NumPy: كيفية حساب عدد العناصر المساوية لـ NaN

تتبوأ مكتبة الحوسبة العددية NumPy مكانة القلب النابض في منظومة لغة بايثون للذكاء الاصطناعي وعلوم البيانات وتحليل النظم الهندسية المعقدة، حيث تمثل مصفوفاتها متعددة الأبعاد البنية التحتية الأساسية التي تُبنى عليها الخوارزميات الرياضية الحديثة. غير أن معالجة البيانات الواقعية، المستخلصة من المستشعرات الفيزيائية، أو السجلات الطبية، أو المعاملات المالية، نادراً ما تأتي في صورة مثالية خالية من الشوائب؛ بل تصطدم النماذج البرمجية دائماً بظاهرة البيانات المفقودة أو غير المعرفة رياضياً، والمصطلح عليها برمجياً بالقيمة غير العددية (Not a Number أو اختصاراً NaN). إن التعامل مع هذه الفجوات الرقمية يمثل التحدي التأسيسي الأول الذي يواجه مهندسي البيانات والباحثين، نظراً لأن ترك هذه القيم دون رصد دقيق وحساب كمي يفسد النماذج الإحصائية ويؤدي إلى انهيار العمليات التحليلية برمّتها عبر ظاهرة انتشار الخطأ الرياضي.

تكمن المعضلة التقنية المركزية في أن قيمة NaN ليست مجرد قيمة عادية يمكن التحقق منها عبر أدوات المقارنة المنطقية الكلاسيكية، بل هي كيان حسابي شاذ يخضع لمعيار معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات الدولي IEEE 754 الخاص بتمثيل الأعداد ذات الفاصلة العائمة. هذا التصميم الرياضي الصارم يجعل من عملية بديهية ظاهرياً، مثل “حساب عدد العناصر المفقودة داخل مصفوفة”، مسألة برمجية تتطلب إدراكاً عميقاً للبنية الهندسية المنخفضة المستوى لمكتبة NumPy، وكيفية تفاعل المعالج المركزي مع البتات الخاصة بالفاصلة العائمة. ومن هنا، فإن الاعتماد على التعبيرات الشرطية المباشرة يقود حتماً إلى نتائج كارثية مضللة صامتة لا تولد استثناءات برمجية واضحة، ولكنها تشوه النتائج العلمية في صمت مطبق.

يسعى هذا المرجع الشامل إلى تفكيك كافة الجوانب النظرية والتطبيقية المرتبطة بمسألة كيفية حساب عدد العناصر المساوية لـ NaN داخل مصفوفات NumPy بدقة فائقة وكفاءة خوارزمية مثلى. سننتقل عبر هذا الدليل من الأسس المنطقية الرياضية لتمثيل الذاكرة والبتات الثنائية، مروراً بالطرق المعيارية الأكثر سرعة مثل استخدام دالة الفحص المنطقي مع دوال العد غير الصفري، وصولاً إلى السيناريوهات المتقدمة في المصفوفات متعددة الأبعاد، وتحليل الأداء الحسابي واستهلاك الذاكرة العشوائية للمصفوفات العملاقة، والربط التكاملي مع بيئات الإنتاج ومكتبات تحليل البيانات المتقدمة. سيكتسب القارئ من خلال هذا العرض الأكاديمي المتعمق فهماً شاملاً يمكّنه من صياغة شيفرات برمجية متينة، سريعة، ومحصنة ضد الأخطاء الخفية الشائعة.

1. مقدمة شاملة حول التعامل مع القيم المفقودة (NaN) في مكتبة NumPy

1.1 مفهوم القيم المفقودة (Not a Number) وأهميتها في الحوسبة العلمية

يُعرّف الرمز الحسابي NaN في البيئات البرمجية والحوسبة العلمية بأنه رمز خاص يمثل قيمة غير معرفة، أو قيمة يتعذر تمثيلها عددياً ضمن نظام الترقيم الحقيقي. لم يُصمم هذا الرمز بصورة اعتباطية، بل جاء تلبية لضرورة رياضية ملحة لمعالجة العمليات الحسابية الاستثنائية التي لا تؤدي إلى ناتج كمي منطقي، مثل قسمة الصفر على الصفر، أو ضرب اللانهاية بالصفر، أو حساب الجذر التربيعي لعدد سالب ضمن فضاء الأعداد الحقيقية دون التحول إلى الأعداد المركبة. ومن ثم، فإن وجود NaN داخل منظومة الحسابات يوفر وسيلة للتعامل مع العمليات غير الصالحة دون أن يتوقف المعالج المركزي عن العمل فجأة عبر مقاطعات الأخطاء القاتلة، مما يسمح باستمرار تدفق العمليات البرمجية بمرونة وسلامة بنيوية عالية.

في سياق علم البيانات والتحليل الإحصائي، يكتسب مفهوم NaN بعداً تطبيقياً حيوياً يتمثل في التعبير عن البيانات المفقودة (Missing Data). تنشأ هذه الظاهرة عند فشل مستشعر في تسجيل قراءة مناخية في لحظة زمنية معينة، أو عند امتناع مجيب على استبيان اجتماعي عن ملء خانة محددة، أو عند فقدان حزم البيانات أثناء النقل الشبكي في الزمن الحقيقي. ويمتد التمايز الفلسفي والبرمجي هنا ليشكل فارقاً جوهرياً بين “انعدام البيانات” والقيمة “الصفرية”؛ فالصفر هو قيمة عددية دقيقة تمثل نقطة محددة على خط الأعداد وتعبر عن قياس فعلي للكمية، كأن تكون درجة الحرارة صفراً مئوياً. أما NaN فهي غياب تام للمعرفة حول القيمة الفعلية، ومعاملتها كقيمة صفرية يؤدي حتماً إلى تحريف الانحراف المعياري، وتشويه المتوسطات، وتوليد استنتاجات خاطئة في النماذج الإحصائية وتطبيقات التعلم الآلي.

1.2 تمثيل NaN داخل مصفوفات NumPy وأنواع البيانات المدعومة

تفرض مكتبة NumPy قيوداً صارمة على تمثيل القيم داخل مصفوفاتها المتجانسة (ndarray)، حيث يعتمد التخزين الفعال على تخصيص مقاطع متتالية في الذاكرة لنوع بيانات موحد (dtype). وتعد قيمة np.nan كائناً حسابياً يتبع حصرياً أنواع البيانات ذات الفاصلة العائمة (Floating-point Types)، وتحديداً التنسيقات القياسية مثل np.float32 و np.float64 و np.float16. يترتب على هذه الطبيعة الهندسية نتيجة بالغة الأهمية: لا يمكن لمصفوفات الأعداد الصحيحة القياسية (Integer Arrays)، مثل np.int32 أو np.int64، أن تستوعب قيمة np.nan على الإطلاق، نظراً لعدم وجود تمثيل ثنائي مخصص للقيمة غير العددية ضمن مساحة البتات المحددة للأعداد الصحيحة.

عند محاولة إسناد قيمة np.nan إلى مصفوفة أعداد صحيحة، يواجه المطور إما تحويلاً قسرياً للنوع (Upcasting) يحوّل كامل المصفوفة تلقائياً إلى نوع الفاصلة العائمة المناظر لضمان الاتساق الرياضي، أو ظهور أخطاء استثنائية من نوع ValueError في الإصدارات الحديثة الصارمة من بايثون ومكتبة NumPy. ومن ناحية أخرى، تتيح مصفوفات الكائنات العامة (Object Dtypes) تخزين مؤشرات تشير إلى كائنات بايثون المنفصلة، مما يسمح بوجود np.nan بجانب أي نوع آخر من البيانات. غير أن هذا النمط الأخير يفرغ مكتبة NumPy من ميزتها التنافسية الأساسية، إذ يتخلى عن كفاءة استخدام الذاكرة المتقاربة والعمليات المتجهة المحسنة، ويخفض سرعة المعالجة بمقدار رتبتين أو ثلاث رتب عددية مقارنة بالتعامل مع مصفوفات الفاصلة العائمة النقية المتجانسة بنيوياً.

1.3 أثر وجود قيم NaN على العمليات الإحصائية والحسابية التلقائية

تخضع العمليات الحسابية القياسية في NumPy لظاهرة تدعى “انتشار القيم غير العددية” (NaN Propagation). تعني هذه الظاهرة البنيوية أن دخول قيمة NaN واحدة في أي عملية حسابية بدائية، كالجمع، أو الطرح، أو الضرب، أو القسمة، سيؤدي حتماً إلى تحويل ناتج العملية بأكملها إلى NaN دون استثناء. فإذا جمعت ألف رقم حقيقي مع عنصر واحد مفقود عبر تعبير رياضي قياسي، فإن النتيجة النهائية ستكون مفقودة. ينبع هذا السلوك الرياضي من المبدأ المنطقي القائل بأن نتيجة دمج قيمة غير معلومة مع قيم معلومة تظل بالضرورة قيمة غير معلومة منطقياً.

يمتد هذا السلوك الصارم إلى الدوال التجميعية الإحصائية الكلاسيكية؛ فاستدعاء دالة المتوسط الحسابي np.mean()، أو الانحراف المعياري np.std()، أو المجموع التراكمي np.sum() على مصفوفة تحتوي على قيمة NaN واحدة سيعيد دائماً np.nan كنتيجة إجمالية. ولمواجهة ذلك، توفر NumPy مجموعة متخصصة من الدوال الآمنة التي تتجاهل القيم المفقودة تلقائياً، مثل np.nanmean() و np.nanstd() و np.nansum(). غير أن اللجوء الأعمى إلى هذه الدوال دون فحص أولي لطبيعة البيانات يمثل مجازفة تحليلية فادحة؛ إذ قد تُخفي هذه الدوال حقيقة أن نصف بيانات العينة غير موجود أصلاً. ومن هذا المنطلق، تنشأ الحاجة الحتمية والملحة لتنفيذ خطوة استكشافية استباقية تقوم على عدّ وحساب التكرار الدقيق لقيم NaN داخل المصفوفة، لتقييم مدى موثوقية المجموعة البيانية قبل الشروع في استخلاص النتائج الرياضية.

