R كبيئة حوسبة إحصائية في العلوم السلوكية والنفسية

تعد لغة R، التي يديرها ويطورها The R Project for Statistical Computing، البيئة البرمجية القياسية الأولى في الأوساط الأكاديمية والبحثية، وتحديداً في حقول العلوم النفسية، والسلوكية، والعلوم العصبية الإدراكية. تنبع هذه الأهمية من الطبيعة مفتوحة المصدر للغة، وقدرتها الفائقة على معالجة التصاميم التجريبية المعقدة، والقياسات النفسية (Psychometrics)، ومصفوفات البيانات الطولية والمتكررة. يتميز الباحث في العلوم السلوكية بحاجته المستمرة إلى معالجة استجابات المقاييس، وموازنة الفروق الفردية، وتحديد مستويات الأداء المعرفي عبر متغيرات رقمية مستمرة أو رتبية، وهو ما تقدمه بيئة R عبر دمج الحوسبة الإحصائية العالية الدقة مع الشفافية البرمجية التامة.

في سياق قياس المتغيرات النفسية، يلعب المتوسط الحسابي دوراً محورياً في بناء الدرجات المركبة للاختبارات والمقاييس المقننة، مثل مقاييس القلق، والاكتئاب، والسمات الشخصية الخمس الكبرى. تتيح الدوال الأساسية في R معالجة مئات البنود والاستجابات وتحويلها إلى مؤشرات نفسية ذات دلالة تفسيرية سريعة. يساعد المتوسط الحسابي الباحثين في رصد الاتجاهات العامة للأداء، وتحديد معايير المقارنة المعيارية، وإجراء المقارنات بين المجموعات التجريبية والضابطة، مما يجعله اللبنة الأساسية التي تُبنى عليها تقارير البحوث المعتمدة المنشورة في المجلات العلمية المحكمة عالمياً.

1.3 نظرة عامة على دالة mean وموضعها ضمن مكتبات R الأساسية

تنتمي دالة mean() إلى حزمة base R المدمجة في صلب النظام البرمجي للغة، مما يعني أنها متوفرة للعمل بصورة فورية ومباشرة بمجرد تشغيل بيئة العمل دون الحاجة إلى تثبيت أو استدعاء أي مكتبات خارجية. كُتبت هذه الدالة بكفاءة حوسبية عالية جداً، حيث تعتمد في طبقاتها التحتية على خوارزميات مكتوبة بلغة C ولغة فورتران لضمان سرعة التنفيذ والتعامل الأمثل مع الذاكرة العشوائية للجهاز عند معالجة متجهات رقمية عملاقة تضم ملايين المشاهدات في أجزاء من الثانية.

تتميز دالة mean() بالمرونة البرمجية الفائقة وتوافقها مع النظام الكائني التعددي (S3 Generic Functions) في R، مما يسمح لها بالتعامل الذكي مع مختلف أنواع الكائنات، بدءاً من المتجهات العددية البسيطة والمتجهات المنطقية، وصولاً إلى كائنات التواريخ والأوقات (POSIXct و Date). كما تتكامل الدالة بسلاسة تامة مع سائر دوال الفحص والاستكشاف والتلخيص الإحصائي، مثل دالة summary()، ودوال التحويل والمطابقة، مما يجعلها ركيزة يومية للمبرمجين والمحللين على حد سواء.

2. البنية النحوية الأساسية (Syntax) والوسائط لدالة mean في R

2.1 الصيغة العامة للدالة وتفكيك وسائطها

تأتي الصيغة النحوية القياسية لدالة المتوسط في R على النحو التالي:

mean(x, trim = 0, na.rm = FALSE, ...)

يشترط في المدخل الأساسي x أن يكون كائناً برمجياً يقبل العمليات الرياضية، مثل المتجهات الرقمية، أو المتجهات الصحيحة، أو المتجهات المنطقية، أو الكائنات الزمنية والتاريخية. إذا تم تمرير كائن غير متوافق مثل مصفوفة نصية غير معالجة، فإن الدالة تفشل في إجراء العملية الحسابية وترجع قيماً تحذيرية أو أخطاء صريحة توقف تنفيذ الكود.

تحتوي الدالة على وسائط اختيارية محددة مسبقاً بقيم افتراضية؛ فالوسيط trim مضبوط افتراضياً على الصفر (0)، مما يعني عدم إجراء أي تشذيب للقيم الطرفية، بينما الوسيط na.rm مضبوط افتراضياً على القيمة المنطقية FALSE، مما يعكس فلسفة R الصارمة في عدم تجاهل البيانات الناقصة إلا بطلب صريح من المستخدم. يتيح وسيط النقاط الثلاثية (…) إمكانية تمرير وسائط إضافية مخصصة للطرائق البرمجية الممتدة للكائنات التي تستخدم أساليب S3، مما يضمن قابلية الدالة للتوسع والتطوير دون المساس ببنيتها الأصلية.

2.2 أنواع البيانات المتوافقة وغير المتوافقة مع دالة mean

تتعامل دالة mean() بسلاسة مع المتجهات الرقمية (Numeric Vectors) سواء كانت أرقاماً عشرية ذات فاصلة عائمة (Double) أو أرقاماً صحيحة (Integer). بالإضافة إلى ذلك، تقبل الدالة المتجهات المنطقية (Logical Vectors) التي تحتوي على قيم TRUE و FALSE؛ حيث تتبع لغة R بروتوكول التحويل القسري التلقائي (Coercion) الذي يترجم القيمة TRUE إلى الرقم 1، والقيمة FALSE إلى الرقم 0، مما يجعل حساب المتوسط للمتجه المنطقي وسيلة مباشرة لحساب النسبة المئوية لتحقق حدث معين.

