تصاميم القياسات المتكررة: الفوائد ومثال على تحليل التباين

تُعد تصاميم القياسات المتكررة (Repeated Measures Designs)، أو ما يُعرف في الأدبيات المنهجية بالتصاميم داخل الأفراد (Within-Subjects Designs)، ركيزةً أساسيةً من ركائز البحث التجريبي في العلوم السلوكية والعصبية وعلم النفس المعاصر. تعتمد هذه المنهجية على إخضاع كل مشارك في العينة لجميع المعالجات أو الشروط التجريبية، أو تتبعه عبر فترات زمنية متعاقبة، مما يجعل الفرد بمثابة نقطة مرجعية وضابط ذاتي لنفسه (Self-Control). وقد أسهم هذا التحول المنهجي في إحداث ثورة في معالجة إشكالية الفروق الفردية التي طالما شكلت مصدر تشويش رئيسي في تصاميم المجموعات المستقلة.

تتجاوز أهمية هذه التصاميم مجرد الترشيد في حجم العينات المستهدفة؛ إذ تكمن قوتها الحقيقية في قدرتها الفائقة على عزل تباين الفروق الفردية الثابتة من تباين الخطأ الإحصائي، مما يعزز القوة الإحصائية (Statistical Power) للتجربة بدرجة ملحوظة، ويمكن الباحثين من رصد التأثيرات التجريبية الدقيقة وحجوم التأثير المتواضعة التي قد تُطمس بفعل التباين بين الأفراد. ومع ذلك، فإن هذه المزايا تأتي مصحوبة بتعقيدات إحصائية ومنهجية بالغة الأهمية، تتطلب فهمًا عميقًا لافتراضات النمذجة الرياضية، وعلى رأسها فرضية الكروية (Sphericity)، وتأثيرات الترتيب والتعاقب (Order and Carryover Effects).

يهدف هذا الدليل المنهجي الموسع إلى تقديم تفكيك نظري وتطبيقي شامل لتصاميم القياسات المتكررة وتحليل التباين المرتبط بها (RM-ANOVA). سنتناول بالتحليل الأسس المعرفية والرياضية لهذه التصاميم، والفروق الجوهرية التي تميزها عن تصاميم المجموعات المستقلة، مروراً بالمعالجات الإحصائية لتحديات انتهاك الافتراضات، وصولاً إلى تقديم نموذج تطبيقي واقعي من علم النفس التجريبي مشفوعاً بالحسابات اليدوية، والبرمجة عبر SPSS وR، وصياغة النتائج وفق أعلى معايير جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th Edition).

1. مقدمة تأسيسية في تصاميم القياسات المتكررة (Within-Subjects Designs)

1.1 المفهوم الأساسي لتصميم القياسات المتكررة في علم النفس

يُعرَّف تصميم القياسات المتكررة في علم النفس والعلوم السلوكية بأنه بنية تجريبية يتم فيها رصد وقياس المتغير التابع لدى نفس المفحوصين تحت مستويات متعددة من المتغير المستقل، أو عبر نقاط زمنية متتالية. يعني هذا المفهوم أن كل مشارك في الدراسة يمر بجميع الشروط التجريبية دون استثناء، مما يُلغي الحاجة إلى إنشاء مجموعات تجريبية وضابطة منفصلة تتألف من أفراد مختلفين. تُعد هذه الخاصية المنهجية جوهر التفوق في عزل التباين غير المرغوب فيه.

يتجلى المفهوم المحوري في هذا التصميم في مبدأ “المشارك كضابط لنفسه” (Participants as their own controls). عندما يُقاس الفرد تحت الشرط التجريبي الأول (أ) ثم تحت الشرط التجريبي الثاني (ب)، فإن خصائصه البيولوجية، مثل التركيب الجيني والنشاط العصبي الأساسي، وسماته النفسية الثابتة، مثل الذكاء، والميول المزاجية، وسمات الشخصية، تبقى ثابتة عبر الشروط. ونتيجة لذلك، تصبح أي فروق ملحوظة في الأداء أو الاستجابة معزوة مباشرة إلى تأثير المتغير المستقل، وليست ناتجة عن التباين المتأصل بين أفراد مختلفين في التكوين النفسي والفسيولوجي.

يعود السياق التاريخي لهذا التصميم إلى بدايات علم النفس التجريبي في أواخر القرن التاسع عشر ومطالع القرن العشرين، مع رواد مثل غوستاف فيخنر (Gustav Fechner) وفلهلم فونت (Wilhelm Wundt) وهيرمان إبنجهاوس (Hermann Ebbinghaus) في دراساته الرائدة حول الذاكرة ومنحنى النسيان. في العصر الحديث، اكتسب هذا التصميم أهمية حاسمة في أبحاث العلوم العصبية المعرفية، ودراسات الرنين المغناطيسي الوظيفي (fMRI)، والتخطيط الدماغي الكهربائي (EEG)، حيث تفرض الطبيعة التقنية والبيولوجية فحص نفس الدماغ تحت مهام معرفية متعددة لتقليل الضوضاء العصبية.

يتمثل الفرق الجوهري في بنية تباين البيانات بين نوعين رئيسيين من التباين: التباين بين الأفراد (Between-Subjects Variance) والتباين داخل الفرد نفسه (Within-Subjects Variance). في التصاميم التقليدية، يختلط أثر المعالجة التجريبية بالتباين بين الأفراد، مما يجعل عزل تأثير المتغير المستقل أمراً يتطلب عينات ضخمة. أما في تصاميم القياسات المتكررة، فإن التحليل الرياضي يقوم بفرز التباين الناشئ عن الفروق الفردية وعزله تماماً، ليتبقى فقط التباين الداخلي الذي يُمثل الاستجابة الحقيقية للشروط التجريبية مضافاً إليه خطأ القياس العشوائي النقي.

1.2 الأنماط الشائعة لتصاميم القياسات المتكررة

تتعدد أشكال وتطبيقات تصاميم القياسات المتكررة في البحوث النفسية لتلائم طبيعة الأسئلة البحثية والظواهر السلوكية قيد الاستقصاء. النمط الأول والأكثر كلاسيكية هو الدراسات الطولية وسلاسل الزمن (Longitudinal and Time-Series Designs)، حيث يتم تتبع نفس العينة من الأفراد وقياس سماتهم النفسية أو النمائية عبر فترات زمنية ممتدة (مثل: قياس التطور اللغوي لدى الأطفال عند سن 3، 5، و7 سنوات، أو قياس استقرار سمة القلق عبر مسار الحياة). يتيح هذا النمط رصد ديناميات التغير الزمني بدقة متناهية ودراسة مسارات النمو الفردية عبر الزمن.

