ضرب المصفوفات: (3×3) في (3×2)

يحتل الجبر الخطي مكانة مركزية في البنية الرياضية الحديثة، حيث يُعد المحرك الأساسي لكثير من التطبيقات الحسابية، بدءاً من النمذجة الإحصائية المتقدمة وتحليل القياس النفسي، وصولاً إلى خوارزميات الذكاء الاصطناعي ومعالجة الإشارات الرقمية. وتُعد المصفوفات، بوصفها هياكل تنظيمية ترتّب البيانات في شبكات ثنائية الأبعاد تتألف من صفوف وأعمدة، الوسيلة الرياضية المثلى لتمثيل التحويلات الخطية والأنظمة متعددة المتغيرات. إن استيعاب منطق العمليات الجبرية على هذه الكيانات ليس مجرد مهارة ميكانيكية، بل هو مدخل لفهم أعمق لكيفية انتقال المتجهات، وتحول فضاءات البيانات، وتكثيف المعلومات دون الإخلال بخصائصها الهندسية.

تتنوع العمليات الحسابية المجراة على المصفوفات، إلا أن عملية ضرب المصفوفات تبرز كأكثر تلك العمليات عمقاً ودلالة؛ فهي لا تتبع النمط التكراري للضرب الحسابي البسيط، بل تعتمد على اقتران داخلي معقد يدمج الضرب القياسي بالجمع التراكمي. وتكتسب الحالات غير المربعة، وتحديداً ضرب مصفوفة ثلاثية الأبعاد مربعة من الرتبة (3×3) في مصفوفة مستطيلة من الرتبة (3×2)، أهمية استثنائية في التحليل الرياضي والتطبيقي. فهذه العملية الخاصة تجمع بين مصفوفة تملك كامل درجات الحرية في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، ومصفوفة تمثل فضاءً جزئياً مستوياً محمولاً داخل ذلك الفضاء، مما يولد تحويلاً خطياً موجهاً يحافظ على الأبعاد الرأسية ويعيد تشكيل الأبعاد الأفقية للبيانات.

يقدم هذا المرجع التأسيسي الشامل دليلاً تحليلياً متكاملاً حول ميكانيكية وخصائص ضرب مصفوفة (3×3) في مصفوفة (3×2). سنستعرض في طياته الأصول الجبرية، والتشريح المورفولوجي للمدخلات، والخوارزمية الحسابية المصمتة لعناصر المصفوفة الناتجة، مع تقديم تطبيق عددي تفصيلي خطوة بخطوة، واستعراض الأبعاد الهندسية والتطبيقات الواقعية في القياس النفسي والإحصاء، فضلاً عن الأكواد البرمجية باللغات التحليلية المعيارية، ليكون مرجعاً متقدماً للباحثين، والطلاب، والمختصين في العلوم الرياضية والبيانات.

1. المدخل التأسيسي لمفهوم ضرب المصفوفات (3×3) في (3×2)

1.1 ماهية ضرب المصفوفات وشروطه الجبرية

يُمثّل ضرب المصفوفات في جوهره مفهوماً أرقى بكثير من مجرد تنفيذ عمليات ضرب عشوائية بين الأرقام المقابلة؛ إنه التجسيد الجبري للتحويلات الخطية المتتابعة وتطبيقها على المتجهات داخل الفضاءات المتجهية. حين نقوم بضرب مصفوفتين، فإننا نُجري في الواقع تركيباً لتطبيقين خطيين (Linear Composition)، حيث تُعيد المصفوفة الأولى تعيين إحداثيات المتجهات الناتجة عن أو المحتواة داخل المصفوفة الثانية. ويختلف هذا الجداء البنائي تماماً عن الضرب العنصري البسيط، المعروف باسم جداء هادامار (Hadamard Product)، والذي يشترط التطابق التام في أبعاد المصفوفتين لضرب كل عنصر في نظيره المقابل مباشرة في نفس الموضع.

في ضرب هادامار، تنعدم الرؤية الهندسية للتحويل الفضائي وتقتصر العملية على التعديل القياسي الفردي لمواقع الذاكرة العددية، بينما يعتمد ضرب المصفوفات الجبري الكلاسيكي على فكرة “الجداء القياسي” أو الضرب النقطي (Dot Product) بين المتجهات المكونة للصفوف والمتجهات المكونة للأعمدة. هذا التمييز الجوهري يجعل ضرب المصفوفات حجر الزاوية في حل نظم المعادلات التفاضلية والخطية؛ إذ يختصر المنظومات المعقدة المتشابكة في معادلة مصفوفية واحدة تعبر عن حركة البيانات وتحولاتها بدقة متناهية، وهو ما يفسر الاعتماد غير المحدود عليه في مجالات معالجة الرسوميات الحاسوبية، والتعلم الآلي، وأبحاث الاقتصاد القياسي.

إن الأساس الرياضي لهذا الضرب يشترط تماسكاً بنائياً صارماً لا يقبل التجاوز؛ فلا يمكن لأي مصفوفة أن تتفاعل بالضرب مع مصفوفة أخرى إلا إذا كانت الرتبة البينية المشتركة تضمن مقابلة تامة لكل عنصر في صفوف المصفوفة الأولى مع عنصر وحيد في أعمدة المصفوفة الثانية. هذا التماسك يضمن أن النتيجة النهائية لا تعكس مجرد أرقام اعتباطية، بل تمثل مساقط إحداثية حقيقية تتسق مع القوانين الهيكلية للتحويلات الخطية الإقليدية، وتمنح الباحثين القدرة على نمذجة النظم الديناميكية بمرونة متناهية.

1.2 تحديد أبعاد المصفوفات وتوافق الرتب (3×3 و 3×2)

يتم تعريف أي مصفوفة رياضياً برتبتها أو أبعادها، والتي تُكتب بالصيغة القياسية (m × n)، حيث يرمز m إلى عدد الصفوف الأفقية، بينما يرمز n إلى عدد الأعمدة الرأسية. هذه الأبعاد ليست مجرد وصف شكلي للشبكة العددية، بل هي توصيف دقيق للفضاءين المتجهيين اللذين تعمل المصفوفة كجسر بينهما؛ فالصفوف تعكس التوجيه الأفقي للمعادلات أو المتغيرات المستقلة، بينما تمثل الأعمدة الامتداد الرأسي للفضاء المتجهي المولد للبيانات.

لكي تكون عملية الضرب بين مصفوفتين A و B ممكنة رياضياً وفق قواعد جداء المصفوفات القياسي، يجب بالضرورة أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى (المضروب) مع عدد صفوف المصفوفة الثانية (المضروب فيه). وفي سياق دراستنا لحالة مصفوفة من الرتبة (3×3) مضروبة في مصفوفة من الرتبة (3×2)، نلاحظ أن أبعاد المصفوفة الأولى هي (3 صفوف × 3 أعمدة)، وأبعاد المصفوفة الثانية هي (3 صفوف × عمودين). نرى بوضوح أن البعد الداخلي المشترك هو الرقم 3، وهو ما يحقق التوافق الجبري التام؛ إذ يتطابق عدد أعمدة الأولى (3) مع عدد صفوف الثانية (3).

هذا التطابق في الرتبة الداخلية المشتركة يعني أنه عند سحب أي صف أفقي من المصفوفة الأولى، سنجد أنه يتألف من ثلاثة عناصر متسلسلة، وعند سحب أي عمود رأسي من المصفوفة الثانية، سنجد أنه يتألف بالمثل من ثلاثة عناصر متسلسلة. هذا التساوي التام يتيح إجراء الاقتران الأحادي الدقيق المطلوب لحساب الجداء القياسي، مما يؤكد قابلية تنفيذ العملية دون أي عوائق شكلية أو جبرية في فضاء الجبر الخطي الكلاسيكي، ويتيح تأسيس خوارزمية حسابية مستقرة رياضياً وقابلة للحل دون الوقوع في متناقضات رياضية.

1.3 طبيعة وحجم المصفوفة الناتجة عن عملية الضرب

تخضع رتبة المصفوفة الناتجة عن أي عملية ضرب لقاعدة محددة وثابتة في الجبر الخطي، تُعرف بقاعدة “الأبعاد الخارجية”. إذا كانت لدينا مصفوفة A ذات أبعاد (m × k) ومصفوفة B ذات أبعاد (k × n)، فإن المصفوفة الناتجة C = AB ستكون حتماً من الرتبة (m × n). وبالتطبيق المباشر على حالتنا المستهدفة:

(3 × 3) × (3 × 2) = (3 × 2)

يخبرنا هذا القانون الرياضي بأن المصفوفة الناتجة C ستتكون حصراً من ثلاثة صفوف وعمودين، تماماً مثل الأبعاد الخارجية للمصفوفتين المتفاعلتين. يعود السبب الجوهري لاحتواء الناتج على ثلاثة صفوف إلى أن كل صف في الناتج يتولد من تفاعل صف مناظر من المصفوفة الأولى A، وبما أن A تمتلك ثلاثة صفوف، فإن مصفوفة الناتج ستحتوي حتماً على ثلاثة صفوف تحافظ على الهيكلية الأفقية للمصفوفة المشغلة. وبالمثل، فإن احتواء الناتج على عمودين فقط يعود مباشرة إلى أن المصفوفة الثانية B لا تحتوي إلا على عمودين، وكل عمود في الناتج يمثل صورة تحويل لأحد هذين العمودين تحت تأثير المصفوفة الأولى.