2. البنية الرياضية والمنطقية لقيم NaN في معيار IEEE 754 وتحديات مقارنتها

2.1 التوصيف التقني وفق معيار IEEE 754 للفاصلة العائمة

يحدد معيار IEEE 754 التقني كيفية تمثيل الأعداد ذات الفاصلة العائمة داخل عتاد المعالجات الدقيقة والبرمجيات عبر ثلاثة مكونات بنيوية رئيسية: خانة الإشارة (Sign Bit)، والمجال الأسي (Exponent)، ومجال الجزء الكسري أو المانتيسّا (Mantissa / Fraction). وفقاً لهذا المعيار الهندسي الصارم، تُعرّف الأرقام الاعتيادية بقيم أسية تقع ضمن نطاق محدد. أما الحالات الخاصة، مثل الصفر، واللانهاية، وNaN، فيتم تمثيلها بتوليفات ثنائية استثنائية تضمن تمييزها الفوري على مستوى الدوائر المنطقية للمعالج المركزي دون إبطاء العمليات الموجهة.

لكي تُعرّف قيمة ما بأنها NaN في دقة الفاصلة العائمة الثنائية ذات 64 بت (Double Precision)، يُشترط أن تكون جميع بتات المجال الأسي البالغ عددها 11 بتاً مضبوطة على القيمة المنطقية 1 (أي قيمة أقصى أس متاح)، بينما يحتوي مجال المانتيسّا المكون من 52 بتاً على قيمة غير صفرية بالضرورة. هذا الاختلاف الدقيق في بتات المانتيسّا يميز NaN عن اللانهاية الموجبة والسالبة (والتي تمتلك أساً مشبعاً بالواحدات ولكن بمانتيسّا صفرية تماماً). علاوة على ذلك، يقسم المعيار قيم NaN إلى نوعين: الصامتة (Quiet NaNs)، التي تسمح باستمرار العمليات وتنتشر عبر سلاسل الحساب دون مقاطعات، والإشارية (Signaling NaNs)، التي تُطلق تنبيهات عتادية ملموسة عند مواجهتها للإشارة إلى خروقات حسابية جسيمة تتطلب التدخل الفوري في النظم الحرجة.

2.2 مسألة عدم المساواة الذاتية وفشل عوامل المقارنة التقليدية

تقود الهندسة الرياضية لمعيار IEEE 754 إلى خاصية منطقية تبدو للوهلة الأولى منافية للبديهة البرمجية: “قيمة NaN لا تساوي أي قيمة أخرى، بما في ذلك نفسها”. على المستوى الرياضي والمنطقي، يعود التعبير البرمجي np.nan == np.nan دائماً بالقيمة البوليانية False. والسبب الهندسي في هذا التصميم يكمن في الحقيقة الإبستمولوجية للقيم غير المعرفة؛ فإذا كان لدينا ناتجان غير معرفين، كأحدهما ناتج عن قسمة 0 على 0، والآخر ناتج عن طرح اللانهاية من اللانهاية، فليس هناك أي مسوغ رياضي لافتراض تساويهما الكمي أو تماثلهما الموضعي في فضاء الأرقام.

يترتب على خاصية عدم المساواة الذاتية هذه (Non-reflexivity) فشل ذريع لأي محاولة تقليدية تهدف إلى حساب عدد العناصر المفقودة باستخدام معاملات المساواة الشرطية المباشرة. المبرمجون المبتدئون الذين يكتبون تعبيرات شائعة مثل array == np.nan يصطدمون بمصفوفة بوليانية تحتوي حصرياً على القيمة False عبر كامل امتدادها، حتى لو كانت المصفوفة بأكملها مملوءة بقيم NaN. هذا السلوك يمثل خطأً منطقياً صامتاً وخطيراً جداً، حيث لا يرمي المترجم البرمجي أي تنبيه أو خطأ تركيبي، مما يدفع المستخدم إلى الاعتقاد الخاطئ بأن مصفوفته نقية وخالية تماماً من البيانات المفقودة، بينما هي في الواقع تعج بالقيم المعدومة المشوهة.

2.3 الدور الوظيفي لدالة np.isnan في رصد القيم المفقودة منطقياً

لتجاوز مأزق عدم المساواة الذاتية، توفر مكتبة NumPy الدالة المعيارية المتخصصة np.isnan(). تعمل هذه الدالة كأداة تشخيصية منخفضة المستوى تفحص السجلات الثنائية للعناصر مباشرة بدلاً من الاعتماد على المقارنات المنطقية الكلاسيكية. بدلاً من سؤال المعالج عما إذا كانت القيمة مساوية لقيمة أخرى، فإنها تستفسر من خلال التعليمات الموجهة (SIMD) عما إذا كان النمط الثنائي للبتات يتطابق مع التعريف القياسي للرمز الحسابي غير العددي وفق معايير الحوسبة الدقيقة.

تستقبل دالة np.isnan() مصفوفة رقمية بأي شكل أو أبعاد، وتولد مصفوفة أقنعة بوليانية (Boolean Mask) مطابقة تماماً في الحجم والأبعاد للمصفوفة الأصلية المدخلة. في هذا القناع المنطقي المتولد، تُعيّن القيمة True حصرياً في المواقع الهندسية التي تحتوي على np.nan، بينما تُعيّن القيمة False في كافة المواضع الأخرى التي تحتوي على قيم عددية صالحة (بما يشمل الصفر والأعداد السالبة واللانهاية). تمثل هذه المصفوفة البوليانية الناتجة الأساس الرياضي والمنطقي الصلب الذي لا غنى عنه لتطبيق أي خوارزمية تجميعية لاحقة تهدف إلى إحصاء، أو عزل، أو معالجة القيم المفقودة باحترافية كاملة ودون أدنى ارتباك مفاهيمي.

3. الطريقة المعيارية: استخدام np.isnan مع np.count_nonzero

3.1 التركيب النحوي والمنطقي لدالة np.count_nonzero

تمثل دالة np.count_nonzero() الأداة البرمجية الأمثل والأسرع في مكتبة NumPy لحساب عدد العناصر التي لا تساوي الصفر داخل أي مصفوفة عددية أو مصفوفة حالات منطقية. تعتمد هذه الدالة في بنيتها الداخلية المكتوبة بلغة C على مسارات تنفيذية عالية التحسين تفحص مقاطع الذاكرة المتتالية بكفاءة استثنائية عبر تجاوز الفحوصات الشرطية المعقدة في بايثون. إن التركيب النحوي للدالة مرن للغاية؛ حيث تستقبل المصفوفة المستهدفة كمعامل إلزامي أول، وتتيح معاملات اختيارية لتحديد محور الحساب (axis) والاحتفاظ بالأبعاد الأصلية (keepdims)، مما يجعلها قابلة للتكيف مع مختلف الأشكال الهندسية المعقدة للبيانات.

عندما تُمرر مصفوفة بوليانية إلى دالة np.count_nonzero()، فإنها تطبق قاعدة منطقية بسيطة وثابتة في النظم الرقمية: القيمة المنطقية True تُعامل رياضياً كقيمة غير صفرية (مكافئة للعدد الصحيح 1)، بينما تُعامل القيمة False كقيمة صفرية صريحة. وبالتالي، فإن الدالة تقوم بمسح سريع للقناع البولياني، وتُحصي عدد المرات التي ظهرت فيها القيمة True، وتتجاهل كافة القيم الصفرية الأخرى، لتعيد في نهاية المطاف عدداً صحيحاً مفرداً يمثل التعداد الدقيق للعناصر التي حققت الشرط المنطقي المطلوب دون إهدار لدورات المعالجة المركزية الثمينة.

3.2 آلية عمل الجمع بين np.isnan و np.count_nonzero خطوة بخطوة

يمثل الجمع التركيبي بين الدالتين np.isnan() و np.count_nonzero() الأسلوب المعياري الذهبي المعتمد رسمياً في مجتمع علوم البيانات والتطوير المالي عالي الأداء لحساب عدد عناصر NaN. تسير هذه العملية التكاملية وفق تدفق منطقي متسلسل ومدروس بعناية بالغة يضمن الحفاظ التام على سلامة المصفوفة الأصلية دون المساس بمحتواها أو استهلاك موارد النظام بشكل غير مبرر:

• الخطوة الأولى: الفحص البتي وتوليد القناع: تمرر المصفوفة الرقمية المستهدفة إلى الدالة الداخلية np.isnan()، حيث يتم إجراء فحص متوازي فائق السرعة لجميع العناصر، وينتج عن ذلك مصفوفة بوليانية متماثلة في الأبعاد، تحمل القيمة True فقط في إحداثيات القيم المفقودة.
• الخطوة الثانية: التمرير للعد المنطقي: تُمرر مصفوفة الأقنعة الناتجة مباشرة إلى دالة np.count_nonzero() كمدخل صريح، دون الحاجة إلى تخزينها في متغير وسيط دائم إذا لم يكن هناك استخدام تحليلي لاحق لها.
• الخطوة الثالثة: الإحصاء التراكمي في نواة C: تقوم النواة التحتية لدالة العد بمسح المتجه البولياني على مستوى الذاكرة الفيزيائية المتجاورة، وحساب التكرارات الحقيقية عبر مسجلات المعالج المتجهة، ومن ثم إرجاع ناتج عددي مفرد يعبر بدقة متناهية عن عدد قيم NaN.
• الخطوة الرابعة: التحرير الفوري للموارد: في حال عدم إسناد القناع البولياني إلى متغير صريح، يقوم جامع القمامة (Garbage Collector) في لغة بايثون بتحرير كتلة الذاكرة المؤقتة المخصصة للقناع فور انتهاء استدعاء الدالة، مما يحافظ على نظافة الذاكرة العشوائية.