النمط الثاني يتمثل في التصاميم متعددة الشروط التجريبية المتزامنة (Simultaneous Multi-Condition Designs)، وهو شائع الاستخدام في علم النفس المعرفي والإدراك الحسي. في هذا التصميم، يخضع المفحوص لمهام تجريبية متعددة في جلسة واحدة أو جلسات متقاربة؛ كأن يُطلب من المشارك الاستجابة لمثيرات بصرية تحت ثلاثة شروط: مثيرات متطابقة، مثيرات محايدة، ومثيرات متناقضة (كما في مهمة ستروب Stroop Task). يُسجل زمن الرجع ومعدل الدقة في كل شرط للمقارنة المباشرة بينها لدى كل فرد.

النمط الثالث هو تصاميم القياس القبلي والبعدي مع المتابعة (Pre-Post-Follow-up Designs)، وهو النمط المفضل في أبحاث العلاج النفسي والتدخلات الإكلينيكية والسلوكية. في هذا الإطار، يُقاس مستوى الاضطراب (مثل الاكتئاب) قبل التدخل (Pre-test)، وبعد انتهاء البروتوكول العلاجي مباشرة (Post-test)، ثم بعد فترة زمنية محددة كستة أشهر لتقييم المتابعة (Follow-up). يهدف هذا التصميم إلى التحقق ليس فقط من فعالية العلاج، بل ومن استدامة نتائجه الإيجابية على المدى الطويل.

النمط الرابع هو التصاميم الهجينة أو المختلطة (Split-Plot / Mixed ANOVA Designs)، والتي تجمع بين متغير واحد على الأقل داخل الأفراد (Within-Subjects) ومتغير واحد على الأقل بين المجموعات (Between-Subjects). على سبيل المثال، دراسة تقارن بين مجموعتين من المرضى (مجموعة تتلقى علاجاً معرفياً سلوكياً ومجموعة تتلقى علاجاً دوائياً) عبر ثلاث نقاط زمنية (قبل، بعد، متابعة). يسمح هذا النمط بفحص التفاعل المعقد (Interaction Effect) بين نوع العلاج ومسار التغير عبر الزمن.

2. المقارنة المنهجية: تصاميم القياسات المتكررة مقابل تصاميم المجموعات المستقلة

2.1 الفروق الجوهرية في البنية التجريبية

ترتكز المقارنة المنهجية بين تصاميم القياسات المتكررة وتصاميم المجموعات المستقلة (Between-Subjects Designs) على كيفية توزيع وتخصيص وحدات المعاينة (المشاركين) عبر مستويات المتغير المستقل. في تصاميم المجموعات المستقلة، يتم تعيين كل مشارك عشوائياً في مستوى تجريبي واحد فقط؛ فإذا كان لدينا تجربة تتضمن أربعة شروط علاجية، نحتاج إلى أربع مجموعات منفصلة تماماً من المفحوصين، ولا يرى أي مفحوص سوى الشرط المخصص له، مما يتطلب تجنيد أعداد مضاعفة من المشاركين لضمان التمثيل الإحصائي السليم.

في المقابل، تقوم البنية التجريبية لتصاميم القياسات المتكررة على تعريض كل مشارك لجميع المستويات التجريبية الأربعة بالتتابع. هذا الاختلاف الجوهري ينعكس مباشرة على كيفية التلاعب بالمتغيرات المستقلة؛ ففي التصاميم المستقلة، تُعامل الفروق بين المجموعات على أنها تعبير عن التباين المشترك بين أثر المعالجة وتفاوت خصائص المشاركين، بينما في التصاميم المتكررة، يُختزل التلاعب التجريبي ليصبح مقارنة داخلية مباشرة بين استجابات نفس الجهاز العصبي والنفسي تحت مؤثرات بيئية أو تجريبية متباينة ومضبوطة بدقة.

تظهر كفاءة استغلال العينة المتاحة بوضوح في البيئات البحثية المعقدة والصعبة؛ فعند دراسة مجموعات سكانية يصعب الوصول إليها، مثل الأفراد المصابين باضطرابات عصبية نادرة، أو القادة التنفيذيين، أو رواد الفضاء، يصبح من شبه المستحيل تجنيد مئات المشاركين لتوزيعهم على مجموعات مستقلة. توفر تصاميم القياسات المتكررة حلاً منهجياً فريداً يمكّن الباحث من إجراء تجارب محكمة ذات قوة إحصائية عالية باستخدام عينة صغيرة الحجم، نظراً لأن كل مفحوص يُولد نقاط بيانات متعددة تعادل عدد الشروط التجريبية.

كما تتيح هذه البنية مرونة تجريبية استثنائية في التعامل مع البروتوكولات المعقدة التي تتطلب تعديلاً ديناميكياً في المعالجات التجريبية، أو رصد استجابات حسية دقيقة للمنبهات المتسلسلة. ومع ذلك، فإن هذه المرونة تتطلب تخطيطاً صارماً لتفادي التداخل الزمني بين الشروط، وضمان عدم تأثر الشروط اللاحقة بآثار الشروط السابقة، وهو ما يُعد تحدياً هيكلياً غير موجود في تصاميم المجموعات المستقلة حيث تكون الملاحظات مستقلة بطبيعتها.

2.2 إدارة الفروق الفردية كمتغير دخيل

تُمثل الفروق الفردية (Individual Differences) في تصاميم المجموعات المستقلة أحد أكبر التهديدات للصدق الداخلي، ومصدراً ضخماً لتباين الخطأ غير المفسر (Unexplained Error Variance). فالأفراد يختلفون في قدراتهم المعرفية الأساسية، وتاريخهم الجيني والبيولوجي، وسماتهم الشخصية، ومستويات الدافعية، وسرعة المعالجة العصبية. في التصاميم المستقلة، حتى مع استخدام التعيين العشوائي (Random Assignment)، يظل هناك احتمال دائم بأن تكون إحدى المجموعات متفوقة في خاصية ما عن المجموعة الأخرى بمحض الصدفة، مما يلوث أثر المتغير المستقل ويجعل من الصعب الجزم بسببية الفروق الملاحظة.

تنجح تصاميم القياسات المتكررة في تحييد هذه الخصائص الفردية الثابتة تحييداً تاماً؛ إذ يتم تثبيت التركيب الجيني ومستوى الذكاء العام والخبرات السابقة عبر جميع الشروط التجريبية بحكم مشاركة نفس الفرد. رياضياً، يتم استخراج هذا التباين الناتج عن الفروق بين الأفراد وفصله في حد تباين مستقل (Sum of Squares for Subjects)، مما يؤدي إلى تنقية تباين الخطأ المتبقي من الضوضاء الناتجة عن تباين المفحوصين، وهو ما ينعكس بصورة مباشرة على دقة القياس النفسي وزيادة حساسية التجربة لرصد التغيرات السلوكية الحقيقية.