من المنظور البنائي والهندسي، تمثل المصفوفة الناتجة C حزمة مكونة من متجهي أعمدة يمتدان داخل الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ℝ³. كل متجه من هذين المتجهين يمثل صورة محولة لعمود مناظر من المصفوفة B بعد أن خضع لعملية التدوير، والشد، والضغط، أو الانعكاس التي تفرضها المصفوفة A. وبالتالي، تظل النتيجة محصورة في هيكل مستطيلي الشكل يمتلك 6 عناصر إجمالية مصفوفة في نمط 3×2، مما يبرز كيف يمكن لمصفوفة مربعة أن تعيد توجيه وتشكيل مصفوفة مستطيلة دون زيادة أبعادها العرضية.

2. القواعد والخصائص الرياضية الحاكمة لضرب (3×3) في (3×2)

2.1 خاصية عدم التبادلية واستحالة الضرب العكسي

من أبرز السمات الجوهرية التي تفصل جبر المصفوفات عن الجبر الحسابي للأعداد الحقيقية هي خاصية عدم التبادلية (Non-commutativity). في الحساب التقليدي، يتساوى حاصل ضرب x في y دائماً مع حاصل ضرب y في x، بيد أن هذا المبدأ يسقط تماماً في عالم المصفوفات. في حالتنا التي تتناول مصفوفة A ذات رتبة (3×3) ومصفوفة B ذات رتبة (3×2)، لا تقتصر المشكلة على عدم تساوي AB مع BA، بل تمتد إلى استحالة إجراء العملية العكسية BA من الأساس.

لإثبات هذه الاستحالة برهانياً، دعنا نحاول إعداد العملية المعكوسة B × A: رتبة B هي (3×2)، ورتبة A هي (3×3). إذا فحصنا شرط التوافق البيني، سنجد أن عدد أعمدة B هو 2، بينما عدد صفوف A هو 3. وبما أن 2 لا تساوي 3، فإن الرتب الداخلية غير متطابقة، مما يجعل العملية الرياضية غير معرّفة نهائياً (Undefined). إن محاولة ضرب صف من B (المحتوي على عنصرين فقط) في عمود من A (المحتوي على ثلاثة عناصر) تؤدي إلى مأزق رياضي لعدم وجود عنصر ثالث في صفوف B ليقترن مع العنصر الأخير في عمود A.

هذا الغياب الصارم للتبادلية له آثار بالغة في هندسة التحويلات؛ فالترتيب يحدد المصفوفة المشغلة (المحولة) والمصفوفة الخاضعة للتحويل. إن تبديل الأطراف لا يغير النتيجة فحسب، بل ينسف العملية برمتها من الوجود الحسابي، مما يستوجب توخي الحذر التام عند كتابة المعادلات وتوثيق تسلسل العمليات الخطية في التحليلات الإحصائية والحوسبية لتجنب الوقوع في أخطاء البنية المعمارية للبيانات.

2.2 خاصية التوزيع والتجميع في سياق الرتب غير المتساوية

على الرغم من سقوط خاصية التبادلية، يحتفظ ضرب المصفوفات من الرتب (3×3) و (3×2) بخاصيتي التوزيع والتجميع، بشرط استيفاء شروط الرتب والأبعاد في العمليات المرافقة. تتحقق خاصية التوزيع للضرب على الجمع بدقة بالغة؛ فإذا كانت لدينا مصفوفة A من الرتبة (3×3)، ومصفوفتان B و D كلاهما من الرتبة (3×2)، فإن القانون التالي ينطبق تماماً:

A(B + D) = AB + AD

حيث يمكن جمع المصفوفتين B و D أولاً للحصول على مصفوفة ناتجة من الرتبة (3×2)، ثم ضربها في A، وستكون النتيجة متطابقة تماماً مع حاصل جمع مصفوفتي الضرب المستقلتين AB و AD. كما تتحقق خاصية التوزيع من الجهة الأخرى إذا كانت المصفوفات المضافة ذات رتبة مربعة متوافقة: (A + E)B = AB + EB، حيث E مصفوفة أخرى من الرتبة (3×3).

أما من زاوية التجميع (Associativity)، فإن العملية تحافظ على استقرارها؛ فإذا ضربنا المصفوفة A ذات الرتبة (3×3) في B ذات الرتبة (3×2)، ثم أردنا ضرب الناتج في مصفوفة ثالثة F، فإن F يجب أن تكون متوافقة مع أبعاد الناتج (3×2)، أي يجب أن تكون من الرتبة (2×p)، وعندها يتحقق: (AB)F = A(BF). بالإضافة إلى ذلك، فإن الثوابت القياسية (Scalars) تتصرف بمرونة مثالية في هذا النمط؛ فإذا كان k عدداً حقيقياً ثابتاً، فإن k(AB) = (kA)B = A(kB)، مما يسمح باستخراج الثوابت أو إدخالها على أي من أطراف العملية لتسهيل الاختصارات الحسابية اليدوية والبرمجية دون المساس بنتيجة الجداء النهائي.

2.3 تأثير المصفوفات الصفرية ومصفوفة الوحدة في هذا النمط

تلعب المصفوفات الخاصة دوراً جوهرياً في ضبط واختبار سلامة ضرب المصفوفات من الرتبتين (3×3) و (3×2). تبرز أولاً مصفوفة الوحدة (Identity Matrix)، والتي يُرمز لها بالرمز I₃، وهي مصفوفة مربعة من الرتبة (3×3) تتميز باحتواء قطرها الرئيسي على الرقم 1، بينما تكون جميع العناصر الأخرى أصفاراً مطلقة. عند ضرب مصفوفة الوحدة I₃ كطرف أول في أي مصفوفة B من الرتبة (3×2)، يكون التأثير الرياضي محايداً تماماً:

I₃ × B = B

تظل المصفوفة B محتفظة بجميع مدخلاتها وخصائصها الهندسية وقيمها دون أدنى تغيير؛ إذ تؤدي مصفوفة الوحدة هنا دور المحايد الضربي الخطي. وعلى النقيض من ذلك، إذا استخدمنا المصفوفة الصفرية المربعة من الرتبة (3×3)، والتي يُرمز لها بالرمز 0_3×3، وضربناها في المصفوفة B، فإن الناتج الحتمي سيكون مصفوفة صفرية مستطيلة من الرتبة (3×2):

0_3×3 × B = 0_3×2

إلا أن الظاهرة الأكثر عمقاً في جبر المصفوفات، والتي تتجلى بوضوح في هذا السياق، هي إمكانية وجود ما يسمى بقواسم الصفر (Zero Divisors). في حساب الأعداد التقليدي، إذا كان xy = 0، فإن x = 0 أو y = 0 بالضرورة. لكن في ضرب مصفوفة (3×3) في مصفوفة (3×2)، يمكن أن ينتج لدينا مصفوفة صفرية كاملة 0_3×2 على الرغم من أن المصفوفة A غير صفرية والمصفوفة B غير صفرية. يحدث هذا عندما تقع متجهات أعمدة المصفوفة B بالكامل داخل “فضاء العدم” (Null Space أو Kernel) للمصفوفة A، مما يؤدي إلى تلاشي النواتج وتحولها إلى أصفار، وهي خاصية فريدة تسلط الضوء على عمق الهيكل الهندسي المتعدد الأبعاد الذي يحكم هذه الفئة من العمليات.

3. التشريح الهيكلي الدقيق للمصفوفتين (3×3) و (3×2)

3.1 تمثيل المصفوفة المربعة الأولى (3×3) ونظام الإحداثيات

تُعد المصفوفة المربعة الأولى A ذات الرتبة (3×3) الكيان المشغل للتحويل في فضائنا المدروس، ويتم تمثيلها رمزياً بنظام شبكي دقيق يحتوي على تسعة عناصر مرتبة في ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة على النحو التالي:

A = [
[ a₁₁, a₁₂, a₁₃ ],
[ a₂₁, a₂₂, a₂₃ ],
[ a₃₁, a₃₂, a₃₃ ]
]

حيث يشير الرمز a_ij إلى العنصر الواقع عند تقاطع الصف رقم i مع العمود رقم j. يمكن تشريح هذه المصفوفة المربعة بطريقتين تحليليتين بالغة الأهمية: الأولى هي النظر إليها كمجموعة من ثلاثة متجهات صفية أفقية تنتمي للفضاء الثنائي المرافق (Dual Space)، حيث يمثل كل صف معادلة مستوية تحدد كيفية قياس وإسقاط المدخلات؛ الصف الأول هو المتجه [a₁₁, a₁₂, a₁₃]، والصف الثاني هو [a₂₁, a₂₂, a₂₃]، والصف الثالث هو [a₃₁, a₃₂, a₃₃].

أما الطريقة الثانية، فهي النظر إليها كمجموعة من ثلاثة متجهات عمودية رأسية داخل الفضاء ثلاثي الأبعاد ℝ³، تصف أين تنتقل متجهات الوحدة الأساسية الثلاثة (المحاور الإحداثية X و Y و Z) تحت تأثير هذا التحويل الخطي. إن الخصائص المورفولوجية للمصفوفات المربعة—مثل قيم المحدد (Determinant)، والأثر (Trace)، والتحليل الطيفي للقيم والمتجهات الذاتية (Eigenvalues and Eigenvectors)—تمنح هذه المصفوفة سلطة توجيهية كاملة على أي بيانات تتفاعل معها بالضرب، إذ تحدد ما إذا كان التحويل يحافظ على حجم الفضاء، أو يعكس اتجاهه، أو يسحقه إلى فضاء ذي بعد أقل.