في المقابل، تعتبر المتجهات النصية (Character Vectors) وعوامل التصنيف (Factors) غير متوافقة بصورة مباشرة مع دالة mean(). عند محاولة تمرير متجه نصوص تحتوي على أرقام محاطة بعلامات اقتباس، ستطلق الدالة تحذيراً وتُرجع قيمة NA لأن النظام لا يقوم بالتحويل التلقائي للنصوص تجنباً للأخطاء المنطقية. لحل هذه الإشكالية، يجب على المحلل استخدام دوال التحويل القسري المسبق للبيانات، مثل دالة as.numeric() أو تفكيك العوامل عبر دالة as.numeric(as.character(factor_variable)) قبل تمرير البيانات للدالة الحسابية لضمان سلامة النمذجة.

2.3 آلية عمل الوسائط المنطقية والعددية داخل الدالة

تعمل الوسائط المدمجة داخل دالة mean() كمرشحات ومعالجات أولية للمتجه قبل تنفيذ الجمع والقسمة الحسابية. يقوم وسيط na.rm (وهو اختصار لعبارة NA Remove) بفحص الكائن المدخل، وإذا تم ضبطه على TRUE، تتولى الدالة استبعاد كافة خلايا الفقد NA وتحديث حجم العينة (المقام الرياضي) تلقائياً ليعكس عدد القيم الصالحة المتبقية فقط، مما يمنع انتقال مخرجات الفقد إلى النتيجة النهائية.

من جهة أخرى، يختص وسيط trim بإدارة الحالات المتطرفة، حيث يأخذ قيمة كسرية تتراوح رياضياً بين 0 و 0.5. إذا حُددت القيمة بـ 0.1 مثلاً، فإن الدالة تقوم داخلياً بترتيب عناصر المتجه تصاعدياً، ثم تقتطع 10% من القيم الأدنى و 10% من القيم الأعلى، وتحسب المتوسط الحسابي للـ 80% المتبقية في المنتصف. عند دمج عدة وسائط معاً داخل استدعاء واحد، مثل ضبط na.rm = TRUE مع trim = 0.05، تطبق الدالة أولاً إزالة القيم المفقودة، ثم تعيد ترتيب القيم الفعلية لتشذيبها، وأخيراً تحسب المتوسط المتبقي بدقة متناهية.

3. حساب المتوسط الحسابي لمتجه عددي بسيط (Numeric Vectors)

3.1 إنشاء المتجهات الرقمية وتطبيق دالة mean البسيطة

تتم عملية بناء المتجهات الرقمية في لغة R من خلال دالة التجميع الشهيرة c()، أو عبر استخدام عوامل توليد المتتاليات الحسابية مثل النقطتين الرأسيتين 1:10 أو دالة seq(). عند تطبيق دالة mean() على هذه المتجهات البسيطة، تجري الحسابات مباشرة عبر استدعاء الكائن كمدخل وحيد:

على سبيل المثال، عند قياس درجات مقياس القلق التفاعلي لدى مجموعة مكونة من سبعة أفراد وحفظ الدرجات في متجه رقمي يحتوي على القيم (18, 22, 19, 25, 30, 17, 21)، يؤدي استدعاء الدالة على المتجه إلى جمع هذه القيم البالغ مجموعها 152 وقسمتها على عددها 7، مما يعطي ناتجاً إحصائياً دقيقاً يبلغ 21.71429 تقريباً. يمثل هذا الرقم مؤشر الأداء المركزي للمجموعة، وهو قيمة عشرية مستمرة قابلة للاستخدام الفوري في التفسير الإكلينيكي أو النمذجة اللاحقة.

يتميز هذا التطبيق بالبساطة والسرعة المطلقة، حيث لا يستهلك موارد حوسبية تذكر، ويعطي مخرجات رقمية دقيقة تتطابق بالكامل مع المعايير الحسابية المعتمدة في الإحصاء الوصفي.

3.2 المتجهات المنطقية وحساب النسب المئوية

تمثل المتجهات المنطقية واحدة من أكثر التقنيات فاعلية وأناقة في لغة R لحساب النسب المئوية ومعدلات الحدوث (Proportions). نظراً لأن بيئة R تعامل القيمة TRUE كقيمة رقمية تكافئ الواحد الصحيح والقيمة FALSE كصفر، فإن تمرير متجه منطقي إلى دالة mean() يحسب تلقائياً نسبة الحالات التي استوفت الشرط المحدد.

إذا كان لدينا متجه يتضمن درجات اختبار الذكاء لعينة، وأردنا معرفة نسبة الأفراد الذين تجاوزت درجاتهم 100 نقطة، يمكن ببساطة كتابة التعبير الشرطي المنطقي داخل الدالة مباشرة. يقوم الشرط بمقارنة كل عنصر في المتجه بالقيمة 100 لينتج متجهاً من القيم المنطقية، وعند تطبيق دالة المتوسط عليه، يُقسم مجموع قيم الـ TRUE على الحجم الكلي للمتجه، معطياً نسبة دقيقة (مثلاً 0.65)، والتي تعني أن 65% من أفراد العينة يقع أداؤهم فوق المستوى المتوسط. تعد هذه المقاربة البرمجية عبر mean() أكثر اختصاراً وكفاءة من اللجوء إلى الدوال المركبة التقليدية مثل دمج دالتي sum() و length().

3.3 فحص المتجهات قبل الحساب لضمان سلامة العمليات

تتطلب كتابة البرمجيات الإحصائية الآمنة التحقق المسبق من بنية البيانات وخصائص الكائنات قبل تمريرها للعمليات الحسابية النهائية، وذلك لتجنب الأخطاء المنطقية الصامتة أو الانهيارات البرمجية المفاجئة في سلاسل المعالجة الطويلة. يُوصى بالاعتماد على دالة is.numeric() للتأكد القاطع من أن المتجه المستهدف يمتلك خصائص عددية، ودالة class() لفحص التصنيف الهيكلي للبيانات.