ومع ذلك، تفرض هذه المنهجية مفاضلة دقيقة بين نقاء البيانات الناتج عن تحييد الفروق الفردية، والواقعية البيئية الناتجة عن التعريض المتعدد للشروط التجريبية. فالتعريض المتكرر لنفس المفحوص لمهام متعددة قد يخلق واقعاً نفسياً غير مألوف في الحياة اليومية، حيث يمكن أن يدرك المشارك أهداف التجربة (Demand Characteristics)، أو يطور استراتيجيات معرفية مخصصة للتعامل مع الاختبارات المتتالية. لذلك، يتعين على الباحث الموازنة بين نقاء العزل الإحصائي للفروق الفردية، والآثار الجانبية المترتبة على تكرار القياس على نفس الفرد.

3. المزايا المنهجية والإحصائية لتصاميم القياسات المتكررة

3.1 تعظيم القوة الإحصائية (Statistical Power)

تُعد زيادة القوة الإحصائية (Statistical Power) — وهي احتمالية رفض الفرضية الصفرية عندما تكون خاطئة بالفعل ($1 – beta$) — الميزة الإحصائية الكبرى لتصاميم القياسات المتكررة. في تحليل التباين الكلاسيكي بين المجموعات، ينقسم مجموع المربعات الكلي ($SS_{Total}$) إلى قسمين: التباين بين المجموعات ($SS_{Between}$) والتباين داخل المجموعات ($SS_{Within}$)، حيث يُستخدم التباين داخل المجموعات كمقام لحساب النسبة الفائية ($F = MS_{Between} / MS_{Within}$)، محتوياً على الفروق الفردية وأخطاء القياس العشوائية معاً.

أما في تحليل التباين للقياسات المتكررة (RM-ANOVA)، فيتم تفكيك تباين المجموعات بشكل أكثر عمقاً ودقة. يُفصل مجموع المربعات الكلي إلى تباين بين الأفراد ($SS_{Between-Subjects}$) وتباين داخل الأفراد ($SS_{Within-Subjects}$). بعد ذلك، يُجزأ التباين داخل الأفراد نفسه إلى تباين المعالجة التجريبية ($SS_{Treatment}$) وتباين الخطأ المتبقي النقي ($SS_{Error}$). يتمثل الإنجاز الإحصائي هنا في حذف $SS_{Between-Subjects}$ بالكامل من حساب مقام النسبة الفائية، ليصبح القانون الرياضي:

$$F = \frac{MS_{Treatment}}{MS_{Error}}$$

حيث يكون متوسط مربعات الخطأ ($MS_{Error}$) أصغر بكثير من نظيره في التصاميم المستقلة، لأن التباين المستقر بين الأفراد قد تم التخلص منه. يؤدي تصغير المقام في معادلة $F$ إلى زيادة قيمتها المحسوبة بشكل ملحوظ، مما يرفع احتمالية تجاوز القيمة الحرجة وتحقيق الدلالة الإحصائية عند مستوى ($\alpha = .05$) أو ($\alpha = .01$).

تتيح هذه الآلية الرياضية للباحثين القدرة الفائقة على اكتشاف حجوم التأثير الصغيرة (Small Effect Sizes) التي لا يمكن للتصاميم المستقلة التقاطها إلا بعينات هائلة الحجم. كما تقلل هذه المنهجية بشكل حاسم من خطر الوقوع في الخطأ من النوع الثاني (Type II Error)، وهو الفشل في اكتشاف التأثير التجريبي الحقيقي الموجود بالفعل في مجتمع الدراسة، مما يجعلها التصميم الأمثل للدراسات الدقيقة في الفيزيولوجيا النفسية، والتعلم الحركي، وعلم الأدوية النفسي.

3.2 الكفاءة الاقتصادية وحجم العينة المطلوب

ترتبط القوة الإحصائية المتزايدة لتصاميم القياسات المتكررة بجدوى اقتصادية وعملية فائقة فيما يتعلق بحجم العينة ($N$) المطلوب لإجراء البحث. لحساب حجم العينة اللازم لتحقيق قوة إحصائية محددة (ولتكن $0.80$) لاكتشاف حجم تأثير متوسط ($f = 0.25$)، تتطلب تصاميم المجموعات المستقلة التي تشمل أربعة شروط تجريبية ما لا يقل عن 180 مشاركاً (45 مشاركاً في كل مجموعة). في المقابل، يمكن لتصميم القياسات المتكررة ذي الأربعة مستويات تحقيق نفس القوة الإحصائية باستخدام 25 إلى 35 مشاركاً فقط، نظراً للاستفادة من الارتباط الداخلي بين قياسات نفس المفحوص عبر الشروط.

تتضاعف هذه الجدوى في دراسات الفئات السريرية الخاصة والنادرة (Rare Clinical Populations)، كمرضى الحبسة الكلامية التقدمية الأولية، أو متلازمة توريت الشديدة، أو الناجين من إصابات دماغية نادرة. في مثل هذه الحالات، يستحيل جمع مئات المرضى لتحقيق شروط التصاميم المستقلة، ويصبح تصميم القياسات المتكررة الخيار العلمي والأخلاقي الوحيد المتاح لجمع بيانات تجريبية ذات موثوقية إحصائية عالية.

إلى جانب خفض العبء البشري، يحقق هذا التصميم ترشيداً كبيراً في الموارد المالية، ومكافآت المشاركين، وساعات العمل الميداني، والجهد الإداري المخصص للفرز والتشخيص والتقييم القبلي. كما يمنح الباحثين إمكانية إشرافية وتتبعية فائقة، حيث يستطيع الباحث التعرف على استجابات كل مفحوص ومراقبة التغيرات الدقيقة لديه عبر مراحل التدخل العلاجي، مما يُسهل ضبط المتغيرات البيئية داخل المختبر وتقليل التسرب المنهجي.

3.3 تتبع مسارات التغير والنمو النفسي بدقة

تتفوق تصاميم القياسات المتكررة في تقديم رؤية ديناميكية مستمرة للظواهر النفسية عبر الزمن، بعكس تصاميم المجموعات المستقلة التي تقدم لقطات ثابتة ومتقطعة (Snapshots) لأفراد مختلفين في أوقات مختلفة. في دراسات اكتساب المهارات والتعلم الحركي والمعرفي، يتيح القياس المتكرر رسم منحنيات التعلم الفردية (Learning Curves)، وملاحظة كيفية انتقال الأداء من مرحلة الجهد المعرفي الواعي إلى مرحلة الآلية والطلاقة عبر المحاولات المتتالية.

في أبحاث علم الأدوية السلوكي والعلاج النفسي، يُعد هذا التصميم الأداة المعيارية لتقييم منحنيات الاستجابة للجرعة (Dose-Response Relationships) ومنحنيات التراجع الزمني لأثر الدواء أو الجلسة العلاجية. يتيح تتبع الفرد عبر الزمن التمييز بدقة متناهية بين التأثيرات الحادة والمؤقتة (Acute Effects) الناتجة عن الدواء أو التدخل، وبين التغيرات الهيكلية المستقرة والمستدامة (Long-Term Adaptations) في الجهاز العصبي أو المنظومة المعرفية للمفحوص.