3.2 تمثيل المصفوفة المستطيلة الثانية (3×2) وخصائصها

تمثل المصفوفة المستطيلة الثانية B ذات الرتبة (3×2) البيانات أو الفضاء المستهدف بالتحويل، ويتم كتابتها رمزياً في صورة شبكة تتألف من ستة عناصر موزعة على ثلاثة صفوف وعمودين كالآتي:

B = [
[ b₁₁, b₁₂ ],
[ b₂₁, b₂₂ ],
[ b₃₁, b₃₂ ]
]

إن القراءة البنائية الدقيقة لهذه المصفوفة تقتضي النظر إليها باعتبارها تتكون من حزمتين من متجهات الأعمدة الرأسية الممتدة في الفضاء ثلاثي الأبعاد ℝ³؛ العمود الأول هو المتجه الرأسي v₁ = [b₁₁, b₂₁, b₃₁]^T، والعمود الثاني هو المتجه الرأسي v₂ = [b₁₂, b₂₂, b₃₂]^T. كل متجه منهما يمتلك ثلاث مركبات إحداثية تمثل موقعه في المحاور الثلاثية.

تختلف المصفوفات المستطيلة من النوع (3×2) جوهرياً عن المصفوفات المربعة؛ فهي لا تمتلك محدداً مصفوفياً بالمعنى التقليدي، ولا يمكن إيجاد معكوس جبري مباشر لها (Inverse)، بل يتم التعامل معها في فضاءات الحالة المتقدمة عبر المعكوسات المعممة مثل معكوس مور-بينروز الزائف (Moore-Penrose Pseudoinverse). هندسياً، يعبر هذان المتجهان عن مستوٍ ثنائي الأبعاد (Plane) يمر بنقطة الأصل داخل الفضاء ثلاثي الأبعاد الواسع، ما لم يكن أحد المتجهين مضاعفاً خطياً للآخر، وحينها ينحدر الفضاء إلى مجرد خط مستقيم يمثل فضاءً أحادي البعد.

3.3 آلية الاقتران بين الصفوف والأعمدة لحساب الجداء النقطي

تقوم ميكانيكية ضرب المصفوفة A في المصفوفة B على نظام اقتران زوجي صارم بين المتجهات الصفية للمصفوفة الأولى والمتجهات العمودية للمصفوفة الثانية. يُحسب كل مدخل مفرد في المصفوفة الناتجة C عبر إجراء عملية الضرب القياسي (Dot Product) المستقل بين صف معين من A وعمود معين من B.

لتوليد العنصر c_ij الواقع في الصف i والعمود j من مصفوفة الناتج، يتم تطبيق التقابل الأحادي التالي:
نأخذ عناصر الصف i من المصفوفة A، وهي بالتتابع: (a_i1, a_i2, a_i3)، ونأخذ بالتوازي عناصر العمود j من المصفوفة B، وهي بالتتابع: (b_1j, b_2j, b_3j). بعد ذلك، يُضرب العنصر الأول في الأول، والثاني في الثاني، والثالث في الثالث، ثم تُجمع هذه النواتج الجزئية الثلاثة معاً في قيمة قياسية مفردة:

c_ij = (a_i1 × b_1j) + (a_i2 × b_2j) + (a_i3 × b_3j)

تتطلب هذه الآلية المتكررة تركيزاً حسابياً دقيقاً؛ فكل عنصر من العناصر الستة المكونة للناتج النهائي يستلزم تنفيذ ثلاث عمليات ضرب جزئية تتبعها عمليتا جمع تراكمي. هذا التراكيب الحسابي يبرز لماذا تتطابق الأبعاد الداخلية؛ فأي نقص أو زيادة في عدد عناصر الصف أو العمود يكسر هذا التقابل الأحادي ويجعل عملية الجمع التراكمي مستحيلة الحل رياضياً.

4. الخوارزمية الرياضية المفصلة لحساب عناصر المصفوفة الناتجة

4.1 توليد العمود الأول للمصفوفة الناتجة (c11, c21, c31)

يتم توليد العمود الأول بالكامل للمصفوفة الناتجة C من خلال التفاعل الحصري لجميع صفوف المصفوفة الأولى A مع العمود الأول فقط للمصفوفة الثانية B. يعكس هذا العمود هندسياً تحول المتجه الأول في الفضاء تحت تأثير المصفوفة المشغلة. تتلخص الحسابات التفصيلية لمدخلات هذا العمود في القوانين التالية:

• حساب المدخل c₁₁ (الصف الأول، العمود الأول): ينتج عن الجداء القياسي بين الصف الأول من A والعمود الأول من B وفق الصيغة:
  
  c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁
• حساب المدخل c₂₁ (الصف الثاني، العمود الأول): ينتج عن الجداء القياسي بين الصف الثاني من A والعمود الأول من B وفق الصيغة:
  
  c₂₁ = a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁
• حساب المدخل c₃₁ (الصف الثالث، العمود الأول): ينتج عن الجداء القياسي بين الصف الثالث من A والعمود الأول من B وفق الصيغة:
  
  c₃₁ = a₃₁b₁₁ + a₃₂b₂₁ + a₃₃b₃₁

تمثل هذه الثلاثية الحسابية المترابطة العمود الأول كاملاً داخل المصفوفة الناتجة [c₁₁, c₂₁, c₃₁]^T. نلاحظ هنا ثبات المؤشر الثاني في عناصر المصفوفة B (وهو الرقم 1 دائماً)، مما يدل على استقرارنا ضمن العمود الأول، في حين تتغير مؤشرات المصفوفة A رأسياً لتمسح الصفوف الثلاثة بالتتابع من الأعلى إلى الأسفل.

4.2 توليد العمود الثاني للمصفوفة الناتجة (c12, c22, c32)

بصورة مماثلة ومنظمة، يتم بناء العمود الثاني للمصفوفة الناتجة C عبر تحريك متجهات الصفوف الثلاثة للمصفوفة A بالترتيب ذاته، ولكن بإقرانها هذه المرة بالعمود الثاني حصراً للمصفوفة B. يمثل هذا العمود صورة التحويل للمتجه الرأسي الثاني، ويتم احتساب عناصره الثلاثة وفق المعادلات الجبرية الآتية:

• حساب المدخل c₁₂ (الصف الأول، العمود الثاني): ينتج عن الجداء القياسي بين الصف الأول من A والعمود الثاني من B بصيغته الرياضية:
  
  c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂
• حساب المدخل c₂₂ (الصف الثاني، العمود الثاني): ينتج عن الجداء القياسي بين الصف الثاني من A والعمود الثاني من B بصيغته الرياضية:
  
  c₂₂ = a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂
• حساب المدخل c₃₂ (الصف الثالث، العمود الثاني): ينتج عن الجداء القياسي بين الصف الثالث من A والعمود الثاني من B بصيغته الرياضية:
  
  c₃₂ = a₃₁b₁₂ + a₃₂b₂₂ + a₃₃b₃₂

تُشكّل هذه المدخلات الثلاثة الجديدة العمود الثاني للمصفوفة النهائية [c₁₂, c₂₂, c₃₂]^T. وهنا يثبت المؤشر الثاني في عناصر المصفوفة B على الرقم 2، بينما يعاد مسح صفوف المصفوفة A بذات النمط الرأسي الصارم، مما يؤكد انتظام الخوارزمية واتساقها التدريجي لإكمال بنية المصفوفة المستطيلة ذات الصفوف الثلاثة والعمودين.

4.3 الصياغة التجميعية باستخدام رمز المجموع الرياضي (Sigma)

للتعبير عن هذا الإجراء الحسابي المتشعب بصيغة رياضية مدمجة وشاملة، يلجأ علماء الجبر الخطي إلى استخدام رمز المجموع (Sigma Notation: Σ). تسمح هذه الصيغة باختزال القوانين المتعددة في معادلة قياسية موحدة تحدد قيمة أي عنصر c_ij بدقة رياضية مطلقة:

c_ij = ∑_k=1³ a_ikb_kj

حيث يأخذ المؤشر الإحداثي i القيم {1, 2, 3} مشيراً إلى صفوف الناتج، بينما يأخذ المؤشر j القيمتين {1, 2} مشيراً إلى أعمدة الناتج. أما المؤشر الحركي البيني k، فيمتد عبر المجال المشترك من 1 إلى 3، وهو المحرك الداخلي الذي يفكك المجموع التراكمي إلى ثلاث عمليات ضرب تليها عمليتا جمع لكل مدخل:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j

تضمن دقة ترقيم هذه المؤشرات السفلية (Subscripts) انضباط المسار الحسابي؛ فالمؤشر المشترك k يربط عمود المصفوفة الأولى بصف المصفوفة الثانية، في حين يحدد المؤشران الخارجيان i و j الموقع الهندسي النهائي للعنصر المحسوب ضمن الشبكة المستطيلة ذات الرتبة (3×2)، مما يوفر صياغة خوارزمية نموذجية يسهل تحويلها إلى شيفرات حاسوبية في مختلف بيئات البرمجة والتطوير.