علاوة على ذلك، يجب فحص طول المتجه باستخدام دالة length()؛ حيث يؤدي تطبيق دالة mean() على متجه فارغ تماماً تم إنشاؤه عبر numeric(0) إلى إرجاع القيمة الخاصة NaN (Not a Number)، والتي تنتج رياضياً عن محاولة قسمة الصفر على الصفر. إن تضمين اختبارات الفحص الشرطي (Sanity Checks) وتوثيق الخطوات البرمجية يضمن استقرار الكود، ويحمي التحليلات من الوقوع في مخرجات لا نهائية، ويعزز من قابلية إعادة الإنتاجية العلمية (Reproducibility) في المشاريع البحثية المشتركة.

4. التعامل مع القيم المفقودة (Missing Values) باستخدام وسيط na.rm

4.1 طبيعة القيم المفقودة (NA) وأثرها الافتراضي على دالة mean

تحظى القيم المفقودة في لغة R برمزية خاصة تُعرف بالاختصار NA (Not Available)، وهي تمثل انعدام المعلومة الإحصائية لحالة أو متغير معين. يتبنى تصميم R الفلسفي نهج الحيطة والحذر؛ حيث يفترض النظام أن وجود أي عنصر مجهول القيمة ضمن متتالية عددية يجعل النتيجة الكلية للمتوسط غير معروفة بالتبعية. لذلك، إذا احتوى المتجه على قيمة مفقودة واحدة فقط، فإن الاستدعاء الافتراضي لدالة mean() سينتج عنه فوراً القيمة NA.

يهدف هذا السلوك الصارم إلى حماية المحلل الإحصائي من التغاضي غير المقصود عن فقدان البيانات، والذي قد يشير إلى خلل منهجي في جمع الاستجابات أو تلف في أجهزة التسجيل المخبري. يمكن تشخيص وجود الخلايا المفقودة واستكشاف حجمها ونسبتها التراكمية في المتجهات باستخدام دوال مخصصة مثل دالة is.na() التي ترجع متجهاً منطقياً يحدد مواقع الفقد، ودالة anyNA() السريعة التي تفحص وجود أي قيمة مفقودة من عدمه.

4.2 تفعيل وسيط na.rm = TRUE والتنفيذ العملي

لتجاوز التوقف الحسابي وحساب المتوسط للأرقام المتوفرة فعلياً، يُستخدم الوسيط المنطقي na.rm = TRUE ضمن استدعاء الدالة. تقوم الدالة برمجياً باستبعاد كافة العناصر التي تتطابق مع NA قبل الشروع في عملية التجميع الحسابي، مع إعادة ضبط مقام القسمة ليساوي عدد المشاهدات الصالحة فقط دون احتساب المشاهدات المفقودة.

في التطبيقات السيكومترية والاستبيانات المتعددة البنود، قد يمتنع بعض المفحوصين عن الإجابة عن أسئلة محددة، مما يولد خلايا NA في مصفوفة الاستجابات. يتيح استخدام هذا الوسيط استخراج متوسطات البنود بدقة على أساس العينة المستجيبة فعلياً لكل بند، مما يضمن استمرارية التحليل الوصفي دون الحاجة لحذف المتغير بأكمله من قاعدة البيانات.

4.3 استراتيجيات بديلة ومقارنة النتائج عند وجود قيم مفقودة

على الرغم من سهولة استخدام وسيط na.rm = TRUE، فإن اللجوء المباشر إليه يمثل نوعاً من الحذف الحسابي اللحظي للقيم المفقودة (Listwise/Pairwise Deletion)، وهو ما قد يترتب عليه تقليل القوة الإحصائية وتشويه خصائص العينة إذا لم تكن البيانات مفقودة بشكل عشوائي تماماً (MCAR – Missing Completely at Random). تتضمن الاستراتيجيات البرمجية البديلة استخدام دالة na.omit() لتنظيف الكائن مسبقاً، أو تطبيق دالة complete.cases() لعزل الحالات التي تشتمل على بيانات مكتملة عبر كافة المتغيرات.

في الدراسات الإحصائية المتقدمة، يُفضل مقارنة نتائج الحذف البسيط مع تقنيات التعويض الإحصائي المتعدد (Multiple Imputation) باستخدام حزم متخصصة مثل mice، وذلك لتعويض القيم الناقصة بناءً على العلاقات الارتباطية مع المتغيرات الأخرى، وتجنب التحيز الناجم عن الحذف المباشر. كما يجب توثيق نسبة الفقد الإحصائي بدقة عند إعداد التقارير الأكاديمية والمقالات العلمية لضمان مصداقية التقديرات المستخرجة للمتوسطات.

5. استخدام وسيط التشذيب (trim) لإدارة القيم الشاذة والمتطرفة

5.1 مفهوم المتوسط المشذب (Trimmed Mean) في الإحصاء الاستدلالي

يُصنف المتوسط المشذب ضمن فئة الإحصاءات المتينة أو الصامدة (Robust Statistics)، وهي أساليب رياضية صُممت لتقديم تقديرات مستقرة للنزعة المركزية دون التأثر الحاد بالقيم المتطرفة، أو الانحرافات الشديدة عن التوزيع الطبيعي، أو ذيول التوزيع الثقيلة. في حين أن المتوسط الحسابي العادي يمتلك نقطة انهيار (Breakdown Point) تبلغ صفراً (حيث تكفي قيمة شاذة واحدة لتغيير قيمته جذرياً)، فإن المتوسط المشذب يرفع نقطة الانهيار بناءً على نسبة الاقتطاع المحددة.

يقف المتوسط المشذب في منطقة وسطى متوازنة بين المتوسط الحسابي البسيط (الذي يستخدم 100% من البيانات) والوسيط الإحصائي (Median، الذي يمثل أقصى درجات التشذيب باقتصاره على القيمة المركزية فقط عند نسبة 50%). في البيانات السلوكية التي تتسم بالتواء إيجابي حاد، مثل أزمنة الاستجابة الحركية أو الدخل المالي، يوفر المتوسط المشذب مقياساً موضوعياً يعبر عن الأداء النمطي للغالبية العظمى من المفحوصين دون أن يتشوه بالاستجابات المتأخرة الشاذة أو الأخطاء العرضية في القياس.