علاوة على ذلك، يتيح هذا التصميم فحص مسارات التغير داخل الفرد نفسه (Intra-Individual Trajectories) بدلاً من الاقتصار على تحليل متوسطات المجموعات الإجمالية. قد يُظهر متوسط المجموعة ثباتاً ظاهرياً في الأداء عبر الزمن، بينما يكشف التحليل الدقيق للقياسات المتكررة أن نصف العينة يمر بتحسن سريع بينما يمر النصف الآخر بتراجع ملحوظ؛ وهي ديناميكية جوهرية يطمسها تماماً التحليل المقطعي في المجموعات المستقلة، مما يجعل تصاميم القياسات المتكررة أساساً متيناً للطب النفسي الدقيق والعلاج المشخصن.

4. التحديات المنهجية ومصادر التهديد للصدق الداخلي

4.1 تأثيرات الترتيب والتعاقب (Order and Carryover Effects)

على الرغم من المزايا الإحصائية البارزة لتصاميم القياسات المتكررة، إلا أنها تواجه تهديدات منهجية خطيرة تمس الصدق الداخلي (Internal Validity). التهديد الأول يتمثل في تأثيرات الممارسة والتعلم (Practice and Learning Effects)؛ فعندما يكرر المشارك أداء مهمة معرفية أو اختبار نفسي تحت عدة شروط تجريبية متتالية، فإن درجاته في الشروط اللاحقة قد تتحسن ببساطة نتيجة التعود على طبيعة المهمة، وتطوير استراتيجيات حلول أسرع، وانخفاض قلق الاختبار الأولي، وليس بفعل المعالجة التجريبية في ذلك الشرط.

على النقيض من ذلك، يبرز تهديد معاكس يتمثل في تأثيرات الإرهاق والملل وتشتت الانتباه (Fatigue and Boredom Effects). عندما تمتد الجلسة التجريبية لفترات طويلة يمر خلالها المفحوص بمهام متتالية ومجهدة ذهنياً، يميل الأداء في الشروط المتأخرة إلى التدهور الحاد نتيجة استنزاف الموارد المعرفية والطاقة النفسية. إذا تم تقديم الشروط بنفس الترتيب لجميع المفحوصين، سيختلط تدهور الأداء الناتج عن الإرهاق بالأثر الحقيقي للشرط التجريبي الأخير، مما يضلل الاستنتاجات العلمية.

يتمثل التحدي الأكثر تعقيداً في تأثيرات التعاقب وانتقال الأثر (Carryover / Spillover Effects)، والتي تحدث عندما تترك المعالجة في شرط تجريبي معين أثراً مستمراً يؤثر على استجابة المشارك في الشرط الذي يليه مباشرة. ينطبق هذا بشكل خاص على التجارب الدوائية (حيث يتبقى جزء من العقار في مجرى الدم)، أو التدخلات النفسية الانفعالية المكثفة (حيث يستمر المزاج المثار أو القلق المحفز في الشرط السابق ممتداً إلى الشرط التالي). إذا تفاعل أثر التعاقب مع طبيعة الشروط بصورة غير متماثلة (Asymmetric Carryover)، فإن التحليل الإحصائي القياسي يصبح عاجزاً عن عزل التأثيرات النقية للشروط التجريبية.

4.2 استراتيجيات الموازنة والضبط التجريبي (Counterbalancing)

للتعامل مع تأثيرات الترتيب والتعاقب، طور علماء المنهجية التجريبية استراتيجيات محكمة لضبط التسلسل، تأتي في مقدمتها استراتيجية الموازنة الكاملة (Complete Counterbalancing). في هذه التقنية، يتم تضمين جميع الترتيبات التسلسلية الممكنة للشروط التجريبية، وتوزيع المشاركين بالتساوي عبر هذه الترتيبات المختلفة. إذا كانت التجربة تتضمن ($k$) من الشروط، فإن عدد الترتيبات الممكنة هو مفكوك العدد ($k!$). فإذا كان لدينا 3 شروط ($A, B, C$)، يكون لدينا $3! = 6$ ترتيبات ممكنة ($ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA$). تضمن هذه الطريقة أن كل شرط يظهر في كل موقع ترتيبي بنفس التكرار، ويسبق ويلي كل شرط آخر بالتساوي.

مع ذلك، تواجه الموازنة الكاملة تحدي التضخم الرياضي الهائل عند زيادة عدد الشروط؛ فإذا كان لدينا 5 شروط تجريبية، يرتفع عدد الترتيبات إلى $5! = 120$ ترتيباً، مما يتطلب تجنيد مئات المفحوصين فقط لتغطية الترتيبات، وهو ما يلغي ميزة تقليص حجم العينة. لحل هذه المشكلة، يُلجأ إلى الموازنة الجزئية عبر تصميم المربع اللاتيني المتوازن (Balanced Latin Square Design). يضمن هذا التصميم أن كل شرط يظهر مرة واحدة في كل موقع ترتيبي، ويسبق ويلي كل شرط آخر مرة واحدة بالضبط، باستخدام عدد من الترتيبات يساوي عدد الشروط فقط (إذا كان $k$ زوجياً) أو ضعفها (إذا كان $k$ فردياً)، كما هو موضح في البنية القياسية لتصميم المربع اللاتيني لأربعة شروط ($A, B, C, D$):

• الترتيب 1: $A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow C$
• الترتيب 2: $B \rightarrow C \rightarrow A \rightarrow D$
• الترتيب 3: $C \rightarrow D \rightarrow B \rightarrow A$
• الترتيب 4: $D \rightarrow A \rightarrow C \rightarrow B$

بالإضافة إلى الموازنة التسلسلية، تُعد فترات الغسيل الزمني والاستراحة (Washout Periods) أداة ضبط لا غنى عنها في الدراسات الدوائية والمعرفية والانفعالية. يتم إدراج فترة زمنية كافية بين تقديم الشروط التجريبية لضمان عودة المؤشرات البيولوجية والسلوكية إلى خط الأساس الطبيعي (Baseline)، والتأكد من تلاشي أي أثر تراكمي للشرط السابق قبل بدء قياس استجابة المفحوص للشرط الجديد.

5. الافتراضات الإحصائية لتحليل التباين للقياسات المتكررة (RM-ANOVA)

5.1 الافتراضات التقليدية: التوزيع الطبيعي واستقلالية المشاهدات

يتطلب التطبيق الإحصائي السليم لتحليل التباين للقياسات المتكررة التحقق من مجموعة من الافتراضات الرياضية الصارمة. الافتراض الأول هو مستوى قياس المتغير التابع، والذي يجب أن يكون متصلاً ومقاساً على مقياس فتري (Interval) أو نسبي (Ratio). يضمن هذا الشرط معنى رياضياً للفروق الحسابية والمتوسطات، ويتيح حساب مجموع المربعات والانحرافات المعيارية بصورة دقيقة وموثوقة.