5. تطبيق عددي شامل خطوة بخطوة للضرب (3×3) في (3×2)

5.1 طرح المصفوفتين الافتراضيتين وتحديد القيم العددية

لتجسيد القواعد النظرية السابقة على أرض الواقع الرقمي وتتبع التفاعلات الحسابية بتفصيل تام، سنفترض وجود مصفوفتين محددتين بعناية، تشتملان على أعداد صحيحة موجبة، وسالبة، وأصفار، لاختبار آلية إدارة الإشارات والعمليات الذهنية بدقة متناهية. لتكن المصفوفة المربعة الأولى A من الرتبة (3×3) معرفة بالقيم التالية:

A = [
[  2, -1,  3 ],
[  0,  4, -2 ],
[  1,  2,  1 ]
]

ولنعرّف المصفوفة المستطيلة الثانية B من الرتبة (3×2) لتكون على النحو الآتي:

B = [
[  1,  4 ],
[ -2,  0 ],
[  3, -1 ]
]

قبل الشروع في الحساب، نجري فحص المطابقة المبدئي: المصفوفة A تمتلك 3 أعمدة، والمصفوفة B تمتلك 3 صفوف. التوافق الحسابي محقق تماماً، والمصفوفة الناتجة C = AB ستكون بكل تأكيد مصفوفة مستطيلة من الرتبة (3×2) تتألف من ستة عناصر محددة سنقوم بحسابها يدوياً خطوة بخطوة.

5.2 التنفيذ الحسابي لمدخلات الصف الأول والثاني للناتج

نبدأ أولاً بحساب عناصر الصف الأول للمصفوفة الناتجة عبر ضرب الصف الأول من المصفوفة A، وهو [2, -1, 3]، في عمودي المصفوفة B:

• حساب المدخل c₁₁:
  
  c₁₁ = (2 × 1) + (-1 × -2) + (3 × 3)
  
  النواتج الجزئية للضرب: 2 × 1 = 2، و (-1) × (-2) = +2، و 3 × 3 = 9.
  
  الجمع التراكمي: 2 + 2 + 9 = 13.
• حساب المدخل c₁₂:
  
  c₁₂ = (2 × 4) + (-1 × 0) + (3 × -1)
  
  النواتج الجزئية للضرب: 2 × 4 = 8، و (-1) × 0 = 0، و 3 × (-1) = -3.
  
  الجمع التراكمي: 8 + 0 + (-3) = 5.

ننتقل بعد ذلك إلى حساب عناصر الصف الثاني للمصفوفة الناتجة باستخدام الصف الثاني من المصفوفة A، وهو [0, 4, -2]، مع عمودي المصفوفة B بالتتابع:

• حساب المدخل c₂₁:
  
  c₂₁ = (0 × 1) + (4 × -2) + (-2 × 3)
  
  النواتج الجزئية للضرب: 0 × 1 = 0، و 4 × (-2) = -8، و (-2) × 3 = -6.
  
  الجمع التراكمي: 0 + (-8) + (-6) = -14.
• حساب المدخل c₂₂:
  
  c₂₂ = (0 × 4) + (4 × 0) + (-2 × -1)
  
  النواتج الجزئية للضرب: 0 × 4 = 0، و 4 × 0 = 0، و (-2) × (-1) = +2.
  
  الجمع التراكمي: 0 + 0 + 2 = 2.

يُبرز هذا التسلسل الحسابي أهمية إدارة الإشارات الجبرية السلبية بدقة؛ فضرب عددين سالبين يولد قيمة موجبة كما ظهر في حساب c₁₁ و c₂₂، بينما يؤدي الضرب في الصفر إلى تحييد النواتج الجزئية مما يقلل من أخطاء التجميع الذهني ويسرّع الوصول إلى القيم النهائية.

5.3 إكمال حساب الصف الثالث وتشكيل المصفوفة النهائية C

نصل الآن إلى استكمال حسابات الصف الثالث والأخير للمصفوفة الناتجة بالاعتماد على الصف الثالث من A، وهو [1, 2, 1]، وإقرانه مع عمودي B:

• حساب المدخل c₃₁:
  
  c₃₁ = (1 × 1) + (2 × -2) + (1 × 3)
  
  النواتج الجزئية للضرب: 1 × 1 = 1، و 2 × (-2) = -4، و 1 × 3 = 3.
  
  الجمع التراكمي: 1 + (-4) + 3 = 4 – 4 = 0.
• حساب المدخل c₃₂:
  
  c₃₂ = (1 × 4) + (2 × 0) + (1 × -1)
  
  النواتج الجزئية للضرب: 1 × 4 = 4، و 2 × 0 = 0، و 1 × (-1) = -1.
  
  الجمع التراكمي: 4 + 0 + (-1) = 3.

بعد إتمام كافة الحسابات الجزئية بنجاح واستخراج قيم المدخلات الستة، نجمع هذه النتائج داخل الهيكل المصفوفي المستطيل النهائي C من الرتبة (3×2):

C = [
[  13,  5 ],
[ -14,  2 ],
[   0,  3 ]
]

نلاحظ أن التحقق العددي يظهر اتساقاً تاماً في تدفق البيانات؛ حيث انحدرت تفاعلات المدخلات التسعة في الأولى مع المدخلات الستة في الثانية لتشكل بالضبط مصفوفة مستطيلة ذات 3 صفوف وعمودين، وجاءت النتيجة 0 في المدخل c₃₁ لتعكس حالة تعامد موضعي تام بين الصف الثالث للمصفوفة A والعمود الأول للمصفوفة B، وهو ما يؤكد الدقة المتناهية للجداء القياسي الداخلي.

6. التفسير الهندسي للتحويل الخطي من الفضاء ثلاثي الأبعاد

6.1 التحويلات الخطية وإعادة تعيين المتجهات

من الناحية الهندسية البحتة، لا تقتصر المصفوفة المربعة A ذات الرتبة (3×3) على كونها مجرد جدول من الأرقام، بل هي في الحقيقة مشغل هندسي تحويلي (Geometric Operator) يعمل على الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بأكمله ℝ³. هذا المشغل يمتلك القدرة على تحريك النقاط، وتدوير المحاور الإحداثية، وتمديد أو تقليص المسافات، وتشويه الهياكل الفضائية مع الحفاظ الصارم على خطية المسارات ونقطة الأصل دون إزاحة.

أما المصفوفة المستطيلة B ذات الرتبة (3×2)، فإنها تحدد في جوهرها مستوياً ثنائي الأبعاد (Two-Dimensional Plane) يمتد عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد بواسطة متجهي أعمدتها v₁ و v₂. حين نُجري عملية الضرب AB، فإننا نأخذ هذا المستوي الثنائي بالكامل، ونقوم بتمريره عبر المشغل التحويلي A. والنتيجة هي إعادة تعيين شاملة للمستوي؛ حيث يُعاد توجيه اتجاهات أقطاره وزواياه داخل الفضاء ثلاثي الأبعاد تبعاً لقوة واتجاه المصفوفة المشغلة.

إذا كانت المصفوفة A مصفوفة دوران (Rotation Matrix)، فإن المستوي المحمول في B سيدور بزاوية معينة حول محور ثابت يمر بنقطة الأصل، محتفظاً بالمسافات والزوايا النسبية بين نقاطه دون أي تمدد. أما إذا كانت A تتضمن عوامل شد وتمدد (Scaling)، فإن المستوي سينبسط أو يتقلص على طول محاور معينة، مما يوضح كيف يعمل ضرب (3×3) في (3×2) كأداة تحكم فضائية مرنة تعيد تموضع المستويات الجزئية وتعديل سلوكها الحركي داخل الفضاء الهندسي العام.

6.2 فضاء الصورة وفضاء العدم (Column Space and Null Space)

يرتبط السلوك الهندسي للضرب ارتباطاً وثيقاً برتبة المصفوفة (Rank)، وفضائها العمودي (Column Space أو فضاء الصورة)، وفضاء العدم الخاص بها (Null Space). رتبة المصفوفة المربعة A تمثل الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطياً بين أعمدتها الثلاثة. إذا كانت المصفوفة A كاملة الرتبة، أي أن رتبتها تساوي 3 (Full Rank)، وتسمى حينئذ مصفوفة غير شاذة (Non-Singular)، فإن فضاء صورتها يغطي الفضاء ثلاثي الأبعاد كاملاً ℝ³، ويكون فضاء عدمها مقتصراً على المتجه الصفري التافه فقط.

في هذه الحالة المثالية، عندما تضرب A في مصفوفة B (مستقلة الأعمدة وذات رتبة 2)، فإن فضاء الناتج C يحافظ تماماً على بعده الثنائي ويكون فضاء الصورة للناتج مستوياً حقيقياً كامل المعالم. ولكن، إذا كانت المصفوفة A أحادية أو شاذة (Singular Matrix)، أي أن محددها يساوي صفراً وتتراوح رتبتها بين 1 أو 2، فإنها تقوم بتسوية وسحق الفضاءات المارة عبرها؛ فإذا كانت رتبتها 2، فإنها قد تسحق المستوي B ليتحول إلى مجرد خط مستقيم أحادي البعد إذا تطابق أحد متجهات B مع الاتجاه الذي يسحقه فضاء العدم للمصفوفة A.

وإذا كانت رتبة A تساوي 1، فإنها تسحق أي فضاء مهما كان امتداده إلى خط مستقيم أحادي الاتجاه. ومن ثم، فإن العلاقة بين فضاء المدخلات في B وفضاء المخرجات في C ترتهن بالكامل بالهيكل الطيفي للمصفوفة A، التي تمتلك سلطة تقليص الأبعاد وحجب أجزاء كاملة من الفضاء الهندسي وفقاً لطبيعة فضاء العدم المرتبط بها.