5.2 التطبيق البرمجي لوسيط trim في دالة mean

يتم تفعيل المتوسط المشذب في R من خلال تمرير قيمة كسرية للوسيط trim. تأخذ هذه القيمة نطاقاً يمتد من 0 (المتوسط التقليدي) إلى 0.5 (الوسيط الإحصائي). عند تحديد trim = 0.1، فإن النظام يقوم داخلياً بالخطوات الخوارزمية التالية:

• ترتيب عناصر المتجه ترتيباً تصاعدياً من الأصغر إلى الأكبر.
• حساب عدد القيم الواجب استبعادها من الطرفين بضرب حجم المتجه في نسبة التشذيب (مثلاً: 10% من كل طرف).
• حذف العدد المحدد من أصغر القيم ومن أكبر القيم على حد سواء.
• حساب المتوسط الحسابي البسيط للقيم المتبقية في النطاق الأوسط.

إذا نتج عن ضرب النسبة في حجم العينة كسر غير صحيح، تعتمد لغة R خوارزمية التقريب الرياضي إلى الرقم الصحيح الأدنى (Floor function) لتحديد عدد الحالات المحذوفة بالتساوي من الجانبين، مما يضمن تماثل عملية التشذيب الرياضي وتجنب انحياز المتبقيات لأحد الطرفين.

5.3 المعايير المنهجية لاختيار نسبة التشذيب المناسبة

يخضع اختيار نسبة التشذيب لاعتبارات منهجية وإحصائية دقيقة ترتبط بطبيعة التوزيع وخصائص الظاهرة المدروسة. توصي الأدبيات الإحصائية الكلاسيكية للباحثين مثل Wilcox بالاعتماد على تشذيب بنسبة 10% أو 20% (أي trim = 0.1 أو trim = 0.2) عند التعامل مع المتغيرات المعرفية والسلوكية التي تظهر ذيولاً توزيعية ممتدة.

في دراسات أزمنة الرجع (Reaction Times)، يؤدي تشذيب 5% إلى 10% من المشاهدات إلى استبعاد حالات التشتت الذهني اللحظي للمفحوصين (الأزمنة الطويلة جداً) أو الضغط العشوائي غير المقصود للأزرار (الأزمنة القصيرة غير المنطقية)، مما يعطي تقديراً فائق النقاء للسرعة الحقيقية للمعالجة المعرفية. عند كتابة التقارير الإحصائية وفق دليل جمعية علم النفس الأمريكية (APA Style)، يجب على الباحث التصريح بنسبة التشذيب المعتمدة ومبرراتها العلمية، وتوضيح الفروق بين المتوسط العادي والمشذب لتأكيد متانة النتائج الميدانية.

6. حساب المتوسطات الحسابية لأعمدة وصفوف إطارات البيانات (Data Frames)

6.1 استخراج المتوسط لعمود محدد داخل إطار البيانات

تمثل إطارات البيانات (Data Frames) الهيكل الأكثر استخداماً لتخزين قواعد البيانات الإحصائية في R، حيث تُمثل الأعمدة المتغيرات وتُمثل الصفوف الحالات أو المشاركين. للوصول إلى عمود معين وحساب متوسطه الحسابي، يمكن استخدام عامل الربط الشهير $ الذي يستخرج العمود كمتجه رقمي مستقل:

mean(data_frame$variable_name, na.rm = TRUE)

كما يمكن تحقيق نفس النتيجة بالاعتماد على الفهرسة المربعة للمصفوفات عبر كتابة اسم العمود بين علامات اقتباس داخل الأقواس المربعة: mean(data_frame[, "variable_name"], na.rm = TRUE). تتيح هذه الطرق تطبيق كافة وسائط الدالة السابقة على متغيرات محددة داخل جداول المسوح النفسية والاستبيانات، مع ضمان عزل المتغير المراد تحليله دون التأثير على بقية بنية قاعدة البيانات الشاملة.

6.2 حساب متوسطات الأعمدة دفعة واحدة باستخدام colMeans() و apply()

عند الحاجة إلى استخراج المتوسطات الحسابية لكافة المتغيرات الرقمية داخل إطار البيانات بصورة متزامنة، يصبح استدعاء دالة mean() لكل عمود على حدة عملية بطيئة وغير عملية برمجياً. تقدم لغة R دالة متخصصة ومحسنة للأداء تُعرف باسم colMeans()، والتي تقوم بإجراء عمليات الجمع والقسمة الحسابية على الأعمدة بكفاءة متجهة فائقة السرعة:

colMeans(data_frame[, numeric_columns], na.rm = TRUE)

كبديل مرن، يمكن توظيف دالة apply() بتحديد البعد الثاني (الأعمدة) من خلال التعبير apply(data_frame, 2, mean, na.rm = TRUE). تكمن ميزة apply() في قدرتها على تمرير وسائط إضافية مخصصة لدالة المتوسط مثل وسيط التشذيب trim، في حين تتفوق دالة colMeans() في السرعة الحوسبية الخام عند معالجة الجداول الضخمة. يجب الانتباه دائماً لاستبعاد الأعمدة غير الرقمية (مثل الأسماء أو أرقام الهوية) لتفادي توقف المعالجة الحسابية.