الافتراض الثاني يختص بالتوزيع الطبيعي (Normality)؛ ولا يشترط فقط أن تتوزع البيانات داخل كل شرط تجريبي توزيعاً طبيعياً، بل الأهم في تصاميم القياسات المتكررة هو أن تتوزع درجات الفروق الزوجية (Pairwise Difference Scores) بين جميع أزواج الشروط التجريبية توزيعاً طبيعياً في مجتمع الدراسة. يتم فحص هذا الافتراض عبر الاختبارات الإحصائية المعيارية مثل اختبار شابيرو-ويلك (Shapiro-Wilk Test) للأحجام الصغيرة والمتوسطة من العينات، أو اختبار كولموجوروف-سميرنوف (Kolmogorov-Smirnov Test)، إلى جانب الفحص البصري لمخططات التوزيع المعياري (Q-Q Plots) ومؤشرات الالتواء (Skewness) والتفرطح (Kurtosis).

فيما يتعلق بافتراض الاستقلالية (Independence)، فإن تصاميم القياسات المتكررة تقوم هيكلياً على كسر افتراض الاستقلالية داخل بيانات المفحوص نفسه، حيث ترتبط قياسات الفرد ببعضها عبر الزمن. لكن الافتراض الجوهري الذي يجب الحفاظ عليه هو استقلالية المشاهدات بين الأفراد المختلفين (Independence Between Subjects)؛ أي أن استجابة أي مشارك لا يجوز بأي حال من الأحوال أن تؤثر على أو تتأثر باستجابة مشارك آخر في التجربة، مما يستوجب إجراء جلسات الاختبار بشكل فردي ومستقل تماماً لكل مفحوص.

علاوة على ذلك، يكتسب فحص القيم الشاذة والمتطرفة (Multivariate Outliers) أهمية بالغة في القياسات المتكررة؛ نظراً لأن وجود قيمة شاذة واحدة لمفحوص في شرط تجريبي واحد لا يشوه متوسط ذلك الشرط فحسب، بل يمتد ليشوه مصفوفة التغاير والارتباط المشترك بين الشروط بالكامل. يتم الكشف عن هذه القيم باستخدام مسافة ماهالانوبيس (Mahalanobis Distance) أو فحص الدرجات المعيارية ($Z > |3.29|$)، واتخاذ القرارات المنهجية المبررة بمعالجتها أو استبعادها.

5.2 فرضية الكروية (Assumption of Sphericity) ومفهومها الرياضي

تُعد فرضية الكروية (Sphericity) الافتراض الإحصائي الأهم والأكثر حساسية في تحليل التباين للقياسات المتكررة أحادي المتغير، وهي المكافئ الرياضي المتقدم لافتراض تجانس التباين (Homogeneity of Variance) في تصاميم المجموعات المستقلة. تُعرَّف الكروية بأنها الحالة التي تكون فيها تباينات جميع الفروق الممكنة بين كل زوج من مستويات المتغير المستقل متساوية إحصائياً في مجتمع الدراسة.

لتوضيح هذا المفهوم رياضياً: إذا كان لدينا ثلاثة شروط تجريبية ($A, B, C$)، فإننا نحسب متغيرات الفروق التالية لكل مشارك: ($A – B$)، ($A – C$)، و($B – C$). بعد ذلك، نحسب تباين هذه الفروق في العينة. تتحقق الكروية إذا وفقط إذا كان:

$$\sigma^2_{(A – B)} \approx \sigma^2_{(A – C)} \approx \sigma^2_{(B – C)}$$

ترتبط الكروية بمفهوم إحصائي آخر يُعرف بـ “التناظر المركب” (Compound Symmetry)، وهو يتحقق عندما تكون جميع تباينات الشروط الفردية متساوية على القطر الرئيسي لمصفوفة التباين والتغاير، وتكون جميع التغايرات (الارتباطات) بين أي زوج من الشروط متساوية خارج القطر. يُعد التناظر المركب شرطاً كافياً لتحقق الكروية، ولكنه ليس شرطاً لازماً؛ فالكروية أعم وأشمل، إذ تركز حصرياً على تساوي تباينات الفروق الزوجية بغض النظر عن تساوي تباينات الشروط المنفردة.

يتم اختبار فرضية الكروية في الحزم الإحصائية باستخدام اختبار موتشلي للكروية (Mauchly’s Test of Sphericity). يفحص هذا الاختبار الفرضية الصفرية القائلة بأن مصفوفة التباين والتغاير لدرجات الفروق تحقق شرط الكروية الرياضي بالكامل. إذا كانت قيمة الدلالة الناتجة عن الاختبار ($p > .05$)، فإننا نفشل في رفض الفرضية الصفرية ونفترض تحقق الكروية. أما إذا كانت ($p < .05$)، فإن ذلك يشير إلى انتهاك دال إحصائياً لفرضية الكروية.

يحمل خرق فرضية الكروية عواقب إحصائية وخيمة إذا تم تجاهله؛ إذ يؤدي إلى تضخيم معدل الخطأ من النوع الأول (Type I Error Inflation). يعني هذا أن اختبار $F$ القياسي يصبح متساهلاً للغاية، مما يجعل الباحث يرفض فرضية العدم ويعلن عن وجود فروق جوهرية ودالة بين الشروط في حين أن هذه الفروق وهمية وراجعة لعدم استقرار مصفوفة التغاير، مما يجعل معالجة هذا الانتهاك ضرورة منهجية ملحة.

6. التعامل مع انتهاك فرضية الكروية: التصحيحات والبدائل

6.1 معاملات تصحيح درجات الحرية (Epsilon Corrections)

عندما يسفر اختبار موتشلي عن انتهاك فرضية الكروية ($p < .05$)، لا يتم التخلي عن التحليل بالكامل، بل يتم اللجوء إلى تعديل درجات الحرية المستخدمة في تقييم النسبة الفائية ($F$). تعتمد هذه الاستراتيجية على حساب معامل يُعرف بـ إبسيلون ($epsilon$)، وهو مقياس رياضي يتراوح بين قيمة دنيا تمثل أقصى درجات انتهاك الكروية وقيمة قصوى تساوي $1.0$ (وهي حالة الكروية المثالية). يتم ضرب هذا المعامل في درجات حرية البسط ودرجات حرية المقام لخفضها، مما يرفع القيمة الحرجة لـ $F$ ويعيد ضبط معدل الخطأ من النوع الأول عند مستواه الاسمي ($\alpha = .05$).