6.3 التركيبات الخطية وتوليد الفضاءات الجزئية

يوفر منظور “التركيب الخطي” (Linear Combination) واحداً من أعمق التفسيرات الجبرية لعملية ضرب المصفوفات. يمكن صياغة العمود الأول للمصفوفة الناتجة C باعتباره تركيبة خطية صريحة من أعمدة المصفوفة الأولى A، حيث تلعب عناصر العمود الأول من المصفوفة B دور المعاملات والأوزان القياسية المقترنة بتلك الأعمدة:

c₁ = b₁₁a₁ + b₂₁a₂ + b₃₁a₃

وبالمثل تماماً، يتم التعبير عن العمود الثاني للمصفوفة الناتجة C كتركيبة خطية أخرى من أعمدة المصفوفة A، وتكون الأوزان هذه المرة هي عناصر العمود الثاني من المصفوفة B:

c₂ = b₁₂a₁ + b₂₂a₂ + b₃₂a₃

يبرهن هذا المنظور على أن أعمدة المصفوفة الناتجة C لا يمكن أبداً أن تخرج عن النطاق المولد (Span) بواسطة أعمدة المصفوفة A؛ فالفضاء الجزئي الممتد داخل ℝ³ بواسطة أعمدة C هو بالضرورة فضاء فرعي يقع بالكامل داخل فضاء الأعمدة الخاص بالمصفوفة الأولى. إن ما تفعله المصفوفة B هو تحديد الاتجاهات والخلطات النسبية التي نأخذ بها أجزاء من أعمدة A لنشكل بها المتجهين الجديدين، مما يعطي تفسيراً حركياً متكاملاً لكيفية تدفق البيانات ونقلها عبر المشغلات المصفوفية المتعاقبة.

7. التطبيقات في النمذجة الإحصائية وتحليل القياس النفسي (Psychometrics)

7.1 معالجة مصفوفات السمات والبيانات السلوكية

تجد عملية ضرب مصفوفة (3×3) في مصفوفة (3×2) تطبيقاً كلاسيكياً وواسع الانتشار في ميدان القياس النفسي (Psychometrics) وتحليل البيانات السلوكية والاجتماعية. لنفترض أن باحثاً في القياس النفسي يقوم بدراسة ثلاث سمات شخصية أو معرفية محددة لدى الأفراد، مثل: (1) الذكاء التحليلي، (2) الثبات الانفعالي، (3) المرونة السلوكية. تمثل هذه السمات الثلاث الأبعاد الأساسية للمتغيرات في النموذج المقاس.

إذا تم جمع البيانات المعيارية لمتوسطات هذه السمات الثلاث عبر شريحتين مستقلتين من المشاركين (مثل: شريحة الطلاب وشريحة المهنيين)، أو عبر مجموعتين من بيئات الاختبار (بيئة العمل الطبيعية والبيئة الضاغطة)، فإنه يمكن تمثيل هذه البيانات السلوكية في مصفوفة مستطيلة B من الرتبة (3×2)؛ حيث تمثل الصفوف الثلاثة السمات المقاسة، بينما يمثل العمودان المجموعتين أو الظرفين التجريبيين. من جهة أخرى، يمتلك الباحث مصفوفة أوزان نظرية أو مصفوفة تحويل قياسي A من الرتبة (3×3) تعبر عن الترابطات البينية أو معاملات الأثر المتبادل بين السمات الثلاث استناداً إلى نظرية الشخصية المعتمدة.

عند ضرب مصفوفة الأوزان (3×3) في مصفوفة البيانات السلوكية (3×2)، يتم إنتاج مصفوفة جديدة ذات رتبة (3×2) تعبر عن “الدرجات المركبة المعدلة” (Adjusted Composite Scores) للسمات الثلاث عبر الشريحتين. تؤدي هذه العملية إلى تصحيح تداخلات القياس وإبراز الأنماط النفسية الكامنة بموضوعية متناهية، مما يمنح علماء النفس أداة رياضية قاطعة لتقييم السلوك الإنساني في سياقات متعددة ومعقدة.

7.2 إسقاط الأبعاد في التحليل العاملي والتحليل التمييزي

في التحليل العاملي (Factor Analysis) والتحليل التمييزي الخطي (Linear Discriminant Analysis – LDA)، يسعى المحلل دائماً إلى فهم وتفسير الظواهر متعددة الأبعاد عبر عدد أقل من المحاور أو العوامل الأساسية الكامنة. لنفترض أن لدينا مصفوفة أحمال عاملية (Factor Loading Matrix) أو مصفوفة تدوير من الرتبة (3×3) تم استخلاصها لتعبر عن العلاقة بين ثلاثة اختبارات نفسية فرعية وثلاثة أبعاد نفسية كبرى.

إذا أردنا إسقاط أو تحويل مصفوفة معاملات التمايز لنموذجين سلوكيين ممثلين في مصفوفة (3×2)، فإن ضرب المصفوفة المربعة (3×3) في المصفوفة المستطيلة (3×2) يُمكّن من تنفيذ عملية التدوير العاملي (Factor Rotation)—سواء كان تدوير متعامد كالفاريماكس (Varimax) أو تدوير مائل كالبورماكس (Promax)—مباشرة على المحاور المستهدفة. يساعد هذا الإجراء الرياضي في تعظيم التباين وتوضيح الحدود الفاصلة بين المتغيرات الكامنة (Latent Variables) والمتغيرات الملاحظة (Observed Variables).

تكون المصفوفة الناتجة (3×2) حاملة لإحداثيات العوامل بعد التدوير داخل الفضاء الإسقاطي المختار؛ مما يسهل على الباحث عزل الأبعاد غير المهمة والتركيز على العوامل الكبرى المحددة للشخصية أو السلوك المقاس، ويوفر ضغطاً منهجياً فعالاً للبيانات يختزل التشتت العشوائي ويزيد من الثبات الإحصائي والصدق الظاهري للأدوات السيكومترية.

7.3 أنظمة المعادلات الهيكلية ونمذجة المسار

تعتمد نمذجة المعادلات البنائية (Structural Equation Modeling – SEM) وتحليل المسار (Path Analysis) على فحص شبكات العلاقات السببية والارتباطية المفترضة بين مجموعات من المتغيرات المعقدة. وفي هذا الإطار، تلعب المصفوفات دور أوعية الحساب التي تُخزن فيها مصفوفات التباين والتباين المشترك (Covariance Matrices) ومعاملات الانحدار الهيكلية المتعددة.

عند صياغة نموذج مسار يتضمن ثلاث متغيرات وسيطة تعمل كجسور سببية لنقل التأثير نحو مسارين تجريبيين أو مجموعتين من المخرجات، تتخذ مصفوفة التأثيرات المباشرة بين المتغيرات الوسيطة رتبة مربعة (3×3). ولربط هذه الشبكة بالمؤشرات الخارجية الموزعة عبر المجموعتين التجريبيتين (3×2)، تُجرى عملية الضرب المصفوفي لتقدير التأثيرات غير المباشرة والتأثيرات الكلية للنظام المركب.

تتيح مخرجات هذه العملية (3×2) اختبار جودة ملاءمة النموذج النظري للبيانات الواقعية (Goodness of Fit) ومقارنة مؤشرات التطابق الإحصائي عبر تقنيات مثل اختبار كاي-تربيع وتحليل البواقي. تضمن هذه الآلية الحسابية المنهجية للباحثين تقييم مسارات التأثير المتشابكة والتأكد من صدق الفرضيات النظرية بدقة إحصائية صارمة خالية من التحيزات الذاتية.

8. الأخطاء الشائعة واستراتيجيات التحقق والتصحيح الرياضي

8.1 الخلط الاصطلاحي بين ضرب المصفوفات والضرب العنصري

من أكثر العثرات التعليمية والعملية شيوعاً لدى المبتدئين في دراسة الجبر الخطي والتحليل الإحصائي هو الخلط الاصطلاحي والمفاهيمي بين ضرب المصفوفات الجبري والضرب العنصري (Element-wise Multiplication). غالباً ما ينبع هذا الخلط من المحاولة التلقائية لنقل قواعد جبر الأعداد البسيطة إلى عالم المصفوفات؛ حيث يفترض البعض خطأً أن ضرب مصفوفة (3×3) في مصفوفة (3×2) يقتضي ضرب كل عنصر في الأول بما يقابله في الثاني.

تكمن المغالطة الرياضية هنا في أن الضرب العنصري غير ممكن أساساً في حالتنا؛ فالمصفوفة الأولى تحتوي على تسعة عناصر بينما تحتوي الثانية على ستة فقط، مما يجعل تطبيق التناظر الفردي مستحيلاً ويترك ثلاثة عناصر دون نظائر تقترن بها. وحتى لو تساوت الأبعاد في حالات أخرى، فإن ناتج الضرب العنصري يفتقر تماماً للدلالة الهندسية للتحويلات الخطية ولا يمثل الجداء النقطي للصفوف في الأعمدة.

لتجنب هذا الانزلاق المنهجي، يجب التمييز الإجرائي الصارم: ضرب المصفوفات هو عملية “انتقال فضائي وتوليد خطي” يدمج الضرب بالجمع المتسلسل لإنتاج شبكة ذات أبعاد محكومة بقاعدة الأبعاد الخارجية (3×2)، بينما الضرب العنصري هو مجرد عملية معالجة رقمية موضعية منفصلة لا صلة لها بجبر التحويلات الهندسية الكلاسيكية.