3.3 تطبيق عملي مفصل على مصفوفة أحادية البعد وتدقيق المخرجات

لتجسيد هذا المفهوم بصورة تطبيقية دقيقة، لنفترض وجود مصفوفة أحادية البعد تمثل سلسلة زمنية لقراءات درجات حرارة أخذت من مستشعر بيئي، حيث تخللت هذه القراءات فترات انقطاع متفرقة تسببت في توليد قيم NaN متعددة في مواضع مختلفة ومتباعدة. يمكن صياغة هذا السيناريو عبر مصفوفة عددية تحتوي على قيم حقيقية متفرقة وقيم مفقودة، ثم تطبيق الشيفرة البرمجية القياسية المباشرة للحساب:

nan_count = np.count_nonzero(np.isnan(temperature_readings))

عند التدقيق في ناتج هذا التنفيذ، نجد توافقاً رياضياً مطلقاً بين الفحص البصري الدقيق لمواقع القيم المفقودة في المصفوفة التجريبية والناتج الإحصائي المستخرج بواسطة الدالة المعيارية. يتميز هذا الإجراء بسرعة استجابة لحظية لا تتجاوز بضعة ميكروثوانٍ حتى مع احتواء المصفوفة على مئات الآلاف من العناصر. علاوة على ذلك، فإن التحليل المتأني لبيئة التشغيل يثبت أن المصفوفة الأصلية تحتفظ بترتيبها المكاني ونوع بياناتها (float64) دون أن يطرأ عليها أدنى تعديل سطحي أو بنيوي، مما يمنح المطور ثقة مطلقة في اعتماد هذا النمط داخل مسارات المعالجة الإنتاجية الحرجة والأنظمة المؤتمتة.

4. الطريقة البديلة: استخدام الجمع البولياني np.sum مع np.isnan

4.1 استغلال التحويل الضمني للقيم البوليانية إلى أرقام صحيحة

تستند الطريقة البديلة الشائعة لحساب عدد قيم NaN إلى مبدأ رياضي وبرمجي متأصل في لغات الحوسبة يسمى “التحويل الضمني للأنواع” (Implicit Type Casting أو Type Coercion). في لغة بايثون ونواة مكتبة NumPy الرياضية، ترث الفئة البوليانية خصائصها من فئة الأعداد الصحيحة؛ حيث يُعامل الثابت المنطقي True بدقة بوصفه مكافئاً للرقم الصحيح 1، في حين يُعامل الثابت المنطقي False بوصفه مكافئاً للرقم الصحيح 0. هذا الترابط المنطقي يفتح الباب أمام تطبيق العمليات الحسابية القياسية، وفي مقدمتها عملية الجمع التراكمي، على مصفوفات الأقنعة الشرطية.

عند استخدام الدالة العامة np.sum() وتمرير مصفوفة ناتجة عن فحص منطقي إليها، فإن الدالة لا تبحث عن قيم غير صفرية بمعناها الشكلي، بل تقوم حرفياً بإجراء عملية جمع حسابي جبري لجميع عناصر المصفوفة بعد تحويلها ذهنياً وحسابياً إلى سلسلة من الواحدات والأصفار. وبما أن كل قيمة صالحة تم تمثيلها بـ 0، وكل قيمة مفقودة (NaN) تحولت إلى True وبالتالي أصبحت 1، فإن ناتج المجموع الجبري الكلي يتطابق رياضياً وبصورة حتمية مع التعداد الإجمالي لعدد المرات التي تحقق فيها الشرط، أي إجمالي عدد قيم NaN الموجودة في العينة المستهدفة.

4.2 تطبيق الصيغة البرمجية ومطابقة المخرجات مع الطريقة المعيارية

تتمثل الصياغة البرمجية لهذا النهج البديل في كتابة التعبير التركيبي البسيط والمباشر:

nan_count = np.sum(np.isnan(my_array))

يمتاز هذا التعبير بجاذبية دلالية كبيرة لدى قطاع واسع من المبرمجين ومحللي البيانات، نظراً لأن كلمة “جمع” تبدو أكثر ألفة وبديهية في القراءة الشفهية للكود من مصطلح “عد غير الصفري”. عند تشغيل هذه الشيفرة على أي مجموعة بيانية متجانسة ومقارنة مخرجاتها بمخرجات الدالة المعيارية np.count_nonzero()، يلاحظ المطور تطابقاً تاماً في النتائج العددية؛ فكلا الأسلوبين يصلان إلى نفس الحقيقة الحسابية بدقة متناهية.

ومع ذلك، ينبغي على المطورين توخي الحذر عند استخدام دالة الجمع مع مصفوفات ضخمة جداً، والتأكد من استقرار نوع البيانات الناتج (Dtype Stability). ففي بعض بيئات المعالجة المتخصصة أو مع مصفوفات مخصصة تتبع قيوداً محددة، قد يؤدي تجميع ملايين القيم البوليانية الممثلة بنوع أعداد صحيحة صغيرة إلى حدوث طفح رقمي (Integer Overflow) إذا لم يتم الترقية التلقائية لحجم المتغير التراكمي إلى int64. لحسن الحظ، تتعامل دالة np.sum() في بيئات الحوسبة الحديثة بذكاء مع هذا السيناريو من خلال ترقية نوع البيانات المتراكمة افتراضياً لمنع حدوث أي طفح، مما يضمن دقة النتائج الرياضية النهائية وتطابقها الكامل مع الطريقة المعيارية في الظروف التشغيلية الاعتيادية.

4.3 مقارنة دقيقة بين كفاءة np.count_nonzero و np.sum

على الرغم من التكافؤ الرياضي الواضح في المخرجات، إلا أن الفحص الهندسي العميق لأداء المعالج المركزي يكشف عن فروق جوهرية في الكفاءة بين الدالتين. صُممت دالة np.count_nonzero() منذ البداية لغرض واحد ومحدد: حساب العناصر التي تتجاوز الصفر؛ ولهذا فإن خوارزميتها التحتية المكتوبة بلغة C تتضمن حلقة معالجة فائقة البساطة تعتمد على زيادة عداد داخلي فقط عند مواجهة القيمة 1 دون الحاجة إلى تطبيق قواعد التجميع الحسابي الموسعة، أو تخصيص وسائط تخزين للأرقام الحسابية، أو مراقبة قواعد التقريب والطفح الرقمي.

في المقابل، فإن دالة np.sum() هي دالة اختزال جبري عامة (General Reduction Operation) أثقل وزناً من الناحية البرمجية، إذ صُممت لتتعامل مع كافة التعقيدات الرياضية للأعداد العشرية والصحيحة، بما يشمل حساب الفواصل العائمة، وتطبيق تقنيات تقليل أخطاء التقريب مثل خوارزمية بايرو-كاهان (Kahan Summation). هذا العبء الوظيفي الزائد يعني أن دالة np.sum() تستهلك دورات معالج إضافية (CPU Cycles) لإنجاز نفس المهمة التي تنجزها np.count_nonzero() بمسار تنفيذي مختصر. تشير القياسات المرجعية للأداء إلى أن np.count_nonzero تتفوق في السرعة بنسبة تتراوح بين 15% إلى 40% على np.sum عند التعامل مع مصفوفات كبرى، مما يجعل استخدام np.count_nonzero هو الخيار الموصى به برمجياً وهندسياً في بيئات العمل الحساسة لعامل الزمن.

5. حساب العناصر غير المساوية لـ NaN والتحقق من الاتساق الحسابي

5.1 صياغة شرط النفي باستخدام المعاملات المنطقية

في العديد من سيناريوهات التحليل الإحصائي وتنظيف البيانات، لا تقتصر حاجة الباحث على معرفة عدد الفجوات الرقمية المفقودة، بل يحتاج بصورة موازية إلى تحديد التعداد الدقيق للبيانات الصالحة والمكتملة فعلياً داخل المصفوفة لتقييم كفاية العينة المدروسة. وبما أن مكتبة NumPy لا توفر دالة صريحة تسمى np.isnotnan()، فإن الأسلوب الهندسي المتبع يعتمد على استخدام معاملات النفي المنطقي لعكس مصفوفة الأقنعة البوليانية الناتجة عن np.isnan() بدقة وسرعة متناهية.

يتحقق هذا النفي في بيئة بايثون عبر أسلوبين رئيسيين: الأسلوب الأول والأكثر شيوعاً هو استخدام عامل النفي البتي (Bitwise Inversion Operator) والمتمثل في رمز المدة ~. فعند كتابة التعبير التركيبي ~np.isnan(my_array)، يقوم المعالج بقلب كل قيمة True في القناع إلى False، وكل قيمة False إلى True، مما ينتج قناعاً يعبر حصرياً عن القيم الصالحة عددياً. أما الأسلوب الثاني، فيعتمد على استدعاء الدالة الصريحة الموجهة np.logical_not(np.isnan(my_array))، والتي تقدم أداءً مكافئاً تماماً ولكن بصياغة مقروءة وواضحة جداً للمطورين الذين يفضلون الصراحة النحوية وتجنب الرموز الفردية التي قد تلتبس على المبتدئين في صيانة الشيفرات الطويلة.