6.3 حساب متوسطات الصفوف (المشاركين) باستخدام rowMeans()

في تصاميم القياس النفسي والسيكومتري، يحتاج الباحث باستمرار إلى استخراج متوسط درجات كل مفحوص عبر مجموعة من بنود مقياس معين، وذلك لتوليد درجة مركبة تعبر عن السمة المقاسة. توفر R دالة rowMeans() المخصصة لحساب متوسطات الصفوف دفعة واحدة:

data_frame$total_score <- rowMeans(data_frame[, c("item1", "item2", "item3")], na.rm = TRUE)

تتميز هذه الدالة بسرعة برمجية فائقة تتجاوز الحلقات التكرارية التقليدية بكثير، مما يسمح بحساب درجات آلاف المشاركين وتخزينها كمتغيرات جديدة داخل إطار البيانات في لحظات وجيزة. يمكن أيضاً استخدام apply(data_frame[, items], 1, mean, na.rm = TRUE) للوصول إلى نفس النتيجة عند الرغبة في استخدام وسيط التشذيب الفردي لكل مشارك.

7. حساب المتوسطات للمجموعات الفرعية (Grouped Means) باستخدام dplyr و aggregate

7.1 استخدام دالة aggregate() المدمجة في base R

تُعد دالة aggregate() الأداة القياسية المدمجة في النظام الأساسي للغة R لحساب الإحصاءات الوصفية عبر المجموعات الفرعية للبيانات. تعتمد الدالة على صيغة النماذج الإحصائية (Formula Interface) لربط المتغير التابع بالمتغيرات التصنيفية:

aggregate(score ~ group, data = my_data, FUN = mean, na.rm = TRUE)

تتميز هذه الصيغة بسهولة قراءتها ومحاكاتها للنظم الإحصائية المتقدمة؛ حيث يمكن تلخيص البيانات عبر تقاطع عدة متغيرات مستقلة بإضافة علامة الجمع، مثل aggregate(score ~ gender + treatment, data = my_data, FUN = mean, na.rm = TRUE). تنتج الدالة جدولاً إحصائياً ملخصاً وواضحاً يعرض كل مجموعة فرعية ومتوسطها المحسوب، مما يسهل النقل المباشر للمؤشرات الأولية في التقارير والرسائل العلمية.

7.2 استخدام حزمة dplyr لحساب المتوسطات التجميعية الاحترافية

تمثل حزمة dplyr، وهي جزء أساسي من منظومة tidyverse، المعيار الأحدث والأكثر مرونة لهندسة وتلخيص البيانات في R. يعتمد أسلوب dplyr على تسلسل العمليات الحسابية عبر عامل الربط الأنبوبي (Pipe Operator %>% أو |>)، حيث تُدمج دالة group_by() لتحديد التصنيفات مع دالة summarize() لحساب المتوسطات:

يمكن للمحلل التعبير عن حسابه ببناء تدفق برمجي متماسك يقوم بتجميع العينة بناءً على الحالة التجريبية، ثم يستدعي summarize(mean_score = mean(score, na.rm = TRUE), sd_score = sd(score, na.rm = TRUE)) لتوليد مصفوفة ملخصة تضم المتوسطات والانحرافات المعيارية معاً. كما تتيح دالة across() الحديثة تطبيق دالة mean() على عشرات الأعمدة المتزامنة بخطوة واحدة موجزة، مما يرفع من مقروئية الكود البرمجي وسرعة التعديل عليه في المشاريع الكبرى.

7.3 تطبيقات المقارنات بين المجموعات التجريبية والضابطة

تتجلى الأهمية التطبيقية لحساب المتوسطات التجميعية في تصميم التجارب المعملية والميدانية؛ حيث يستلزم التحليل مقارنة متوسطات الأداء في الاختبارات القبلية والبعدية للمجموعات التجريبية وتلك التي تلقت علاجاً وهمياً (Placebo) أو ظلت في المجموعة الضابطة. يساعد استخراج هذه المتوسطات في تجهيز المؤشرات الوصفية الأولية اللازمة لإجراء اختبارات الفروق الدلالية مثل اختبار “ت” (t-test) وتحليل التباين الأحادي والثنائي (ANOVA).

علاوة على ذلك، تسهل هذه الجداول التلخيصية التوليد المباشر للمخططات البيانية التوضيحية المتقدمة باستخدام حزمة ggplot2، حيث يتم تحويل المتوسطات المحسوبة ومجالات الثقة المحيطة بها إلى أعمدة بيانية ومخططات خطية توضح التفاعلات بين المتغيرات بصورة بصرية مقنعة ومطابقة لمعايير النشر في الدوريات العالمية.

8. حساب المتوسطات عبر المصفوفات والكائنات متعددة الأبعاد (Matrices & Arrays)

8.1 تطبيق دالة mean على المصفوفات ثنائية الأبعاد (Matrices)

تختلف المصفوفات (Matrices) عن إطارات البيانات في كونها هياكل موحدة النمط (Homogeneous)، حيث يجب أن تكون كافة العناصر المخزنة بداخلها من نفس النوع البياني (رقمية بالكامل عادةً). عند تمرير كائن مصفوفة ثنائية الأبعاد بالكامل مباشرة إلى دالة mean()، فإن الدالة تتعامل معها كمتجه رقمي أحادي ممتد، وتحسب المتوسط الحسابي العام الشامل لكافة الخلايا والأرقام الموجودة في المصفوفة دفعة واحدة.

إذا رغب الباحث في حساب متوسط كل صف أو كل عمود داخل المصفوفة، فإن استخدام دوال colMeans() و rowMeans() يوفر الكفاءة الرياضية القصوى، حيث تم تحسين هذه الدوال للتعامل مع العمليات الجبرية الخطية والمصفوفات الضخمة مثل مصفوفات التباين والتباين المشترك (Covariance Matrices) ومصفوفات الارتباط البيني (Correlation Matrices) المستخدمة في التحليل العاملي التوكيدي ونمذجة المعادلات البنائية.

8.2 معالجة المصفوفات متعددة الأبعاد (Arrays)

تمثل المصفوفات متعددة الأبعاد (Arrays) كائنات هندسية تتجاوز البعدين التقليديين لتشمل ثلاثة أبعاد أو أكثر، وهي شائعة الاستخدام في أبحاث العلوم العصبية، والتصوير بالرنين المغناطيسي الوظيفي (fMRI)، والتسجيلات متعددة القنوات لتخطيط أمواج الدماغ (EEG). في هذه التصاميم، تُمثل الأبعاد عادةً: القنوات الحسية × النقاط الزمنية × عدد المشاركين.