8.2 أخطاء التبديل وتحديد محاور الصفوف والأعمدة

يرتبط النوع الثاني من الأخطاء بفقدان التركيز أثناء الحساب اليدوي، والذي يتجلى في ارتباك تحديد المحاور وحركة الصفوف والأعمدة. يقع الكثيرون في خطأ إجراء الضرب بين صف وصف، أو بين عمود وعمود، أو محاولة ضرب عمود من المصفوفة الأولى في صف من المصفوفة الثانية، مما يؤدي إلى نتائج رياضية مشوهة تنسف صحة المصفوفة بالكامل.

كما يبرز خطأ التبديل عند إدراج المدخلات المحسوبة في مصفوفة الناتج؛ كأن يتم وضع قيمة الجداء النقطي الناتج عن الصف الأول والعمود الثاني في موقع العنصر c₂₁ بدلاً من c₁₂، مما يقلب محاور المصفوفة الناتجة ويعادل إجراء تبديل موضعي غير مقصود (Accidental Transposition). ولمنع هذه الانزلاقات، يُنصح بشدة باتباع استراتيجيات تنظيمية صارمة لورقة العمل، مثل استخدام الألوان لتمييز الصف الفعال في المصفوفة الأولى عن العمود المستهدف في المصفوفة الثانية، وكتابة الترتيب الإحداثي (i, j) صراحة بجوار كل ناتج جزئي قبل إسقاطه في الهيكل النهائي للمصفوفة.

8.3 منهجيات التحقق الذاتي ومراجعة الاتساق الجبري

لضمان صحة وسلامة الحسابات الرياضية وتلافي الأخطاء البشرية، توجد عدة منهجيات فعالة للتحقق الذاتي من الاتساق الجبري، ومن أبرزها “فحص مجاميع الصفوف والأعمدة” (Row and Column Sum Check). تعتمد هذه الطريقة على جمع عناصر كل عمود في المصفوفة الثانية B للحصول على متجه تجميعي، ثم ضرب المصفوفة A في هذا المتجه؛ ويجب أن تتطابق النتيجة بدقة مع مجموع أعمدة المصفوفة الناتجة C، مما يوفر مؤشراً سريعاً وقاطعاً على سلامة الحسابات الحسابية الجزئية.

منهجية أخرى تتمثل في فحص الحالات المحددة المتطرفة؛ مثل استبدال أحد المتجهات بمتجه وحدة قياسي لاختبار ما إذا كان الناتج يطابق عموداً محدداً من مصفوفة التحويل. كما يجب دائماً مراجعة “الرتبة القصوى الممكنة” للمصفوفة الناتجة؛ فبما أن رتبة A لا تتجاوز 3 ورتبة B لا تتجاوز 2، فإن رتبة المصفوفة الناتجة C يجب ألا تتعدى بأي حال من الأحوال الحد الأدنى لرتب المصفوفتين، أي: rank(C) ≤ min(3, 2) = 2. إذا كشفت الحسابات عن استقلال خطي مصطنع يتجاوز 2، فإن ذلك يمثل دليلاً حاسماً على وجود خطأ جبري يستوجب إعادة تدقيق كافة خطوات الحل.

9. التنفيذ البرمجي والحوسبي لضرب مصفوفة (3×3) في (3×2)

9.1 الحوسبة المصفوفية باستخدام مكتبة NumPy في لغة Python

تُعد لغة Python عبر مكتبتها الرياضية المعيارية NumPy البيئة البرمجية الأكثر هيمنة على معالجة العمليات المصفوفية وتطبيقات التعلم الآلي المعاصرة. توفر المكتبة معالجة متجهية فائقة السرعة تُنفذ عبر لغات منخفضة المستوى مثل C و Fortran لتجاوز بطء الحلقات التكرارية في بايثون.

لإنشاء وتنفيذ عملية ضرب مصفوفة (3×3) في مصفوفة (3×2) في NumPy، يتم تعريف المصفوفتين باستخدام الدالة np.array، ثم يُستخدم المعامل المتخصص للضرب المصفوفي (@) أو الدالة np.matmul، كما هو موضح في البناء المنطقي التالي:

• يتم استيراد المكتبة: import numpy as np
• تعريف المصفوفة الأولى ثلاثية الأبعاد: A = np.array([[2, -1, 3], [0, 4, -2], [1, 2, 1]])
• تعريف المصفوفة الثانية المستطيلة: B = np.array([[1, 4], [-2, 0], [3, -1]])
• تنفيذ العملية عبر المعامل المباشر: C = A @ B
• أو تنفيذها باستخدام الدالة الصريحة: C = np.matmul(A, B)

يتميز المعامل @ في الإصدارات الحديثة من بايثون ومكتبة NumPy بصرامته الجبرية؛ فهو مصمم خصيصاً ليطبق قواعد الجبر الخطي الحقيقي للمصفوفات، على خلاف الدوال القديمة مثل np.dot التي قد تسلك سلوكيات مختلفة عند التعامل مع مصفوفات ذات أبعاد تتجاوز البعدين التنسيقيين، مما يجعل @ والدالة np.matmul الخيار الهندسي الأمثل والآمن لكافة التطبيقات العلمية.

9.2 التطبيق عبر بيئة R الإحصائية لتحليل البيانات

تحتل بيئة لغة R مكانة رفيعة في أبحاث القياس النفسي والإحصاء المتقدم؛ إذ صُممت بنيتها البرمجية في الأساس لتتعامل مع البيانات الإحصائية والمصفوفية ككيانات أولية أصيلة. يتم إنشاء المصفوفات في R عبر الدالة matrix، مع تحديد عدد الصفوف والأعمدة بدقة لضمان تناسق التوزيع الداخلي للبيانات.

لإجراء الضرب المصفوفي بين مصفوفة مربعة (3×3) ومصفوفة مستطيلة (3×2) في لغة R، لا يمكن استخدام معامل الضرب الحسابي البسيط (*)، لأن ذلك المعامل محجوز تماماً للضرب العنصري (Hadamard Product) الذي سيفشل حتماً لاختلاف الأبعاد، بل يجب استخدام العامل المصفوفي المخصص: %*%، كما يلي:

• إنشاء المصفوفة المربعة الأولى: A <- matrix(c(2, 0, 1, -1, 4, 2, 3, -2, 1), nrow=3, ncol=3)
• إنشاء المصفوفة المستطيلة الثانية: B <- matrix(c(1, -2, 3, 4, 0, -1), nrow=3, ncol=2)
• تنفيذ الضرب المصفوفي الجبري: C <- A %*% B

تضمن هذه الصياغة الأنيقة في بيئة R معالجة متجهات البيانات النفسية والسلوكية وفق القواعد الجبرية الصارمة، مما يتيح للباحثين استخراج مصفوفات الارتباطات، وحساب التباينات المشتركة، وتنفيذ تحليلات المسار التكرارية بأقصى درجات الكفاءة التحليلية والموثوقية الإحصائية.

9.3 تحليل التعقيد الحسابي والكفاءة الخوارزمية

عند تحليل الكفاءة الحوسبية لضرب مصفوفة ذات رتبة (m × k) في مصفوفة ذات رتبة (k × n)، يخضع التعقيد الزمني النظري لخوارزمية الضرب التقليدية للصيغة القياسية: O(m × k × n). وبالتطبيق المباشر على الأبعاد المستهدفة في دراستنا (m = 3, k = 3, n = 2):

عدد العمليات = 3 × 3 × 2 = 18 عملية ضرب قياسية

يتطلب حساب كل عنصر من العناصر الستة للناتج النهائي إجراء 3 عمليات ضرب، ليصل المجموع الكلي إلى 18 عملية ضرب منفصلة. ويرافق ذلك إجراء عمليتي جمع لكل مدخل، مما يولد إجمالاً: 6 × 2 = 12 عملية جمع تراكمي. وبالتالي، يتطلب إنجاز هذا التحويل الخطي بالكامل تنفيذ 30 عملية حسابية أولية (Floating Point Operations – FLOPs).

على الرغم من أن خوارزميات المصفوفات الضخمة—مثل خوارزمية شتراسن (Strassen Algorithm) وخوارزمية كوبرسميث-وينوغراد—تستهدف تقليص التعقيد الزمني النظري للمصفوفات العملاقة، إلا أنها غير مجدية على الإطلاق في مثل هذه الأبعاد الصغيرة (3×3 و 3×2) بسبب العبء الحسابي الإضافي (Overhead) لتقسيم المصفوفات. لذا، يظل الضرب القياسي التقليدي هو الأسرع والأكثر كفاءة للأبعاد المحدودة. أما من حيث إدارة الذاكرة، فإن هذه العمليات تُحفظ ككتل كثيفة متصلة (Dense Matrices) داخل الذاكرة المؤقتة لوحدة المعالجة المركزية، مما يضمن تدفقاً فورياً للحسابات بمعدل زمن استجابة يقترب من الصفر المطلق.