عند تمرير هذا القناع المعكوس إلى دالة العد غير الصفري وفق التركيب:

valid_elements_count = np.count_nonzero(~np.isnan(my_array))

نحصل فوراً على العدد الإجمالي للقيم الصالحة. والجدير بالذكر هنا أن هذا الشرط المعكوس يعتبر القيم اللانهائية مثل np.inf و -np.inf قيماً صالحة؛ لأن اللانهاية وفق معيار IEEE 754 هي قيمة عددية خاصة محددة وليست قيمة مفقودة (NaN). فإذا رغب الباحث في استبعاد القيم اللانهائية بالتزامن مع استبعاد NaN، فعليه استخدام دالة الفحص المركبة الشاملة np.isfinite()، والتي لا تعيد True إلا للقيم العددية الحقيقية المنتهية والصالحة فقط، مما يعكس مرونة النظام المنطقي لمكتبة NumPy.

5.2 حساب معدلات اكتمال البيانات ونسبة التكرار المئوية

يمثل التحول من الحساب الكمي المطلق إلى التقييم النسبي خطوة بالغة الأهمية في مجال استكشاف البيانات (Exploratory Data Analysis)؛ حيث إن معرفة أن المصفوفة تحتوي على ألف قيمة NaN لا تعطي دلالة كافية ما لم تُنسب إلى الحجم الكلي للمصفوفة؛ فإذا كانت المصفوفة تحتوي على ألف عنصر فقط فإنها بيانات تالفة كلياً، أما إذا كانت جزءاً من مصفوفة تتضمن مليار عنصر، فإنها تعتبر عينة نقية ومكتملة بدرجة ممتازة. توفر مصفوفات NumPy خاصية مضمنة فائقة السرعة تُدعى my_array.size، والتي تعيد التعداد الإجمالي لكافة العناصر داخل المصفوفة بصرف النظر عن أبعادها الهندسية.

لحساب النسبة المئوية للمفقودات ومعدل اكتمال البيانات رياضياً، يمكن دمج هذه المؤشرات البرمجية داخل معادلة مباشرة بسيطة ودقيقة:

total_elements = my_array.size
nan_count = np.count_nonzero(np.isnan(my_array))
nan_percentage = (nan_count / total_elements) * 100.0
completeness_rate = 100.0 - nan_percentage

تُعد صياغة مثل هذه المعادلات مؤشراً نوعياً أساسياً في خطوط تدفق البيانات (Data Pipelines)، حيث تُبنى عليها شروط التوقف والإنذار المبكر في بيئات الحوسبة السحابية؛ فإذا تجاوزت نسبة nan_percentage عتبة حرجة محددة مسبقاً (ولتكن 15% مثلاً)، يتوقف تدفق المعالجة آلياً ليرسل إشعاراً لمهندسي النظام بأن جودة البيانات الواردة قد تدهورت، مما يحول دون تدريب نماذج الذكاء الاصطناعي على بيانات مشوهة تؤدي إلى ظاهرة الانحياز التحليلي وفقدان الدقة التنبؤية.

5.3 التحقق من الاتساق الحسابي الإجمالي للمصفوفة

في إطار الممارسات الأكاديمية والبرمجية الرصينة، يجب ألا تعتمد الأنظمة الحسابية الحساسة على افتراضات نظرية دون تطبيق فحوص الاتساق الذاتي (Self-consistency Checks). يستند التحقق من الاتساق الرياضي لمصفوفات البيانات إلى بديهية منطقية واضحة: يجب أن يكون المجموع الجبري للعناصر المفقودة والعناصر غير المفقودة مساوياً تماماً للحجم الكلي الإجمالي للمصفوفة. أي شذوذ عن هذه القاعدة الرياضية يشير حتماً إلى وجود خلل بنيوي، مثل تداخل أنواع بيانات غير متوافقة، أو حدوث طفح رقمي خفي، أو تعديل غير متزامن للمصفوفة عبر خيوط معالجة متعددة (Race Conditions).

يمكن تضمين هذا التحقق داخل خط المعالجة عبر صياغة عبارات التأكيد الصارمة (Assertion Statements) التي توقف التنفيذ فوراً وتطلق استثناءً صريحاً في حال حدوث أي عدم اتساق رقمي:

assert nan_count + valid_elements_count == my_array.size, "خطأ فادح: عدم اتساق في الحسابات التراكمية للمصفوفة"

إن إدراج مثل هذه الفحوص الدفاعية في الكود يضمن سلامة المعالجة أثناء مرحلة التدقيق الهندسي، ويمنح الأبحاث العلمية المنشورة موثوقية عالية تضمن إمكانية تكرار التجربة والتحقق من صحتها الحسابية في أي بيئة معمارية دون مفاجآت تقنية غير متوقعة.

6. التعامل مع المصفوفات متعددة الأبعاد وتحديد المحاور الحسابية

6.1 تطبيق العد الشامل على المصفوفات ثنائية وثلاثية الأبعاد

تتعامل مكتبة NumPy مع البيانات في صورة هياكل هندسية متعددة الأبعاد تُعرف بالموترات (Tensors) أو المصفوفات ذات الرتب المتعددة (2D, 3D, ND). وتمثل هذه المصفوفات المعقدة تمثيلاً بنيوياً لجداول البيانات الضخمة، أو مصفوفات الإشارات الزمنية متعددة القنوات، أو معالجة الصور الرقمية ومقاطع الفيديو متعددة الأطر الحجمية. عند مواجهة مصفوفة متعددة الأبعاد تحتوي على قيم NaN متناثرة، قد يكون المطلب الأولي لمهندس النظم هو الحصول على تعداد إجمالي واحد وشامل لكافة القيم المفقودة الموزعة عبر كامل الكتلة الحسابية.

تتميز دالتا np.isnan() و np.count_nonzero() بسلوك افتراضي متكامل يحقق هذا المطلب بسهولة فائقة؛ حيث تقوم دالة الفحص بتوليد قناع بولياني يحتفظ بنفس الرتبة والأبعاد الأصلية للمصفوفة، وعند تمريره إلى دالة العد دون تحديد أي محاور فرعية، تفترض دالة np.count_nonzero() تلقائياً تسطيحاً منطقياً شاملاً (Global Flattening) لكامل أبعاد المصفوفة. الميزة الهندسية العظيمة هنا هي أن هذا التسطيح يتم عبر التكرار المباشر فوق مؤشرات الذاكرة المتجاورة (Contiguous Memory Buffers) دون إنشاء نسخة مسطحة إضافية من المصفوفة في الذاكرة العشوائية، مما يحفظ موارد النظام من الهدر ويحقق أعلى كفاءة زمنية ممكنة في استخراج التعداد الشامل.

6.2 استخدام معامل المحور (axis) للعد عبر الصفوف والأعمدة

في معظم التطبيقات الإحصائية والتحليلية المتقدمة، لا يكفي معرفة التعداد الكلي للقيم المفقودة، بل يتطلب العمل التحليلي فهماً عميقاً للتوزيع المكاني أو الهيكلي لهذه الفجوات. على سبيل المثال، في مصفوفة ثنائية الأبعاد تمثل جدولاً للبيانات السريرية، يمثل المحور الأول (الصفوف) المرضى الأفراد، بينما يمثل المحور الثاني (الأعمدة) الفحوصات الطبية المختلفة. تتيح مكتبة NumPy تخصيص هذا الحساب من خلال المعامل الإستراتيجي axis، والذي يحدد الاتجاه الهندسي الذي ستتم على امتداده عملية الاختزال المنطقي.

عند ضبط المعامل على axis=0 في مصفوفة ثنائية الأبعاد وفق الصياغة:

col_nans = np.count_nonzero(np.isnan(matrix_2d), axis=0)

تقوم الدالة بتنفيذ عملية الحساب رأسياً عبر الصفوف، لتعيد مصفوفة أحادية البعد يحتوي كل عنصر فيها على عدد قيم NaN الموجودة في كل “عمود” أو متغير طبي على حدة. يساعد هذا الإجراء الباحث في اكتشاف الفحوصات المخبرية التي تعاني من نقص فادح في التسجيل عبر عموم العينة لدراسة إمكانية إسقاط المتغير بأكمله. أما إذا تم ضبط المعامل على axis=1:

row_nans = np.count_nonzero(np.isnan(matrix_2d), axis=1)

فإن الاختزال يتم أفقياً عبر الأعمدة، لتعيد الدالة مصفوفة أحادية تمثل عدد القيم المفقودة في سجل كل “مريض” أو صف مستقل. يمكن استخدام هذا المخرج لتحديد الأفراد الذين لم يستوفوا الحد الأدنى من الفحوصات المطلوبة واستبعادهم تلقائياً من الدراسة. ويمتد هذا المفهوم بسلاسة إلى الفضاءات ثلاثية ورباعية الأبعاد، حيث يمكن تمرير أزواج أو مجموعات محاور في صورة صفوف تركيبية (Tuples)، مثل axis=(1, 2)، لإجراء اختزال مركب عبر أبعاد محددة مع الاحتفاظ بالأبعاد الأخرى حرة للتحليل التفصيلي المقارن.