لحساب المتوسطات عبر أبعاد محددة داخل المصفوفة ثلاثية الأبعاد (مثل حساب متوسط النشاط الكهربائي لكل نقطة زمنية عبر كافة المشاركين)، يتم توظيف دالة apply() مع تحديد المتجه البعدي المستهدف (MARGIN). يتيح ذلك للباحث تتبع التغيرات الزمنية والمكانية للمتوسطات العصبية بدقة متناهية، مع الحفاظ على الأداء الحوسبي الفعال للذاكرة عند التعامل مع مصفوفات ضخمة تتجاوز ملايين نقاط البيانات الدقيقة.

9. مقارنة دالة mean مع دوال النزعة المركزية الأخرى في R

9.1 المتوسط الحسابي (mean) مقابل الوسيط (median)

يعد التمييز بين المتوسط الحسابي والوسيط ركيزة أساسية في التحليل الإحصائي السليم. يُستدعى الوسيط في R عبر دالة median()، وهو يمثل القيمة التي تقسم البيانات المرتبة إلى نصفين متساويين تماماً. تكمن القوة الرئيسية للوسيط في مناعته المطلقة ضد القيم المتطرفة والالتواءات الشديدة، مما يجعله المقياس المفضل عند دراسة المتغيرات الاجتماعية والاقتصادية غير المتماثلة مثل الدخل الشهري، وفترات البقاء في المستشفيات، أو عدد المحاولات الخاطئة في المهام المعقدة.

بالمقابل، يتفوق المتوسط الحسابي في التوزيعات المتماثلة والقريبة من التوزيع الطبيعي؛ حيث يستفيد المتوسط من الخصائص الرياضية لجميع نقاط البيانات دون استثناء، مما يجعله أكثر كفاءة إحصائية وذا تباين عيني أصغر مقارنة بالوسيط في ظل الاعتدالية. يوضح التباين الواسع بين قيمتي mean() و median() لنفس المتغير مؤشراً أولياً قوياً على وجود التواء حاد في التوزيع يستدعي فحص البيانات بصرياً أو اللجوء للتحويلات الرياضية.

9.2 المتوسط الحسابي مقابل المنوال (Mode) في R

يمثل المنوال (Mode) القيمة الأكثر تكراراً وشيوعاً في مجموعة البيانات، وهو المقياس الوحيد الصالح للاستخدام مع البيانات الاسمية والتصنيفية البحتة (Nominal Data). من المثير للاهتمام أن لغة R الأساسية لا تحتوي على دالة مدمجة باسم mode() لحساب المنوال الإحصائي (حيث تختص دالة mode() في R بإرجاع نوع التخزين البرمجي للكائن)، مما يتطلب من المحلل توليد جدول التكرارات عبر دالة table() واستخراج القيمة الأكثر تكراراً باستخدام تعبير مخصص.

في حين يقدم المنوال لمحة وصفية سريعة عن الخيار الأكثر تفضيلاً في استطلاعات الرأي أو الفئات التشخيصية الأكثر انتشاراً، يظل المتوسط الحسابي المقياس الرياضي الحاكم للمتغيرات الكمية المستمرة نظراً لقابليته للدمج في المعادلات الجبرية المعقدة، وحساب الفروق المعيارية، وتقدير معالم النماذج التنبؤية.

9.3 المتوسطات التوافقية والهندسية (Harmonic & Geometric Means)

تتطلب بعض البيانات الرياضية والبيولوجية مقاييس خاصة للمتوسط تتجاوز المتوسط الحسابي البسيط:

• المتوسط الهندسي (Geometric Mean): يُستخدم عند التعامل مع النسب، ومعدلات النمو التراكمي، والأرقام القياسية المالية، والتغيرات الحجمية البيولوجية. يمكن حسابه برمجياً في R باستخدام الصيغة الرياضية اللوغاريتمية: exp(mean(log(x))).
• المتوسط التوافقي (Harmonic Mean): يُستخدم عند حساب متوسط المعدلات والسرعات والإنتاجية لكل وحدة زمنية. يمكن حسابه برمجياً عبر الصيغة المقلوبة: 1 / mean(1 / x).

إن تطبيق المتوسط الحسابي العادي على بيانات تتطلب المتوسط الهندسي أو التوافقي يقود إلى تضخيم غير واقعي للمؤشرات المركزية، مما يبرز ضرورة مواءمة الأداة البرمجية مع الأساس الرياضي لطبيعة البيانات المدروسة.

10. تطبيقات عملية في تحليل البيانات النفسية والسلوكية باستخدام mean()

10.1 تطبيق 1: حساب درجات مقاييس ليكرت والاستبيانات المتعددة البنود

في الدراسات المسحية النفسية، تُجمع الاستجابات عادةً عبر مقاييس ليكرت الخماسية أو السباعية. قبل حساب المتوسط الكلي للمقياس، يواجه الباحث تحدياً منهجياً يتمثل في وجود البنود المعكوسة (Reverse-scored items)، وهي عبارات صيغت بصيغة سلبية لضبط استجابات المفحوصين والحد من التحيز النمطي (Acquiescence Bias).

تتضمن الممارسة البرمجية السليمة إعادة ترميز هذه البنود أولاً عبر طرح الدرجة من القيمة القصوى للمقياس مضافاً إليها واحد (مثلاً في مقياس خماسي: reversed_item <- 6 - original_item). بعد توحيد اتجاهات البنود، تُستخدم دالة rowMeans() مع تفعيل وسيط na.rm = TRUE لحساب الدرجة المركبة لكل مشارك. كما تتيح دالة colMeans() فحص متوسطات البنود المفردة لتحديد البنود ذات الصعوبة العالية أو البنود الأكثر قدرة على التمييز بين المستويات المختلفة للسمة المقاسة.