10. المقارنات البنائية: تمييز الحالة (3×3) في (3×2) عن الحالات المجاورة

10.1 المقارنة مع ضرب مصفوفتين مربعتين (3×3) في (3×3)

يوفر التحليل المقارن بين ضرب (3×3) في (3×2) وضرب مصفوفتين مربعتين (3×3) في (3×3) فهماً أعمق لطبيعة التحولات الهندسية والجبرية للمصفوفات. في حالة ضرب مصفوفتين مربعتين، تكون النتيجة مصفوفة مربعة متناظرة الأبعاد (3×3) تتألف من تسعة عناصر، وتتطلب تنفيذ 27 عملية ضرب و 18 عملية جمع تراكمي (إجمالي 45 عملية أولية)، مقارنة بـ 18 ضرب و 12 جمع لحالتنا المستطيلة.

إلا أن الفارق الجوهري الأكبر لا يكمن في عدد العمليات، بل في الخصائص الجبرية للمصفوفة الناتجة؛ فالناتج المربع (3×3) يمتلك إمكانية حساب المحدد، وإذا كان محدده لا يساوي صفراً، فإنه يمتلك معكوساً مصفوفياً كاملاً (Matrix Inverse)، مما يجعله تحويلاً خطياً عكوساً (Bijective Transformation) يمكن الرجوع عنه واستعادة البيانات الأصلية بالكامل. في المقابل، فإن المصفوفة الناتجة من الرتبة (3×2) هي مصفوفة مستطيلة مستحيلة المعكوس بالمعنى الكلاسيكي؛ إذ تؤدي إلى إسقاط مكثف يلغي أحد أبعاد الفضاء الأصلي ويمنع استعادة المدخلات دون استخدام تقنيات التقريب كالمعكوسات الزائفة، مما يجعلها أداة إسقاط واختزال لا أداة تدوير متماثلة.

10.2 المقارنة مع الحالة المعكوسة المحتملة (2×3) في (3×3)

قد يتبادر إلى الذهن إمكانية إجراء عملية ضرب تبدو للوهلة الأولى شبيهة بالحالة المدروسة، وهي ضرب مصفوفة من الرتبة (2×3) في مصفوفة من الرتبة (3×3). هذه العملية ممكنة رياضياً لأن البعد الداخلي المشترك هو 3 (أعمدة الأولى تساوي صفوف الثانية)، لكن الفارق في طبيعة وتوجه التحويل الخطي جذري وشامل.

في حالة (2×3) في (3×3)، تكون المصفوفة الناتجة من الرتبة (2×3)؛ حيث تتكون من صفين وثلاثة أعمدة. هنا نجد أن الفضاء المتجهي قد خضع لضغط في أبعاده الرأسية (انخفض من 3 صفوف إلى صفين) مع احتفاظه بامتداده الأفقي المكون من ثلاثة أعمدة. في المقابل، تحافظ حالتنا (3×3 في 3×2) على الأبعاد الرأسية الثلاثة وتضغط الامتداد الأفقي في عمودين فقط.

ينعكس هذا الاختلاف البنائي بشكل مباشر على تفسير المتغيرات المستقلة والتابعة في التحليلات الإحصائية؛ فبينما تعمل حالة (3×3 في 3×2) على تقييم عدد محدود من المجموعات (عمودين) عبر فضاء ثلاثي الأبعاد من المقاييس، تعمل حالة (2×3 في 3×3) على تقليص فضاء المقاييس ذاته إلى بعدين اثنين لمسح ثلاثة اتجاهات متباينة، مما يوضح كيف يحدد ترتيب وتناغم الرتب هوية الفضاءات الإحصائية المولدة.

10.3 المقارنة مع ضرب مصفوفة (3×2) في مصفوفة (2×3)

تمثل المقارنة مع حالة ضرب مصفوفة (3×2) في مصفوفة (2×3) واحدة من أروع المفارقات البنائية في الجبر الخطي. في هذه الحالة، تلعب المصفوفات المستطيلة دور الطرفين؛ الرتبة المشتركة البينية هي 2، وتكون المصفوفة الناتجة ذات أبعاد خارجية مربعة بالكامل: (3×3)!

على الرغم من أن ناتج ضرب (3×2) في (2×3) ينتج مصفوفة مربعة من الرتبة (3×3)، إلا أن هذه المصفوفة الناتجة تكون حتماً مصفوفة شاذة أو ناقصة الرتبة (Rank Deficient)؛ إذ لا يمكن لرتبتها أن تتجاوز البعد الداخلي 2 وفقاً لمتباينة سيلفستر الجبرية: rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) ≤ 2. وبالتالي، فإن محدد هذه المصفوفة المربعة الناتجة سيكون دائماً وأبداً مساوياً للصفر، ولا يمكن إيجاد معكوس كلاسيكي لها على الإطلاق رغم مظهرها المربع.

أما في حالتنا المستهدفة (3×3 في 3×2)، فإن الناتج مستطيل بطبيعته (3×2)، ولا يدعي مظهراً مربعاً كاذباً، وتصل رتبته إلى 2 بصورة طبيعية متوافقة مع أبعاده الخارجية، مما يعكس بوضوح كيف تؤثر الرتبة الداخلية والخارجية في رسم الحدود الهندسية والخواص الطيفية للمصفوفات المتولدة.

11. تدريبات متقدمة ومسائل نموذجية محلولة مع الشرح التحليلي

11.1 مسألة تطبيقية تشتمل على مصفوفة قطرية ومصفوفة مستطيلة

المسألة: لتكن D مصفوفة قطرية (Diagonal Matrix) من الرتبة (3×3) تمثل عوامل تدريج وتعديل قياسي على المحاور، ولتكن B مصفوفة بيانات مستطيلة من الرتبة (3×2) معرفتين كما يلي:

D = [
[  5,  0,  0 ],
[  0, -2,  0 ],
[  0,  0,  4 ]
]
    
B = [
[  3,  1 ],
[  4, -5 ],
[ -1,  2 ]
]

المطلوب: حساب المصفوفة الناتجة C = DB، واستخلاص القاعدة الرياضية السريعة لضرب مصفوفة قطرية في مصفوفة مستطيلة.

الحل والتحليل:
نطبق خوارزمية الجداء القياسي على مدخلات المصفوفة C:

• c₁₁ = (5 × 3) + (0 × 4) + (0 × -1) = 15 + 0 + 0 = 15
• c₁₂ = (5 × 1) + (0 × -5) + (0 × 2) = 5 + 0 + 0 = 5
• c₂₁ = (0 × 3) + (-2 × 4) + (0 × -1) = 0 – 8 + 0 = -8
• c₂₂ = (0 × 1) + (-2 × -5) + (0 × 2) = 0 + 10 + 0 = 10
• c₃₁ = (0 × 3) + (0 × 4) + (4 × -1) = 0 + 0 – 4 = -4
• c₃₂ = (0 × 1) + (0 × -5) + (4 × 2) = 0 + 0 + 8 = 8

تتجمع المدخلات في مصفوفة الناتج النهائية:

C = [
[  15,  5 ],
[  -8, 10 ],
[  -4,  8 ]
]

القاعدة المستخلصة: نلاحظ هنا ظاهرة رياضية فائقة الأهمية تختصر الوقت الحسابي؛ فعند ضرب أي مصفوفة قطرية من اليسار في مصفوفة مستطيلة، فإن النتيجة تكافئ تماماً ضرب عناصر كل صف من المصفوفة المستطيلة في العنصر القطري المقابل له مباشرة في المصفوفة القطرية (الصف الأول ضُرب بالكامل في 5، والثاني في -2، والثالث في 4). يتيح هذا الاستنتاج تجاوز خطوات الضرب الكاملة وحساب النواتج ذهنياً في خطوة واحدة عند التعامل مع مصفوفات التدريج القياسي.

11.2 مسألة جبرية تتضمن مجاهيل ومعادلات خطية متزامنة

المسألة: لدينا المصفوفة A والمصفوفة B، حيث تحتوي B على متغيرين مجهولين x و y:

A = [
[  1,  2,  0 ],
[  3, -1,  1 ],
[  0,  1,  2 ]
]
    
B = [
[  x,  1 ],
[  2,  y ],
[ -1,  3 ]
]

إذا علمت أن حاصل الضرب C = AB يعطي مصفوفة ناتجة تحتوي على القيمتين المعلومتين: c₁₁ = 7 و c₃₂ = 8. أوجد القيمتين العدديتين الدقيقتين للمجهولين x و y.

الحل والتحليل:
نقوم بصياغة المعادلة الجبرية المولدة للمدخل c₁₁ بالاعتماد على ضرب الصف الأول من A في العمود الأول من B:

c₁₁ = (1 × x) + (2 × 2) + (0 × -1) = 7

x + 4 + 0 = 7 ⇒ x = 7 – 4 ⇒ x = 3

بعد ذلك، نصوغ المعادلة الجبرية المولدة للمدخل c₃₂ بالاعتماد على ضرب الصف الثالث من A في العمود الثاني من B:

c₃₂ = (0 × 1) + (1 × y) + (2 × 3) = 8

0 + y + 6 = 8 ⇒ y = 8 – 6 ⇒ y = 2

من خلال هذه الحسابات الدقيقة، تمكنا من حل جملة المعادلات الجبرية الناتجة عن بنية الضرب المصفوفي، واستخراج القيم المجهولة بدقة رياضية مطلقة، مما يوضح كيف يعمل ضرب المصفوفات غير المربعة كأداة فعالة لصياغة وحل المعادلات التناظرية المتزامنة في نماذج التقدير الإحصائي والمعايرة المعلمية.