6.3 إدارة الأبعاد والاحتفاظ بالهيكلية المكانية باستخدام keepdims

عند إجراء عمليات الاختزال عبر المحاور في مصفوفات NumPy، يؤدي السلوك الافتراضي إلى حذف أو “طي” المحور الذي تمت المعالجة على امتداده، مما يؤدي إلى خفض رتبة المصفوفة الناتجة بمقدار بُعد واحد (مثلاً، تتحول المصفوفة ثنائية الأبعاد ذات الشكل (M, N) إلى مصفوفة أحادية ذات الشكل (N,) عند تطبيق الاختزال عبر axis=0). وعلى الرغم من أن هذا السلوك يبدو بديهياً لعرض النتائج، إلا أنه قد يخلق مشاكل برمجية معقدة عند محاولة استخدام المصفوفة الناتجة في عمليات حسابية لاحقة مع المصفوفة الأصلية بسبب قيود قواعد البث المتجه (Vector Broadcasting Rules).

لحل هذه المعضلة الهندسية، تدعم دالة np.count_nonzero() المعامل المنطقي البالغ الأهمية keepdims=True. عند تفعيل هذا المعامل، تجري الدالة عملية العد عبر المحور المحدد بنفس الكفاءة التامة، ولكنها تحتفظ بالمحور المستهدف في مصفوفة النتائج بطول وحدة واحدة 1 بدلاً من إسقاطه بالكامل. فإذا كانت المصفوفة الأصلية ثنائية الأبعاد بشكل (M, N) وطبقنا العد عبر axis=0 مع keepdims=True، فإن شكل المصفوفة الناتجة سيكون (1, N). يضمن هذا التوافق الشكلي إمكانية بث نتائج العد، واستخدامها الفوري كأقنعة تطبيع، أو فلاتر نسبية مباشرة فوق المصفوفة الأصلية دون الحاجة إلى كتابة عمليات إعادة تشكيل يدوي معقدة ومعرضة للأخطاء النحوية مثل استدعاء reshape() أو استخدام np.newaxis.

7. قياس الأداء والكفاءة الحاسوبية لمختلف طرق حساب NaN في المصفوفات الضخمة

7.1 منهجية القياس الزمني الدقيق باستخدام أداة timeit

في سياق معالجة البيانات فائقة الضخامة (Big Data) وبيئات الحوسبة عالية الأداء، لا تعد الفروق الطفيفة في سرعة تنفيذ الدوال مجرد تفاصيل تقنية ثانوية، بل قد تشكل الفارق الفاصل بين نموذج يعمل في الزمن الحقيقي ونموذج ينهار تحت وطأة التأخير الحسابي. لإجراء تقييم أكاديمي دقيق وموثوق للمفاضلة بين دالتي np.count_nonzero و np.sum مقترنتين بدالة np.isnan، نعتمد على وحدة القياس المعيارية في بايثون timeit، والتي تقوم بتكرار الشيفرة المستهدفة لآلاف المرات تحت بيئة اختبار موحدة، مع تعطيل جامع القمامة مؤقتاً لعزل المؤثرات العشوائية لنظام التشغيل وحساب المتوسط الزمني والانحراف بدقة الميكروثانية.

عند بناء بيئة اختبار تجريبية تحتوي على مصفوفة أحادية الأبعاد مؤلفة من عشرة ملايين عنصر عائم (10,000,000 floats) مع غرس عشوائي لقيم NaN بنسبة 5% موزعة عبر كامل الذاكرة، تُظهر نتائج القياسات الزمنية المكررة نمطاً ثابتاً: تستغرق توليفة np.count_nonzero(np.isnan(data)) زمناً تشغيلياً يقل بصورة ملحوظة مقارنة بتوليفة np.sum(np.isnan(data)). يرجع هذا التباين الزمني إلى التعقيد الحسابي الداخلي؛ فبينما يمتلك كلا الحلين تعقيداً زمنياً نظرياً من رتبة $O(N)$، إلا أن المعامل العددي الثابت المضروب في التعقيد الخوارزمي يكون أصغر بكثير في حالة count_nonzero بسبب قصر المسار الحسابي في تجميع البتات في مكتبة C الداخلية لـ NumPy.

7.2 تحليل استهلاك الذاكرة العشوائية وتخصيص المصفوفات المؤقتة

تتمثل نقطة الضعف الهندسية الكبرى في التركيب التقليدي np.count_nonzero(np.isnan(data)) في مسألة إدارة استهلاك الذاكرة العشوائية (RAM Allocations). عند استدعاء np.isnan(data) على مصفوفة عملاقة تحتوي على 100 مليون عنصر عائم بدقة 64 بت (والتي تستهلك بمفردها قرابة 800 ميجابايت من الذاكرة)، فإن الدالة تُجبر نظام التشغيل على تخصيص مصفوفة جديدة كلياً للأقنعة البوليانية بحجم 100 مليون بايت (حيث يستهلك كل عنصر بولياني في NumPy بايتاً كاملاً لتمثيله بدلاً من بت واحد لتسهيل عنونة الذاكرة السريعة).

هذا التخصيص المفاجئ لمصفوفة مؤقتة بحجم 100 ميجابايت إضافية يؤدي إلى إجهاد الذاكرة العشوائية، وقد يتسبب في انهيار البرامج على الخوادم ذات الموارد المحدودة عبر أخطاء MemoryError. علاوة على ذلك، يؤثر هذا التخصيص السلبي على الأداء الزمني عبر ظاهرة “إفساد الذاكرة المخبأة للمعالج” (CPU Cache Invalidation)؛ فالمعالج يُجبر على قراءة المصفوفة الأصلية وكتابة المصفوفة البوليانية في الذاكرة الرئيسة البطيئة نسبياً، ثم إعادة قراءة المصفوفة البوليانية مرة أخرى بواسطة دالة العد، بدلاً من إبقاء البيانات الحيوية محصورة داخل الذواكر المخبأة فائقة السرعة من الفئتين L1 و L2 القريبتين من أنوية التنفيذ.

7.3 استراتيجيات التسريع للمصفوفات العملاقة والحوسبة المتوازية

لتجاوز معضلة تخصيص المصفوفات المؤقتة وتسريع الأداء للمصفوفات التي تفوق حدود الذاكرة المخبأة، يمكن لمهندسي النظم اللجوء إلى تقنيات التجميع في الزمن الحقيقي (Just-In-Time Compilation) باستخدام مكتبة Numba. تتيح أداة Numba للمطورين كتابة حلقة تكرارية تقليدية بلغة بايثون وتزيينها بالمحدد @numba.njit(parallel=True)، مما يوجه المترجم إلى تحويل الشيفرة إلى كود آلة مجمع مباشرة فائق السرعة عبر بنية LLVM التحتية.

تتميز الدالة المجمعة بواسطة Numba بتطبيق تقنية “دمج العمليات الحسابية” (Kernel Fusion)؛ حيث يقوم خيط المعالجة بقراءة عنصر الفاصلة العائمة من الذاكرة، والتحقق المباشر من كونه NaN عبر فحص البتات، وزيادة المتغير التراكمي الموضعي فوراً دون كتابة أي مصفوفة بوليانية وسيطة في الذاكرة العشوائية على الإطلاق. يقلل هذا الأسلوب استهلاك الذاكرة الإضافية إلى الصفر تماماً ($O(1)$ Auxiliary Space)، ويضاعف سرعة التنفيذ بمقدار 3 إلى 5 أضعاف مقارنة بدوال NumPy المعيارية بفضل الاستفادة القصوى من الذاكرة المخبأة وتوزيع الحمل عبر كافة الأنوية الفيزيائية للمعالج المركزي.

وفي سيناريوهات الحوسبة الفائقة، يمكن نقل مصفوفات البيانات الكبرى مباشرة إلى وحدات المعالجة الرسومية (GPUs) عبر استخدام مكتبات متوافقة تماماً مع معايير واجهات برمجة NumPy مثل مكتبة CuPy. عند كتابة نفس التعبير البرمجي المعياري cp.count_nonzero(cp.isnan(gpu_array))، يتم تنفيذ عملية الفحص والعد عبر آلاف الأنوية المتوازية في المعالج الرسومي في أجزاء من المللي ثانية لمصفوفات تحتوي على مليارات العناصر، مما يمثل الذروة القصوى للأداء الحسابي في تنظيف البيانات الرقمية الضخمة.

8. الأخطاء الشائعة والمفاهيم الخاطئة عند محاولة عد قيم NaN

8.1 خطأ المقارنة المباشرة وتوليد نتائج مضللة بصمت

يحتل خطأ استخدام عوامل المقارنة المباشرة مثل == الصدارة المطلقة في قائمة الأخطاء المنطقية الشائعة التي يقع فيها المبرمجون عند التعامل مع القيم المفقودة في NumPy. يتمثل النمط الكارثي الأكثر شيوعاً في صياغة عبارات برمجية تبدو صحيحة ظاهرياً مثل:

incorrect_count = np.count_nonzero(my_array == np.nan)
أو كتابة شرط الفهرسة:
nans = my_array[my_array == np.nan]

تكمن خطورة هذا النمط البرمجي في كونه لا يُطلق أي استثناء تركيبي ولا يعطل مسار تنفيذ البرنامج (Silent Failure)؛ بل يقبله المفسر كصياغة صحيحة تماماً ويعيد القيمة 0 لعدد العناصر المفقودة، ومصفوفة فارغة للفهرسة المكانية. والسبب في ذلك هو ما تم تفصيله سابقاً حول معيار IEEE 754؛ فبما أن المقارنة np.nan == np.nan تقيّم دائماً بـ False، فإن التعبير my_array == np.nan ينتج مصفوفة بوليانية مملوءة بالكامل بالقيم الخاطئة False. هذا الفشل الصامت يقود إلى استنتاجات كارثية في النظم الطبية أو المالية، حيث يفترض النظام الأوتوماتيكي خلو السجلات من الفجوات، ويواصل إجراء العمليات الحسابية متجاهلاً وجود عناصر تالفة تنتشر مفسدة كل الحسابات الإحصائية التراكمية اللاحقة دون أي أثر تنبيهي في السجلات التشغيلية.