10.2 تطبيق 2: تحليل بيانات زمن الاستجابة في التجارب النفسية المعرفية

تُعد أزمنة الرجع (Reaction Times) في تجارب الانتباه، وتأثير ستروب (Stroop Effect)، والتنافر المعرفي، من المتغيرات فائقة الحساسية للضوضاء التجريبية. تتولد هذه البيانات من منصات القياس الدقيق بالمللي ثانية، وغالباً ما تتخللها محاولات استجابة فائقة السرعة ناجمة عن التخمين، أو بطيئة جداً ناجمة عن تشتت انتباه المشارك خارج بيئة المهمة.

يمثل استخدام وسيط التشذيب trim = 0.05 أو trim = 0.1 ضمن دالة mean() الحل الإحصائي الأمثل لتنقية هذه البيانات المعرفية. يقوم الباحث بتجميع البيانات حسب شروط التجربة (Condition A مقابل Condition B)، ثم يستخرج المتوسط المشذب لكل مشارك في كل شرط، مما ينتج مؤشرات ناصعة تعكس الفروق الحقيقية في سرعة المعالجة المعرفية بين المحفزات المتطابقة وغير المتطابقة دون أن تتشوه بالمحاولات الشاذة المنعزلة.

10.3 تطبيق 3: معايرة وتوحيد الدرجات المعيارية (Z-Scores)

عند الرغبة في مقارنة أداء فرد عبر اختبارات نفسية مختلفة ذات مقاييس درجات متباينة (مثل مقارنة درجة اختبار ذكاء مداه 40-160 مع مقياس اكتئاب مداه 0-63)، يستلزم الأمر تحويل الدرجات الخام إلى درجات معيارية (Z-Scores) تمتلك متوسطاً حسابياً مقداره الصفر وانحرافاً معيارياً مقداره الواحد الصحيح.

يمكن إجراء هذه المعايرة يدوياً في R بالاعتماد المباشر على دالتي mean() و sd() عبر المعادلة البرمجية:

z_scores <- (raw_scores - mean(raw_scores, na.rm = TRUE)) / sd(raw_scores, na.rm = TRUE)

تتطابق هذه العملية الحسابية اليدوية بالكامل مع المخرجات الناتجة عن دالة scale() المدمجة في R. يضمن هذا التوحيد المعياري إمكانية تجميع المقاييس المختلفة في مصفوفات موحدة، وإجراء المقارنات الإكلينيكية الدقيقة لتحديد نقاط القوة والضعف النسبية في الملف النفسي والمعرفي للمفحوصين بصورة موضوعية موثوقة.

11. الأخطاء الشائعة واستكشاف الأخطاء وإصلاحها (Troubleshooting & Debugging)

11.1 ظهور مخرجات NA أو NaN والتعامل معها

يعد ظهور القيمة NA في النتائج النهائية أكثر المشكلات شيوعاً لدى المبتدئين في لغة R، وينتج في الغالب عن نسيان تمرير الوسيط na.rm = TRUE عند معالجة متجهات تحتوي على بيانات ناقصة. يحل هذا الوسيط المشكلة في معظم الحالات العادية.

ومع ذلك، قد يفاجأ المحلل أحياناً بظهور القيمة NaN على الرغم من تفعيل وسيط الحذف؛ وتحدث هذه الحالة عندما يكون المتجه الأصلي فارغاً تماماً من الأساس، أو عندما تكون كافة قيم المتجه مفقودة ومساوية لـ NA. في هذه الحالة، يقوم الوسيط بحذف كافة العناصر، فيصبح طول المتجه الصالح صفراً ومجموعه صفراً، مما يقود رياضياً إلى قسمة الصفر على الصفر. يتم استكشاف هذه الحالات ومعالجتها برمجياً باستخدام الدوال الشرطية مثل is.nan() أو التحقق المسبق من وجود قيم صالحة عبر دالة sum(!is.na(x)) > 0 لضمان عدم توقف تدفق المعالجة الإحصائية الآلية.

11.2 رسائل التحذير الناتجة عن أنواع البيانات غير الرقمية

تطلق R الرسالة التحذيرية الشهيرة: “argument is not numeric or logical: returning NA” عندما تُستدعى دالة mean() على أعمدة أو متجهات تم استيرادها كعوامل تصنيفية (Factors) أو نصوص (Characters). يحدث هذا الخطأ بكثرة عند قراءة ملفات CSV الخارجية التي تحتوي على رموز غير رقمية مثل علامات الاستفهام أو الفواصل العشرية غير المعيارية في خانات الأرقام.

لتصحيح هذا الخطأ، يجب على الباحث فحص بنية البيانات والتأكد من تنظيف الرموز النصية الغريبة، ثم تحويل المتغير إلى الصيغة الرقمية الصحيحة عبر التحويل الصريح المزدوج للمتغيرات المصنفة: as.numeric(as.character(x)). يحمي هذا التحويل الدقيق تسلسل البيانات من التحول إلى أرقام المعرفات الداخلية للعوامل (Factor Levels)، مما يضمن حساب المتوسط للقيم الحقيقية المجردة.

11.3 المحاذير الإحصائية عند تفسير النتائج واستخدام المتوسط

ينطوي الاعتماد الحصري على المتوسط الحسابي على مخاطر منهجية جسيمة إذا تم تجاهل الشكل التوزيعي العام للبيانات. من أبرز هذه المزالق الوقوع في “مغالطة المتوسط” عند تطبيق الدالة على توزيعات ثنائية المنوال (Bimodal Distributions)؛ حيث يستقر المتوسط الحسابي المحسوب في منطقة المنتصف التي تندر فيها المشاهدات الفعلية، مما يعطي انطباعاً مضللاً عن التمركز.