11.3 مسألة تركز على المصفوفات المتعامدة والمتناظرة

المسألة: افترض أن لدينا مصفوفة متناظرة (Symmetric Matrix) S من الرتبة (3×3)، والتي تتميز بخاصية التطابق التام مع مدورها: S = S^T، ولتكن معرفة بالقيم التالية:

S = [
[  2,  1,  3 ],
[  1,  4,  0 ],
[  3,  0,  1 ]
]

ولنفرض أن المصفوفة المستطيلة B من الرتبة (3×2) تتألف من متجهين متعامدين (Orthogonal Vectors) يمثلان إحداثيات قطبية:

B = [
[  1,  0 ],
[  0,  2 ],
[ -1,  0 ]
]

المطلوب: حساب الناتج C = SB ومناقشة أثر تناظر المصفوفة S وتعامد أعمدة B على البنية الطيفية للمصفوفة الناتجة.

الحل والتحليل:
نحسب مدخلات المصفوفة C خطوة بخطوة:

• c₁₁ = (2 × 1) + (1 × 0) + (3 × -1) = 2 + 0 – 3 = -1
• c₁₂ = (2 × 0) + (1 × 2) + (3 × 0) = 0 + 2 + 0 = 2
• c₂₁ = (1 × 1) + (4 × 0) + (0 × -1) = 1 + 0 + 0 = 1
• c₂₂ = (1 × 0) + (4 × 2) + (0 × 0) = 0 + 8 + 0 = 8
• c₃₁ = (3 × 1) + (0 × 0) + (1 × -1) = 3 + 0 – 1 = 2
• c₃₂ = (3 × 0) + (0 × 2) + (1 × 0) = 0 + 0 + 0 = 0

المصفوفة الناتجة النهائية هي:

C = [
[ -1,  2 ],
[  1,  8 ],
[  2,  0 ]
]

المناقشة الطيفية: تتمتع المصفوفات المتناظرة بخصائص استثنائية في الجبر الخطي؛ فقيمها الذاتية حقيقية دائماً، ومتجهاتها الذاتية متعامدة تبادلياً. عندما تتفاعل هذه المصفوفة المتناظرة بالضرب مع مصفوفة تتكون من متجهات متعامدة، فإن التحويل يحافظ على استقرار الطاقة الإشعاعية للمتجهات ويمنع التشوه العددي الشديد. نلاحظ في النتيجة أن المدخل c₃₂ انعدم تماماً، مما يكشف عن بزوغ تعامد داخلي جديد بين الصف الثالث للمصفوفة المتناظرة والعمود الثاني للمصفوفة المستطيلة، وهو ما يضمن الاستقرار الرقمي العالي للخوارزميات الإحصائية ويقلل من تراكم أخطاء التقريب الحسابي (Round-off Errors) أثناء المعالجة الرقمية المكثفة.

12. الخلاصة المنهجية والآفاق الرياضية في الجبر الخطي

12.1 تجميع القواعد الذهبية لضرب مصفوفة (3×3) في (3×2)

مع ختام هذا التحليل المنهجي الشامل لعملية ضرب مصفوفة (3×3) في مصفوفة (3×2)، تتبلور أمامنا مجموعة من القواعد الذهبية التي تضبط وتلخص هذه العملية الجبرية المحورية:

• قاعدة التوافق البيني الصارم: شرط التوافق الحسابي يتحقق حصراً عبر تطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية، وهو ما ينطبق في حالتنا بتطابق الرقم 3 الداخلي المشترك، مما يجعل الجداء القياسي معرّفاً ومكتملاً رياضياً.
• قاعدة الأبعاد الخارجية للهيكل الناتج: تخضع المصفوفة الناتجة للأبعاد الخارجية للمصفوفتين المتفاعلتين، وتنتج حتماً كمصفوفة مستطيلة من الرتبة (3×2) تضم ستة عناصر مرتبة في ثلاثة صفوف وعمودين، ولا يمكن أن تتخذ أي شكل هيكلي آخر.
• قاعدة ميكانيكية الحركة الجبرية: يتحرك كل صف أفقي من المصفوفة الأولى ليمسح كل عمود رأسي من المصفوفة الثانية، متضمناً تنفيذ ثلاث عمليات ضرب جزئية تليها عمليتا جمع تراكمي لكل عنصر مفرد من عناصر مصفوفة الناتج.
• قاعدة عدم التبادلية واستحالة العكس: تسقط خاصية التبادلية تماماً؛ فالعملية العكسية (3×2) في (3×3) مستحيلة رياضياً وغير معرّفة، مما يجعل ترتيب أطراف الضرب قيداً جبرياً لا يقبل التساهل.
• قاعدة سقف الرتبة الخطية: تخضع رتبة المصفوفة الناتجة لقيد الحد الأدنى؛ فلا يمكن لرتبة الناتج بأي حال من الأحوال أن تتعدى 2، مما يجعلها أداة ضغط وتمثيل مستوٍ محمول داخل الفضاء ثلاثي الأبعاد.

12.2 الجسر المعرفي بين الجبر النظري والعلوم التطبيقية

إن إتقان ضرب المصفوفات غير المربعة يمثل الجسر المعرفي الذي يربط بين تجريد الجبر النظري والآفاق الواسعة للعلوم التطبيقية المعاصرة. في عصر الانفجار البياني، لا تُعد المصفوفات مجرد أدوات لحل المعادلات الورقية، بل هي البنية التحتية الأساسية التي تُبنى عليها خوارزميات الذكاء الاصطناعي، ونماذج تعلم الآلة (Machine Learning)، وشبكات التعلم العميق (Deep Neural Networks).

في الشبكات العصبية الاصطناعية على سبيل المثال، تمثل المصفوفة المربعة (3×3) مصفوفة الأوزان والوصلات العصبية المشبكية بين طبقات معالجة ثلاثية الأبعاد، في حين تمثل المصفوفة المستطيلة (3×2) حزمة من عينات التدريب المدخلة (Mini-batch) لعينتين مستقلتين. يؤدي الضرب المصفوفي المباشر إلى نقل وتحويل إشارات العينات بالتوازي عبر الطبقات العصبية في خطوة حسابية موحدة.

كما يبرز هذا الجسر في تحليلات القياس النفسي والإحصاء الحيوي، حيث تتيح العمليات المصفوفية تحويل مصفوفات الاستجابات السلوكية الأولية إلى مصفوفات معاملات دقيقة تصف الظواهر الإنسانية المعقدة بموضوعية متناهية. إن الفهم الرياضي العميق لهذه الآليات يُمكّن الباحثين من تفسير مخرجات الحزم الإحصائية البرمجية بدقة، واستكشاف الدلالات الهندسية الكامنة خلف الأرقام، وتجنب التفسيرات الإحصائية المضللة التي قد تنجم عن الجهل بالبنية الرياضية للمشغلات الخطية.

12.3 آفاق التوسع نحو الحوسبة المتقدمة والمصفوفات الكبرى

لا تتوقف آفاق هذا العلم عند حدود الأبعاد المحدودة كالمصفوفتين (3×3) و (3×2)، بل تمتد لتشكل حجر الأساس للانتقال المفاهيمي نحو الفضاءات متعددة الأبعاد والحوسبة التينسورية (Tensor Computation). إن التينسورات (Tensors) ما هي إلا تعميم متقدم للمصفوفات نحو رتب هندسية تفوق البعدين، حيث تترابط مصفوفات متعددة الأبعاد لمعالجة تدفقات البيانات الضخمة في مجالات مثل الرؤية الحاسوبية، ومعالجة اللغات الطبيعية، وفيزياء الكم.

وعند التوسع نحو المصفوفات العملاقة التي تضم ملايين الصفوف والأعمدة في تطبيقات تحليل البيانات الضخمة، تصبح تقنيات التحسين الرياضي وخوارزميات المعالجة الموزعة والمتوازية على وحدات المعالجة الرسومية (GPUs) ومصفوفات وحدات معالجة التنسور (TPUs) ضرورة حتمية لإنجاز مليارات العمليات المصفوفية في أجزاء من الثانية. ومع ذلك، تظل القواعد الأساسية التي حكمت حالتنا المتواضعة (3×3 في 3×2)—من اقتران الجداء القياسي، وتوافق الرتب البينية، والحفاظ على الأبعاد الخارجية—هي ذاتها القوانين الصارمة والثابتة التي تحكم أضخم الحواسيب الفائقة في العالم.

إن التعمق في دراسة هذه الأسس يفتح آفاقاً لا حصر لها أمام الباحثين للغوص في نظريات الفضاءات الهيلبرتية، والتحليلات الطيفية المعاصرة، وتفكيك القيم المفردة (Singular Value Decomposition – SVD)، مما يجعل من فهم هذه الجزئية التأسيسية خطوة أولى لا غنى عنها في مسيرة التمكن الرياضي والتميز العلمي في عصر البيانات.

المراجع

• Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary linear algebra: Applications version (11th ed.). John Wiley & Sons.
• Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
• Hair, J. F., Black, W. C., Babin, B. J., & Anderson, R. E. (2019). Multivariate data analysis (8th ed.). Cengage Learning.
• Kline, R. B. (2016). Principles and practice of structural equation modeling (4th ed.). Guilford Publications.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2021). Linear algebra and its applications (6th ed.). Pearson.
• Strang, G. (2016). Introduction to linear algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
• Tabachnick, B. G., & Fidell, L. S. (2019). Using multivariate statistics (7th ed.). Pearson.