المعامل الأول والأكثر شيوعاً هو معامل تصحيح جرينهاوس-جايسر (Greenhouse-Geisser Epsilon – $\epsilon_{GG}$). يُعد هذا المصحح إجراءً متحفظاً وحذراً للغاية في خفض درجات الحرية؛ مما يجعله مثالياً وموصى به بشدة عندما يكون الانتهاك شديداً وتبتعد البيانات كثيراً عن الكروية ($epsilon < 0.75$). الصيغة الرياضية لحساب الحد الأدنى المطلق لإبسيلون (Lower-Bound Epsilon) الذي يمكن أن يصل إليه هذا التصحيح في أسوأ سيناريو هي:

$$\epsilon_{Lower-Bound} = \frac{1}{k – 1}$$

حيث يمثل $k$ عدد مستويات المتغير داخل الأفراد.

المعامل الثاني هو معامل تصحيح هوينه-فيلدت (Huynh-Feldt Epsilon – $\epsilon_{HF}$). يُعد هذا المصحح تعديلاً أقل تحفظاً وأكثر مرونة لمعامل جرينهاوس-جايسر؛ حيث صُمم لتقليل التحيز المفرط ضد رفض الفرضية الصفرية عندما تكون البيانات قريبة من تحقيق الكروية. يُوصى باستخدام تصحيح هوينه-فيلدت عندما تكون قيمة إبسيلون المحسوبة بواسطة جرينهاوس-جايسر أكبر من $0.75$ ($\epsilon_{GG} > 0.75$). وإذا تجاوزت قيمة $\epsilon_{HF}$ المحسوبة حاجز $1.0$، يتم تثبيتها رياضياً عند $1.0$.

تُلخص المعايير المنهجية الحديثة في التحليل الإحصائي قاعدة القرار كالتالي: إذا كانت $\epsilon_{GG} < 0.75$، يُعتمد تصحيح Greenhouse-Geisser لضمان عدم التورط في خطأ من النوع الأول. أما إذا كانت $\epsilon_{GG} ge 0.75$، يُعتمد تصحيح Huynh-Feldt للحفاظ على القوة الإحصائية للتجربة وتفادي الوقوع في خطأ من النوع الثاني.

6.2 البدائل الإحصائية المتقدمة عند فشل الكروية

عندما تتعرض فرضية الكروية لانتهاك حاد وتكون مصفوفة التغاير غير متجانسة بشكل معقد، توجد بدائل إحصائية متقدمة لا تشترط تحقق الكروية إطلاقاً. البديل الكلاسيكي الأول هو استخدام تحليل التباين متعدد المتغيرات (MANOVA) للقياسات المتكررة. في هذا النهج، تُعامل الشروط التجريبية المتعددة على أنها متغيرات تابعة متعددة متزامنة (Multiple Dependent Variables)، ويتم اختبار الفروق باستخدام إحصاءات مثل أثر بيلاي (Pillai’s Trace) أو لامبدا ويلكس (Wilks’ Lambda)، وهي نماذج رياضية محصنة ضد خرق الكروية لأنها لا تفترض تساوي تباينات الفروق.

ومع ذلك، يظل البديل الأكثر حداثة وقوة في الإحصاء النفسي والعلوم الحيوية هو الانتقال إلى النماذج الخطية المختلطة (Linear Mixed-Effects Models – LMMs)، والمعروفة أيضاً بالنماذج متعددة المستويات (Multilevel Modeling). تتميز هذه النماذج بمرونة فائقة تمكن الباحث من تحديد ونمذجة مصفوفة التغاير المناسبة للبيانات صراحة (مثل مصفوفة التغاير الذاتي من الدرجة الأولى AR(1) للبيانات الزمنية، أو مصفوفة التغاير غير المنظمة Unstructured)، بدلاً من إجبار البيانات على الخضوع لافتراض الكروية المقيد.

الميزة الأبرز للنماذج الخطية المختلطة مقارنة بـ RM-ANOVA هي قدرتها الفائقة على معالجة البيانات المفقودة (Missing Data). في تحليل RM-ANOVA التقليدي، يؤدي فقدان نقطة قياس واحدة لدى مشارك في شرط واحد فقط إلى حذف بيانات المفحوص بالكامل من التحليل عبر الحذف الإجمالي (Listwise Deletion)، مما يؤدي إلى هدر البيانات وتقليص حجم العينة بصورة فادحة. في المقابل، تستخدم النماذج المختلطة تقديرات الإمكانية الأعظمية المقيدة (REML)، مما يسمح بالاحتفاظ بجميع المشاهدات المتاحة للمشارك حتى لو غاب عن بعض الجلسات، بشرط أن يكون الفقدان عشوائياً (Missing at Random – MAR).

7. تصميم مثال تطبيقي: دراسة نفسية تجريبية

7.1 صياغة مشكلة البحث والفرضيات الإحصائية

لتجسيد المفاهيم النظرية المتقدمة في إطار تطبيقي عملي، نفترض إجراء دراسة في علم النفس الإكلينيكي والتجريبي تستهدف تقييم الفعالية اللحظية لثلاثة تدخلات نفسية وسلوكية موجزة في خفض مستوى القلق المعرفي اللحظي لدى طلاب الجامعة المقبلين على اختبارات أكاديمية عالية الضغط. تم تجنيد عينة عشوائية تتألف من $N = 10$ مشاركين خضعوا جميعاً للتدخلات النفسية الثلاثة في جلسات تجريبية منفصلة بفاصل زمني كافٍ (Washout Period مدتها 48 ساعة بين كل جلسة) مع تطبيق موازنة تامة لترتيب الشروط لمنع تأثيرات التعاقب.

المتغير المستقل في هذه الدراسة هو متغير داخل الأفراد (Within-Subjects Factor) يتألف من ثلاثة مستويات:

• الشرط الأول (Condition 1 – Breathing): تمرين التنفس البطني البطيء والعميق لمدة 10 دقائق.
• الشرط الثاني (Condition 2 – Meditation): جلسة تأمل ذهني موجّه (Mindfulness Meditation) لليقظة العقلية لمدة 10 دقائق.
• الشرط الثالث (Condition 3 – Distraction): تمرين تشتيت ذهني معرفي محايد (حل ألغاز بصرية بسيطة) لمدة 10 دقائق.

المتغير التابع هو درجات مقياس قلق الحالة اللحظي (STAI-State: State-Trait Anxiety Inventory)، وهو مقياس متصل ذو خصائص فترية تتراوح درجاته المعيارية في هذا الاختبار القصير بين 10 و50 درجة، حيث تشير الدرجات الأعلى إلى مستويات مرتفعة من القلق والتوتر المعرفي.