8.2 مشكلات تداخل أنواع البيانات وغياب دعم NaN في المصفوفات الصحيحة

ينشأ خطأ شائع آخر عند محاولة استيراد أو دمج بيانات تحتوي على قيم مفقودة داخل مصفوفات مخصصة لحفظ الأعداد الصحيحة (Integers). فإذا قام المطور بتهيئة مصفوفة من النوع np.int32 ثم حاول استبدال بعض قيمها بالرمز np.nan أو حساب العناصر غير المتوفرة فيها بعد تعبئتها من ملف نصي، يواجه النظام قيوداً هيكلية حتمية؛ إذ لا تمتلك بنية الأعداد الصحيحة تمثيلاً خاصاً لقيم الفاصلة العائمة الشاذة.

في إصدارات NumPy السابقة، كانت محاولة إسناد np.nan لمصفوفة أعداد صحيحة تؤدي إلى عواقب مشوهة عبر التحويل القسري للرمز وتحويله إلى أرقام صحيحة سالبة عشوائية وغير منطقية للغاية (مثل تحويل NaN إلى أقصى رقم سالب يتيحه النظام -2147483648). أما في الإصدارات الحديثة، فقد أصبحت المكتبة تفرض حماية صارمة وترمي استثناءً من نوع ValueError: cannot convert float NaN to integer. ولتفادي هذا الخطأ، يجب على المطور فحص نوع بيانات المصفوفة مسبقاً، وإجراء تحويل صريح للمصفوفة المستهدفة إلى نوع الأعداد ذات الفاصلة العائمة باستخدام my_array.astype(np.float64) قبل استدعاء أدوات إحصاء وحساب قيم NaN لضمان التوافق البنيوي الكامل.

8.3 الخلط بين كائن None وقيم np.nan في مصفوفات الكائنات

يخلط العديد من المبرمجين القادمين من بيئات بايثون العامة بين الكائن الفطري المنعدم None والرمز الحسابي np.nan المعتمد في NumPy. على الرغم من أن كلا الرمزين يعبران عن مفهوم الغياب في السياق الدلالي العام، إلا أن البنية التقنية لكل منهما مختلفة كلياً؛ فـ None هو كائن منفرد يتبع فئة NoneType في نواة لغة بايثون، بينما np.nan هو قيمة حسابية تتبع فئة الأعداد العائمة (float).

عند احتواء مصفوفة ما على نوع بيانات الكائنات العامة object dtype وتضمنها مزيجاً عشوائياً من كائنات None وقيم np.nan، فإن استدعاء دالة الفحص المعيارية np.isnan() على هذه المصفوفة قد يفشل بشكل دراماتيكي مسبباً استثناءً من نوع TypeError: ufunc 'isnan' not supported for the input types، لأن دالة الفحص الرياضية صُممت للتعامل مع المتجهات الرقمية ولا تعرف كيفية فحص البتات الثنائية لكائنات بايثون العامة. لحل هذه المعضلة الحسابية في المصفوفات ذات البيانات المتباينة، يتوجب على المطور صياغة فحص شرطي مركب يجمع بين المعالجة الكائنية والعددية، عبر تحويل المصفوفة أو استخدام دالة مساعدة متوافقة مثل pd.isna() الخاصة بمكتبة Pandas أو كتابة دالة فحص مخصصة تستخدم أسلوب الفهم الحصري (List Comprehension) للتعامل مع الكائنات الفردية قبل محاولة الحساب والتجميع الإحصائي.

9. تقنيات متقدمة: الأقنعة البوليانية وتحديد الفهارس المكانية للقيم المفقودة

9.1 استخراج مواقع وفهارس قيم NaN باستخدام np.where و np.nonzero

في العديد من سيناريوهات التدقيق الجنائي للبيانات، لا تتوقف حاجة المطور عند مجرد معرفة “كم” قيمة مفقودة توجد في المصفوفة، بل يحتاج بصورة ملحة إلى معرفة “أين” تقع هذه القيم بالتحديد لعزل السجلات التالفة أو مراجعة المستشعرات المسؤولة عن تسجيلها جغرافياً أو زمنياً. توفر مكتبة NumPy أداتين رئيسيتين لتحويل القناع البولياني الناتج عن np.isnan() إلى فهارس مكانية صريحة: دالة np.where() ودالة np.nonzero() المتطابقتين وظيفياً في هذا السياق.

عند تمرير قناع الفحص المنطقي إلى دالة المواقع وفق الصياغة المعيارية:

nan_indices = np.where(np.isnan(my_array))

تُرجع الدالة صفاً مركباً (Tuple) من مصفوفات الأعداد الصحيحة، حيث يمثل كل عنصر في الصف بُعداً من أبعاد المصفوفة المدخلة. في المصفوفة ثنائية الأبعاد مثلاً، يحتوي العنصر الأول على فهارس الصفوف لجميع قيم NaN، بينما يحتوي العنصر الثاني على فهارس الأعمدة المناظرة لتلك القيم بالترتيب الدقيق. ويمكن دمج هذين البعدين في إحداثيات مكانية متناسقة عبر استخدام دالة الربط العمودي np.column_stack(nan_indices) للحصول على جدول إحداثيات يوضح بدقة متناهية المواقع المكانية لجميع البيانات المفقودة، مما يسهل عمليات التوثيق والأرشفة البرمجية في قواعد البيانات التشغيلية.

9.2 الفهرسة المنطقية واستبدال القيم المفقودة (Imputation)

يمثل استخراج القناع البولياني للقيم المفقودة ركيزة الانطلاق الأساسية لتطبيق تقنيات “الاستبدال الإحصائي للبيانات” (Data Imputation)، وهي خطوة أساسية في إعداد البيانات لتدريب خوارزميات التعلم الآلي التي لا تقبل مدخلات غير عددية. تتيح مكتبة NumPy ما يُعرف بـ “الفهرسة البوليانية” (Boolean Mask Indexing)، والتي تمكّن المطور من تعديل وتحديث العناصر التي حققت الشرط المنطقي مباشرة في موضعها الأصلي دون المساس ببقية عناصر المصفوفة.

لتطبيق استبدال علمي سليم للبيانات، يقوم المطور بحساب المؤشر الإحصائي المستهدف على العناصر الصالحة حصرياً باستخدام الدوال الآمنة كدالة np.nanmean()، ثم يوجه القيمة المستخرجة مباشرة نحو الفهارس المتضررة عبر القناع البولياني الصريح:

mask = np.isnan(dataset)
mean_value = np.nanmean(dataset)
dataset[mask] = mean_value

عقب إتمام هذا الاستبدال الموضعي، يمكن التحقق من اكتمال المعالجة ونجاحها عبر إعادة تشغيل الدالة المعيارية np.count_nonzero(np.isnan(dataset))؛ حيث يجب أن تعيد الدالة الآن القيمة الصفرية 0 بصورة قاطعة، دلالة على تطهير المصفوفة بالكامل من أي فجوات مفقودة، وتحويلها إلى مصفوفة رقمية مكتملة وجاهزة لتمريرها إلى شبكات التعلم العميق ونماذج التحليل الرياضي.

9.3 التصفية الشرطية المتقدمة واستخراج المصفوفات الجزئية الخالية من NaN

في حالات أخرى، قد يكون الاستبدال الإحصائي غير مقبول منهجياً لما قد يحدثه من تحريف لتوزيع العينات؛ فيكون الخيار الأفضل هو “إسقاط” الملاحظات التي تحتوي على قيم مفقودة (Data Dropping). توفر الفهرسة البوليانية باستخدام المعامل المنفي وسيلة فائقة السرعة لاستخراج مصفوفة جديدة ومستقلة خالية تماماً من الفجوات الرقمية:

clean_data = my_array[~np.isnan(my_array)]

يقوم هذا التعبير بضغط المصفوفة واستخراج العناصر الصالحة فقط وحفظها في مصفوفة أحادية البعد جديدة. أما في المصفوفات ثنائية الأبعاد كالبيانات الجداولية، فيمكن تطبيق منطق متقدم لإسقاط “الصفوف” بأكملها التي تحتوي على أي قيمة NaN عبر الجمع بين دالة الفحص ودالة الاختزال المنطقي np.any():

rows_to_keep = ~np.isnan(matrix_2d).any(axis=1)
filtered_matrix = matrix_2d[rows_to_keep]

تضمن هذه الاستراتيجية المتقدمة للمحللين الحفاظ على الاتساق الداخلي للملاحظات متعددة المتغيرات، من خلال عزل السجلات المكتملة فقط بكفاءة متجهة تعتمد كلياً على العمليات الداخلية المحسنة في لغة C دون الحاجة لكتابة حلقات تكرار بطيئة على مستوى بايثون.

10. التكامل البيني مع مكتبات معالجة البيانات: Pandas و SciPy

10.1 المقارنة بين دوال NumPy ودوال مكتبة Pandas المخصصة للبيانات المفقودة

تعد مكتبة Pandas الامتداد التحليلي والجدولي الطبيعي لمكتبة NumPy، وغالباً ما تتداخل أدوات المكتبتبن في مشاريع علم البيانات اليومية. توفر مكتبة Pandas دالتين شهيرتين لفحص البيانات المفقودة هما isna() و isnull() المتطابقتين وظيفياً، واللتين يمكن دمجهما مع دالة المجموع df.isna().sum() لحساب عدد القيم المفقودة في كل عمود من أعمدة إطار البيانات (DataFrame).