علاوة على ذلك، يفقد المتوسط دلالته العلمية إذا قُدم بمعزل عن مقاييس التشتت والانحراف المعياري، أو إذا طُبق على عينات بالغة الصغر تعاني من اضطراب في الاستقرار الرياضي. تشدد التوجيهات المنهجية على إلزامية الفحص البصري الأولي لتوزيع البيانات باستخدام المدرجات التكرارية (Histograms) ومخططات الصندوق (Boxplots) بالتوازي مع استدعاء دالة mean() للتحقق من سلامة التمثيل الإحصائي للظاهرة المدروسة.

12. أفضل الممارسات المتقدمة وتحسين الأداء الحسابي لدالة mean في R

12.1 تحسين الأداء للبيانات الضخمة (Big Data Optimization)

عند التعامل مع قواعد بيانات عملاقة تتضمن عشرات الملايين من السجلات (مثل سجلات المقاييس النفسية المفتوحة عالمياً أو بيانات النشاط الحركي المسجل بالمستشعرات)، قد تواجه الدوال الأساسية اختناقات في سرعة المعالجة واستهلاك الذاكرة. في مثل هذه البيئات، تبرز حزم المعالجة المتقدمة مثل data.table ومكتبة collapse فائقة السرعة كخيارات استثنائية لحساب المتوسطات التجميعية بفضل اعتمادها على معالجة سي التحتية المتوازية والأكواد المنفذة بالذاكرة مباشرة (C-level parallelization).

داخلياً، تعتمد دالة mean() على استدعاء دوال C التحتية عبر الدالة الداخلية .Internal(mean(x)). لتحقيق أقصى كفاءة حوسبية، يجب تفادي الحلقات التكرارية (for loops) قطعياً عند حساب المتوسطات، والاعتماد المطلق على العمليات المتجهية المباشرة (Vectorized Operations). يمكن للمحلل قياس الفروق الدقيقة في زمن المعالجة واستهلاك الذاكرة بين مختلف الطرق البرمجية باستخدام حزم قياس الأداء مثل microbenchmark لاختيار النهج البرمجي الأكفأ للمشروع.

12.2 كتابة دوال مخصصة تعتمد على mean() لمعالجة متقدمة

يمثل بناء الدوال المخصصة (Custom Functions) خطوة متقدمة لأتمتة المهام التحليلية المتكررة وإرساء بروتوكولات قياس محكمة. يمكن للباحث تصميم دالة برمجية متقدمة تدمج حساب المتوسط مع استبعاد الحالات المتطرفة آلياً بناءً على مضاعفات الانحراف المعياري (مثل استبعاد القيم التي تبعد أكثر من 2.5 أو 3 انحرافات معيارية عن المتوسط):

تستطيع هذه الدوال المخصصة دمج حساب المتوسط، والوسيط، وخطأ القياس المعياري (Standard Error of the Mean – SEM) في كائن تلخيصي واحد، مع تضمين شروط الأمان البرمجي لمعالجة القيم المفقودة والمتجهات الفارغة تلقائياً. يتيح تصدير هذه الدوال ضمن حزم برمجية خاصة بالمعمل البحثي تعزيز الكفاءة وتوحيد معايير المعالجة الإحصائية عبر كافة الدراسات والمشاريع البحثية المشتركة.

12.3 التكامل مع إعداد التقارير العلمية القابلة للتكرار (R Markdown & Quarto)

تعتمد الممارسات الأكاديمية الحديثة على التحول الكامل نحو التقارير الديناميكية القابلة لإعادة الإنتاج باستخدام منظومتي R Markdown و Quarto. تتيح هذه الأدوات دمج استدعاءات دالة mean() مباشرة داخل نصوص التقارير الأكاديمية عبر الأكواد المضمنة (Inline R Code):

بلغ متوسط درجات القلق لدى العينة (M = `r round(mean(df$anxiety, na.rm = TRUE), 2)`) نقطة...

يضمن هذا التكامل الديناميكي تحديث كافة الأرقام، والمتوسطات، والجداول، والمخططات البيانية الواردة في المخطوطة العلمية تلقائياً وبشكل فوري بمجرد تعديل أو تحديث ملف البيانات المصدرية. يعزز هذا النهج من الشفافية العلمية، ويقضي تماماً على أخطاء النسخ واللصق اليدوي للأرقام، ويوفر بيئة عمل بحثية تتوافق بالكامل مع معايير العلم المفتوح (Open Science) والنزاهة الأكاديمية المعتمدة دولياً.

خاتمة

تظل دالة mean() في لغة R أداة برمجية وإحصائية بالغة الأهمية ورغم بساطتها الظاهرية، فإن كفاءتها الحوسبية ومرونتها تجعلانها عماد التحليلات الاستكشافية والاستدلالية عبر مختلف التخصصات العلمية. من خلال فهم وسائطها الأساسية للتعامل مع البيانات المفقودة، وتوظيف التشذيب لإدارة الحالات المتطرفة، والتكامل مع هياكل الجداول المتقدمة، يستطيع الباحثون ومحللو البيانات الانتقال بتحليلاتهم إلى مستويات متقدمة من الدقة والموثوقية العلمية.

References

• American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). American Psychological Association. https://doi.org/10.1037/0000165-000
• Chambers, J. M. (2008). Software for data analysis: Programming with R. Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-75936-4
• Field, A., Miles, J., & Field, Z. (2012). Discovering statistics using R. SAGE Publications.
• R Core Team. (2023). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. https://www.R-project.org/
• Wickham, H., Çetinkaya-Rundel, M., & Grolemund, G. (2023). R for data science: Import, tidy, transform, visualize, and model data (2nd ed.). O’Reilly Media. https://r4ds.hadley.nz/
• Wilcox, R. R. (2017). Introduction to robust estimation and hypothesis testing (4th ed.). Academic Press. https://doi.org/10.1016/C2015-0-02450-4