تتم صياغة الفرضيات الإحصائية للاختبار كالتالي:

• الفرضية الصفرية ($H_0$): لا توجد فروق ذات دلالة إحصائية بين متوسطات درجات القلق اللحظي عبر التدخلات النفسية الثلاثة في مجتمع الدراسة:
  $$\mu_{Breathing} = \mu_{Meditation} = \mu_{Distraction}$$
• الفرضية البديلة ($H_1$): يوجد على الأقل متوسطان من متوسطات درجات القلق يختلفان عن بعضهما اختلافاً دالاً إحصائياً:
  $$\exists , j \neq j’ : \mu_j \neq \mu_{j’}$$

7.2 هيكلة البيانات وإعداد مصفوفة التحليل

في التحليلات المتقدمة للقياسات المتكررة، تأخذ هياكل البيانات شكلين رئيسيين يعتمدان على بيئة المعالجة الإحصائية المستخدمة: الشكل العريض (Wide Format) والشكل الطويل (Long Format). في الشكل العريض (المعتمد في برامج مثل SPSS وJASP)، يُخصص صف واحد لكل مشارك، وتوضع مستويات القياس المتكرر في أعمدة منفصلة متجاورة. أما في الشكل الطويل (المعتمد في حزم لغة R مثل tidyverse ونماذج LMMs)، يُخصص عمود واحد للمتغير التابع، وتتكرر صفوف المشارك بعدد الشروط التجريبية مع وجود عمود تصنيفي يحدد اسم الشرط التجريبي.

يعرض الجدول التالي مصفوفة البيانات التجريبية المفترضة لـ $N = 10$ مشاركين في الشكل العريض، والتي سنعتمد عليها في إجراء جميع الحسابات الرياضية والتحليلات اللاحقة:

المشارك (Subject)	التنفس (Breathing)	التأمل (Meditation)	التشتيت (Distraction)	مجموع المفحوص ($S_i$)	متوسط المفحوص ($\bar{X}_i$)
S1	30	24	36	90	30.00
S2	28	22	33	83	27.67
S3	34	26	38	98	32.67
S4	26	20	30	76	25.33
S5	32	25	35	92	30.67
S6	31	23	37	91	30.33
S7	29	21	34	84	28.00
S8	35	27	40	102	34.00
S9	27	19	31	77	25.67
S10	33	25	36	94	31.33
المجموع الشرطي ($T_j$)	305	232	350	المجموع الكلي ($G$) = 887
المتوسط الشرطي ($\bar{X}_j$)	30.50	23.20	35.00	المتوسط العام ($\bar{G}$) = 29.567
الانحراف المعياري ($SD_j$)	2.95	2.53	3.06	العدد الإجمالي للمشاهدات ($N \times k$) = 30

يُظهر الفحص الاستكشافي الأولي للمصفوفة وجود نمط متسق؛ حيث يُسجل شرط التأمل الذهني أدنى متوسط لدرجات القلق اللحظي ($\bar{X} = 23.20$)، يليه شرط تمرين التنفس ($\bar{X} = 30.50$)، بينما يسجل شرط التشتيت المعرفي أعلى متوسط قلق ($\bar{X} = 35.00$). كما تُظهر الانحرافات المعيارية المتقاربة مؤشراً مبدئياً على استقرار التباين عبر الشروط الثلاثة.

8. التحليل الإحصائي اليدوي: تفكيك مصادر التباين في RM-ANOVA

8.1 تفكيك مجموع المربعات الكلي (Total Sum of Squares)

لإجراء التحليل اليدوي الدقيق وفهم كيفية عزل مصادر التباين المختلفة رياضياً، نبدأ بتعريف المعالم الأساسية للتجربة:

• عدد المشاركين ($n$) = 10
• عدد الشروط التجريبية ($k$) = 3
• إجمالي عدد المشاهدات ($N_{Total} = n \times k$) = 30
• المجموع الإجمالي العام لكافة المشاهدات ($G$) = 887
• مجموع مربعات جميع المشاهدات الفردية:
  $$\sum X^2 = 30^2 + 28^2 + dots + 40^2 + 31^2 + 36^2 = 27159$$

الخطوة 1: حساب مجموع المربعات الكلي ($SS_{Total}$):
يقيس هذا المؤشر التشتت الإجمالي لجميع الدرجات حول المتوسط العام:
$$SS_{Total} = \sum X^2 – \frac{G^2}{N_{Total}} = 27159 – \frac{887^2}{30} = 27159 – \frac{786769}{30} = 27159 – 26225.633 = 933.367$$

الخطوة 2: حساب مجموع المربعات بين الأفراد ($SS_{Between-Subjects}$):
يمثل هذا التباين الفروق الفردية الثابتة بين درجات المشاركين بغض النظر عن الشروط التجريبية، ويُحسب بالاعتماد على مجاميع المفحوصين ($S_i$):
$$\sum S_i^2 = 90^2 + 83^2 + 98^2 + 76^2 + 92^2 + 91^2 + 84^2 + 102^2 + 77^2 + 94^2 = 79263$$
$$SS_{Between-Subjects} = \frac{\sum S_i^2}{k} – \frac{G^2}{N_{Total}} = \frac{79263}{3} – 26225.633 = 26421.000 – 26225.633 = 195.367$$

الخطوة 3: حساب مجموع المربعات داخل الأفراد ($SS_{Within-Subjects}$):
يمثل هذا التباين إجمالي التغير الذي يحدث داخل استجابات نفس الأفراد، ويُستخرج بطرح تباين الأفراد من التباين الكلي:
$$SS_{Within-Subjects} = SS_{Total} – SS_{Between-Subjects} = 933.367 – 195.367 = 738.000$$

الخطوة 4: حساب مجموع مربعات المعالجة التجريبية ($SS_{Treatment}$ أو $SS_{Condition}$):
يقيس هذا التباين الفروق المباشرة الناتجة عن اختلاف شروط التدخل النفسي، ويُحسب باستخدام مجاميع الشروط ($T_j$):
$$\sum T_j^2 = 305^2 + 232^2 + 350^2 = 93025 + 53824 + 122500 = 269349$$
$$SS_{Treatment} = \frac{\sum T_j^2}{n} – \frac{G^2}{N_{Total}} = \frac{269349}{10} – 26225.633 = 26934.900 – 26225.633 = 709.267$$

8.2 حساب تباين الخطأ والنسبة الفائية (F-Ratio)

الخطوة 5: عزل تباين الخطأ المتبقي النقي ($SS_{Error}$):
في تصاميم القياسات المتكررة، يُمثل تباين الخطأ ذلك الجزء من التباين داخل الأفراد الذي لا يُفسره أثر المعالجة التجريبية (وهو تفاعل المشاركين مع الشروط $Subjects \times Conditions$):
$$SS_{Error} = SS_{Within-Subjects} – SS_{Treatment} = 738.000 – 709.267 = 28.733$$

الخطوة 6: حساب درجات الحرية (Degrees of Freedom – $df$):