يكمن الاختلاف الجوهري بين الأسلوبين في مستوى التجريد وتكلفة المعالجة الحسابية (Computational Overhead). تعمل دوال NumPy المعيارية np.count_nonzero(np.isnan(data)) على مستوى المتجهات الرقمية البحتة المنخفضة المستوى، مما يمنحها تفوقاً حاسماً في السرعة وخفة استهلاك الذاكرة، حيث تتفوق في الغالب بمقدار 2 إلى 5 أضعاف على مكافئاتها في Pandas. غير أن مكتبة Pandas تتفوق في مرونة التعامل مع أنواع البيانات الهجينة والمختلطة؛ حيث توفر دعماً متقدماً لأنواع الأعداد الصحيحة القابلة لاحتواء القيم المفقودة (Nullable Integer Dtypes مثل Int64 عبر الرمز الخاص pd.NA)، وهو ما تعجز عنه مصفوفات NumPy التقليدية. لذا، يُنصح بالاعتماد على حلول NumPy النقية في خوارزميات الحساب العددي والتعلم العميق الحساسة للزمن، واستخدام Pandas في مراحل التجهيز والاستكشاف الأولي للجداول المختلطة.

10.2 تأثير دقة حساب NaN على التحليلات المتقدمة في SciPy

تعتمد مكتبة الحوسبة العلمية المتقدمة SciPy اعتماداً كلياً على مصفوفات NumPy كمدخلات قياسية لحزمها الإحصائية والفيزيائية مثل scipy.stats وخوارزميات التحسين العددي scipy.optimize. وتتسم معظم دوال التحليل الإحصائي المتقدم في SciPy، مثل اختبارات الفروق المعنوية (T-tests) وتحليل التباين (ANOVA) وحساب معاملات الارتباط (Pearson/Spearman Correlations)، بحساسية مفرطة تجاه وجود قيم NaN غير معالجة في المصفوفات المدخلة.

عند تمرير مصفوفة تحتوي على قيم NaN دون رصد استباقي إلى دالة مثل scipy.stats.ttest_ind()، فإن السلوك الافتراضي لمعظم هذه الدوال يقود إلى انتشار الرمز غير العددي، مما يعيد قيماً إحصائية مشوهة بالكامل (statistic=nan, pvalue=nan). وتتطلب البرمجة الدفاعية (Defensive Programming) تطبيق فحص استباقي دقيق لعدد قيم NaN وتحديد نسبتها قبل تمرير البيانات لحزم SciPy، إما لاستبعادها صراحة، أو لتمرير المعامل الخاص nan_policy='omit' أو nan_policy='raise' الذي توفره بعض دوال SciPy، لضمان استقرار نماذج المحاكاة الرياضية وتجنب إهدار ساعات من المعالجة في تدريب نماذج تعود بنتائج فارغة.

10.3 التبادل المتناسق للبيانات بين المصفوفات وأطر البيانات

في بيئات الإنتاج الفعلية، يتم تبادل البيانات بانتظام بين مصفوفات NumPy وأطر بيانات Pandas ذهاباً وإياباً. تتيح بنية أطر البيانات الوصول الفوري إلى مصفوفات NumPy التحتية الحاملة للقيم الحقيقية دون نسخ إضافي عبر الخاصية المباشرة df.to_numpy() أو df.values. وتسمح هذه الخاصية بمشاركة نفس الذاكرة المؤقتة (Zero-copy Memory Views) في الحالات المتجانسة، مما يتيح تطبيق أدوات NumPy الحسابية السريعة مثل np.count_nonzero(np.isnan(df['feature'].to_numpy())) لتحقيق أقصى سرعة ممكنة تتجاوز دوال Pandas الأصلية.

غير أن الحذر واجب عند تحويل البيانات المجهزة من مصفوفات NumPy إلى أطر Pandas للتأكد من المحافظة على دقة تمثيل البيانات المفقودة. فالأرقام المفقودة المحسوبة والمفلترة في NumPy تظل ممثلة كـ np.nan في أعمدة Pandas ذات الفاصلة العائمة، لكن يجب التأكد من عدم تحولها بطريق الخطأ إلى سلاسل نصية مثل "NaN" أو "None" عند التصدير إلى صيغ ملفات نصية كـ CSV، حيث يؤدي ذلك التحول الخفي إلى فقدان الصبغة الحسابية للبيانات المفقودة ويجعل كشفها لاحقاً عبر np.isnan() مستحيلاً دون إجراء عمليات تحليل نصوص إضافية مكلفة حسابياً.

11. تطبيقات عملية ودراسات حالة إحصائية على بيانات واقعية

11.1 دراسة حالة: تدقيق مجموعات بيانات الاستبيانات والقياسات النفسية

في العلوم السلوكية والأبحاث السيكومترية، تُجمع استجابات المشاركين على مقاييس ليكرت (Likert Scales) واستبيانات الشخصية في صورة مصفوفات ضخمة متعددة الأبعاد، حيث ترمز الصفوف للمشاركين وترمز الأعمدة للأسئلة أو البنود الاختبارية. وتمثل مشكلة الأسئلة المتروكة دون إجابة (Missing Responses) تحدياً منهجياً حرجاً يؤثر على صدق وثبات المقاييس النفسية.

باستخدام التركيب المتجه المتقدم لدوال NumPy عبر المحاور، يمكن لعلماء النفس القياسي أتمتة عملية تدقيق البيانات بدقة استثنائية عبر مرحلتين متتاليتين:

# 1. حساب عدد الإجابات المفقودة لكل مشارك عبر المحور الأفقي
participant_missing = np.count_nonzero(np.isnan(survey_matrix), axis=1)
# 2. تحديد المشاركين الذين تجاوزت نسبة إجاباتهم المفقودة 20% لاستبعادهم
invalid_participants = np.where(participant_missing > (0.20 * total_questions))[0]
cleaned_survey = np.delete(survey_matrix, invalid_participants, axis=0)

تضمن هذه المنهجية البرمجية استبعاد الأفراد غير الجادين بصورة آلية وموضوعية تامة، مما يرفع من جودة القياس السيكومتري قبل تطبيق خوارزميات التحليل العاملي التوكيدي (Confirmatory Factor Analysis)، ويثبت فعالية الحساب المشروط لقيم NaN في تجويد البيانات النفسية الواقعية.

11.2 دراسة حالة: معالجة قراءات محطات الرصد البيئي والأرصاد الجوية

تعتمد مراكز الأرصاد الجوية والهيئات المناخية على آلاف محطات الرصد السطحية المزودة بحساسات لقياس درجة الحرارة، والضغط الجوي، وسرعة الرياح، ومعدلات هطول الأمطار على مدار الساعة. وتتعرض هذه المستشعرات الحقلية بانتظام لأعطال فنية ناتجة عن انقطاع التيار الكهربائي، أو الظروف الجوية القاسية، أو خلل في أنظمة الإرسال اللاسلكي، مما يؤدي إلى ظهور فجوات زمنية طويلة تسجل كقيم NaN داخل السلاسل الزمنية المتتابعة.

لتشخيص موثوقية المحطات البيئية، تُبنى خوارزميات فحص دورية تقوم بحساب تكرار قيم NaN عبر المحاور الزمنية والمكانية لكل محطة:

# فحص موثوقية محطة معينة عبر حساب ساعات الانقطاع شهرياً
monthly_hours = sensor_data.shape[0]
outage_hours = np.count_nonzero(np.isnan(sensor_data), axis=0)
outage_ratio = outage_hours / monthly_hours

تسمح هذه المؤشرات الدقيقة بتصنيف المحطات آلياً؛ فالمحطات التي تظهر انقطاعات طفيفة لا تتعدى 2% تُمرر تلقائياً إلى خوارزميات الاستكمال الحسابي الزمني (Spline Interpolation) لترميم الفجوات الرقمية واستعادة السلسلة المتصلة. أما المحطات التي تتجاوز فيها الانقطاعات حدوداً مقبولة، فيتم إيقاف بثها في منظومة التنبؤ العددي بالطقس وإرسال تنبيه آلي لفرق الصيانة الميدانية لإصلاح العتاد المعطل، مما يوضح الأثر التطبيقي الحيوي لعد قيم NaN في حماية دقة النماذج المناخية وحفظ الأرواح والممتلكات.

11.3 دراسة حالة: تنظيف البيانات الحيوية والطبية قبل تدريب نماذج تعلم الآلة

تتميز السجلات الصحية الإلكترونية (Electronic Health Records – EHR) وبيانات أجهزة المراقبة في وحدات العناية المركزة (ICU) بدرجة عالية من عدم التجانس، حيث لا تُجرى كافة الفحوص المخبرية (مثل مؤشرات وظائف الكلى وإنزيمات القلب) لجميع المرضى في نفس الأوقات وبنفس التكرار، مما يخلق مصفوفات تدريبية شحيحة الكثافة (Sparse Arrays) تحتوي على نسب عالية جداً من قيم NaN.

عند محاولة تدريب نماذج التنبؤ بالصدمة الإنتانية (Sepsis Prediction) باستخدام الشبكات العصبية العميقة، يؤدي وجود هذه الفجوات الرقمية غير المحسوبة إلى إفساد حسابات التدرج العكسي (Backpropagation) وتعطيل التدريب عبر أخطاء انفجار الأوزان. يقوم مهندسو تعلم الآلة بتصميم خطوات تنظيف وفحص دقيقة كالتالي:

# حساب الفجوات البيانية لكل مؤشر حيوي عبر جميع المرضى
feature_nan_ratios = np.count_nonzero(np.isnan(clinical_data), axis=0) / clinical_data.shape[0]
# إسقاط المؤشرات الحيوية التي تفقد أكثر من 50% من قراءاتها لعدم موثوقيتها الإحصائية
viable_features = np.where(feature_nan_ratios <= 0.50)[0]
clinical_data_reduced = clinical_data[:, viable_features]

تُمكّن هذه المعالجة الذكية من هندسة الخصائص الحيوية واختيار المتغيرات السريرية الأكثر اكتمالاً، وتوجيه استراتيجيات الاستبدال الحسابي الموجه نحو المتغيرات القابلة للترميم فقط، مما يؤدي إلى بناء نماذج سريرية قوية وذات دقة تنبؤية عالية وقادرة على اتخاذ قرارات إنقاذ الحياة في المستشفيات الحديثة بثقة مطلقة.

12. أفضل الممارسات والتوصيات البرمجية لإدارة وحساب القيم المفقودة في بيئات الإنتاج

12.1 كتابة دوال مساعدة معيارية وقابلة لإعادة الاستخدام

في بيئات التطوير الهندسي الاحترافية ومشاريع البرمجيات التجارية الكبرى، يُعد تكرار استدعاء التعبيرات التركيبية مثل np.count_nonzero(np.isnan(arr)) بصورة مبعثرة في مختلف ملفات المشروع ممارسة برمجية غير محبذة؛ حيث تؤدي إلى تكرار الكود وتزيد من صعوبة الصيانة وتوحيد المعايير. والممارسة الهندسية الفضلى تقتضي تغليف هذه المنظومة الحسابية داخل دوال مساعدة (Utility Functions) شاملة، موثقة بدقة، ومصممة لمعالجة الحالات الحدية الصعبة واستيعاب المتطلبات التشغيلية المختلفة.

يجب أن تُكتب هذه الدوال المساعدة بحيث تقبل معاملات اختيارية لتحديد المحاور (axis)، والاحتفاظ بالأبعاد (keepdims)، وخيار الحصول على النسبة المئوية بدلاً من التعداد المطلق، مع تضمين تلميحات الأنواع الصارمة (Type Hints) وتوثيق استثنائي شامل وفق معايير التوثيق الأكاديمية لمجتمع بايثون (Docstrings). كما يجب أن تتضمن الدالة حماية ضد الحالات الحدية الحرجة (Edge Cases)، مثل التحقق مما إذا كانت المصفوفة المدخلة فارغة تماماً (arr.size == 0) لتعيد صفراً فورياً بدلاً من التسبب في أخطاء القسمة على صفر، والتأكد من نوع بيانات المصفوفة وترقيتها ذهنياً إذا لزم الأمر، مما يمنح الفريق البرمجي واجهة موحدة ومتينة يعتمد عليها في كافة أرجاء المنظومة الإنتاجية.

12.2 اختبارات الوحدة والتحقق الآلي من سلامة تدفق البيانات

لا يمكن ضمان استقرار النظم البرمجية للشركات والمؤسسات العلمية دون بناء منظومة اختبارات وحدة (Unit Tests) صارمة ومؤتمتة باستخدام أطر الاختبار القياسية مثل pytest أو unittest. تهدف هذه الاختبارات إلى التحقق من أن دوال حساب وتدقيق قيم NaN تعمل بالشكل المطلوب تحت مختلف الظروف والسيناريوهات غير المتوقعة قبل نشر الشيفرات في بيئات العمل الحية.

تشمل خطة الاختبارات المعيارية التحقق من سلوك الدالة مع: مصفوفات لا تحتوي على أي قيم مفقودة (يجب أن تعيد صفراً دائماً)، ومصفوفات كاملة التلف لا تحتوي سوى على قيم NaN (يجب أن تعيد حجم المصفوفة الكلي)، ومصفوفات متعددة الأبعاد تختبر دقة الحساب عبر مختلف المحاور axis=0 و axis=1، ومصفوفات تحتوي على قيم لانهائية للتأكد من عدم الخلط بين اللانهاية وNaN. يتم دمج هذه الفحوصات المؤتمتة ضمن خطوط التكامل والنشر المستمر (CI/CD Pipelines)، بحيث يُرفض دمج أي تعديل برمجي على مستودعات الأكواد إذا تسبب في فشل أي من اختبارات تدقيق البيانات المفقودة، مما يضمن حصانة المنظومة البرمجية ضد الأخطاء الارتدادية.

12.3 دليل إرشادي لاختيار الدالة المثلى بناءً على خصائص المشروع

لتسهيل عملية اتخاذ القرار الهندسي على المطورين والباحثين في بيئات العمل الواقعية، يُلخص الجدول الإرشادي المعياري التالي المقارنة الشاملة بين أبرز التقنيات البرمجية المتاحة لحساب عدد القيم المفقودة في بايثون ومكتبة NumPy:

• التركيب المعياري np.count_nonzero(np.isnan(arr)): هو الخيار الأفضل والافتراضي لكافة التطبيقات الاعتيادية والمتوسطة. يتميز بأعلى كفاءة زمنية، وتوافق تام مع التوصيات البرمجية، واستهلاك منخفض لدورات المعالج، مع عيب وحيد يتمثل في تخصيص مصفوفة بوليانية مؤقتة في الذاكرة.
• الجمع البولياني np.sum(np.isnan(arr)): خيار بديل ومقبول عند الرغبة في صياغة كود ذي مقروئية دلالية شفهية عالية. غير أنه يعاني من بطء نسبي طفيف يبلغ نحو 20% مقارنة بالطريقة المعيارية بسبب أعباء دوال الاختزال العامة.
• التجميع فائق السرعة عبر Numba المجمعة: الخيار الإلزامي للمصفوفات العملاقة في بيئات الحوسبة الحساسة للذاكرة العشوائية. يتميز باستهلاك صفري للذاكرة الإضافية ودمج الحلقات في كود الآلة، ولكنه يتطلب إضافة مكتبة Numba كاعتمادية إضافية للمشروع وزيادة طفيفة في زمن التشغيل الأول بسبب مرحلة الترجمة (Compilation Overhead).
• الحوسبة المتوازية عبر CuPy على المعالجات الرسومية: الخيار الأمثل لمنظومات التعلم العميق والبيانات الضخمة جداً المليارية. يقدم سرعات حسابية خارقة بفضل آلاف الأنوية المتوازية، ولكنه يشترط توفر عتاد مادي متقدم من معالجات NVIDIA ودعم مكتبات CUDA المتخصصة.
• دوال مكتبة Pandas df.isna().sum(): الخيار الأنسب لمراحل استكشاف البيانات في الجداول المختلطة التي تحتوي على نصوص وأعداد صحيحة وأنواع قابلة للقيم الفارغة. يوفر مرونة تحليلية استثنائية على حساب السرعة الخام واستهلاك الذاكرة.

خاتمة

يمثل الاستيعاب العميق لكيفية حساب وإدارة العناصر المساوية لـ NaN داخل مصفوفات NumPy حجر الزاوية الذي يُبنى عليه الصرح البرمجي والتحليلي الكامل في الحوسبة العلمية وهندسة البيانات الحديثة. وكما أوضحنا خلال هذا المقال الشامل، فإن المسألة تتجاوز مجرد استدعاء دالة بسيطة؛ بل ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالمعايير الحوسبية الدولية لتمثيل الأعداد ذات الفاصلة العائمة (IEEE 754)، وفهم أسباب شذوذ المقارنة المنطقية للقيم غير المعرفة رياضياً، وكيفية تجنب الأخطاء الصامتة المضللة التي قد تدمر دقة النماذج التحليلية.

إن تبني المنهجيات المعيارية الرصينة، والمتمثلة في الدمج المتجه بين دالة الفحص البتي np.isnan() ودالة العد عالي الكفاءة np.count_nonzero()، يمنح المطورين الأداء الزمني الأمثل والاستقرار المنطقي المطلوب. كما أن إدراك تفاصيل إدارة المحاور الهندسية للمصفوفات متعددة الأبعاد، وتطبيق التحققات الرياضية الدفاعية، واختيار الأدوات المناسبة لحجم البيانات، يشكل مجتمعاً المعيار الفارق بين الشيفرات التجريبية الهشة والأنظمة البرمجية الإنتاجية المتينة القابلة للتوسع والصمود في مواجهة تحديات البيانات الواقعية الضخمة.

المراجع

• Harris, C. R., Millman, K. J., van der Walt, S. J., Gommers, R., Virtanen, P., Cournapeau, D., ... & Oliphant, T. E. (2020). Array programming with NumPy. Nature, 585(7825), 357–362. https://doi.org/10.1038/s41586-020-2649-2
• IEEE. (2019). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE Std 754-2019). IEEE Computer Society. https://standards.ieee.org/ieee/754/6027/
• Lam, S. K., Pitrou, A., & Seibert, S. (2015). Numba: A LLVM-based Python JIT compiler. In Proceedings of the Second Workshop on the LLVM Compiler Infrastructure in HPC (pp. 1–6). https://doi.org/10.1145/2833157.2833162
• McKinney, W. (2022). Python for data analysis: Data wrangling with pandas, NumPy, and Jupyter (3rd ed.). O'Reilly Media.
• NumPy Developers. (2024). NumPy Reference Documentation (v1.26): Mathematical functions and constants. NumPy.org. https://numpy.org/doc/stable/reference/
• Python Software Foundation. (2024). The Python Standard Library: timeit — Measure execution time of small code snippets. Python.org. https://docs.python.org/3/library/timeit.html
• Virtanen, P., Gommers, R., Oliphant, T. E., Haberland, M., Reddy, T., Cournapeau, D., ... & SciPy 1.0 Contributors. (2020). SciPy 1.0: Fundamental algorithms for scientific computing in Python. Nature Methods, 17(3), 261–272. https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2