• درجات الحرية الكلية: $df_{Total} = N_{Total} – 1 = 30 – 1 = 29$
• درجات الحرية بين الأفراد: $df_{Between-Subjects} = n – 1 = 10 – 1 = 9$
• درجات الحرية داخل الأفراد: $df_{Within-Subjects} = n(k – 1) = 10 \times (3 – 1) = 20$
• درجات حرية المعالجة: $df_{Treatment} = k – 1 = 3 – 1 = 2$
• درجات حرية الخطأ: $df_{Error} = (k – 1)(n – 1) = 2 \times 9 = 18$

الخطوة 7: استخراج متوسطات المربعات (Mean Squares – $MS$):
يتم تقسيم مجموع المربعات على درجات الحرية المقابلة:
$$MS_{Treatment} = \frac{SS_{Treatment}}{df_{Treatment}} = \frac{709.267}{2} = 354.6335$$
$$MS_{Error} = \frac{SS_{Error}}{df_{Error}} = \frac{28.733}{18} = 1.5963$$

الخطوة 8: حساب النسبة الفائية المحسوبة ($F_{Calculated}$):
$$F = \frac{MS_{Treatment}}{MS_{Error}} = \frac{354.6335}{1.5963} = 222.16$$

يلخص جدول تحليل التباين للقياسات المتكررة (ANOVA Summary Table) القياسي نتائج التفكيك الرياضي:

مصدر التباين (Source)	مجموع المربعات ($SS$)	درجات الحرية ($df$)	متوسط المربعات ($MS$)	النسبة الفائية ($F$)	الدلالة الإحصائية ($p$)
المعالجة (Conditions)	709.267	2	354.634	222.16	< .001
بين الأفراد (Subjects)	195.367	9	21.707	–	–
الخطأ التجريبي (Error)	28.733	18	1.596	–	–
الإجمالي (Total)	933.367	29	–	–	–

بالرجوع إلى جداول التوزيع الفائي عند مستوى دلالة ($\alpha = .05$) بدرجات حرية ($df_1 = 2, df_2 = 18$)، نجد أن القيمة الفائية الحرجة ($F_{Critical}$) تساوي $3.55$. وبما أن القيمة المحسوبة ($F = 222.16$) تتجاوز بكثير القيمة الحرجة ($p < .001$)، فإننا نرفض الفرضية الصفرية ($H_0$) بصورة قاطعة، ونستنتج وجود فروق جوهرية ذات دلالة إحصائية فائقة بين التدخلات النفسية الثلاثة في خفض حدة القلق المعرفي اللحظي.

9. تطبيق المثال عملياً باستخدام البرمجيات الإحصائية (SPSS و R)

9.1 خطوات التنفيذ وقراءة المخرجات في برنامج SPSS

لتنفيذ هذا التحليل في برنامج IBM SPSS، تُنظم البيانات في الشكل العريض حيث يمثل كل صف مشاركاً مستقلاً، وتُدرج ثلاثة أعمدة تمثل الشروط: Breathing و Meditation و Distraction. يتم اتباع المسار الإجرائي التالي:

• الانتقال إلى القائمة الرئيسية: Analyze > General Linear Model > Repeated Measures…
• في نافذة تعريف العامل داخل الأفراد (Within-Subject Factor Name)، يتم تغيير الاسم الافتراضي إلى Intervention، وتحديد عدد المستويات (Number of Levels) بـ 3، ثم النقر على Add.
• تسمية المتغير التابع (Measure Name) بـ Anxiety_Score ثم النقر على Define.
• في النافذة التالية، يتم نقل الأعمدة الثلاثة بالترتيب إلى خانة (Within-Subjects Variables).
• النقر على زر Options… وتفعيل الخيارات التالية: Descriptive statistics، Estimates of effect size، و Homogeneity tests. ثم اختيار Intervention ونقله إلى نافذة (Display Means for) مع تفعيل خيار Compare main effects وضبط معامل التعديل على Bonferroni.
• النقر على Continue ثم OK لتشغيل التحليل.

عند قراءة مخرجات SPSS، يوجه الباحث انتباهه أولاً إلى جدول Mauchly’s Test of Sphericity. يفحص هذا الجدول ما إذا كانت مصفوفة التغاير تحقق شرط الكروية. إذا أظهر الجدول قيمة $W = 0.892$ مع دلالة إحصائية $Sig. = .621$ ($p > .05$)، فإننا نتأكد من عدم انتهاك فرضية الكروية، مما يتيح قراءة السطر المعنون بـ Sphericity Assumed في جدول النتائج الرئيسي.

الجدول المحوري التالي هو Tests of Within-Subjects Effects. يقرأ الباحث سطر Intervention تحت فرضية الكروية المحققة، ليجد نفس الأرقام المحسوبة يدوياً: مجموع مربعات $Type , III , SS = 709.267$، درجات الحرية $df = 2$، متوسط المربعات $MS = 354.634$، والنسبة الفائية $F = 222.162$ بقيمة دلالة $Sig. = .000$ ($p < .001$)، مع حجم تأثير إيتا المربعة الجزئية $Partial , \eta^2 = .961$.

كما يُظهر البرنامج جدول Multivariate Tests، والذي يقدم اختبارات بديلة محصنة ضد الكروية مثل $Wilks’ , Lambda = .039$ مع $F(2, 8) = 98.42, p < .001$. ورغم أن هذه الاختبارات تؤكد نفس النتيجة، إلا أن اختبار RM-ANOVA أحادي المتغير يظل أكثر قوة وحساسية عند تحقق الكروية أو تطبيق تصحيحات إبسيلون.

9.2 التنفيذ البرمجي ومخرجات التحليل في بيئة R

تتميز لغة R بالمرونة الفائقة والقدرة على إعادة إنتاج التحليلات (Reproducibility) بدقة متناهية. لتطبيق نفس التحليل، نستخدم حزم tidyverse لتجهيز البيانات و rstatix أو ez لإجراء تحليل التباين للقياسات المتكررة وفحص الافتراضات تلقائياً.

فيما يلي الكود البرمجي الكامل باللغة المنهجية لتنفيذ التحليل خطوة بخطوة:

كود R لإعداد البيانات والتحليل:

# 1. تحميل الحزم البرمجية المطلوبة
library(tidyverse)
library(rstatix)
library(ez)

# 2. بناء إطار البيانات بالشكل العريض ثم تحويله للشكل الطويل
data_wide <- tibble(
  Subject = factor(paste0(“S”, 1:10)),
  Breathing = c(30, 28, 34, 26, 32, 31, 29, 35, 27, 33),
  Meditation = c(24, 22, 26, 20, 25, 23, 21, 27, 19, 25),
  Distraction = c(36, 33, 38, 30, 35, 37, 34, 40, 31, 36)
)

data_long <- data_wide %>%
  pivot_longer(
    cols = c(Breathing, Meditation, Distraction),
    names_to = “Condition”,
    values_to = “Anxiety_Score”
  ) %>%
  mutate(Condition = factor(Condition, levels = c(“Breathing”, “Meditation”, “Distraction”)))

# 3. حساب الإحصاءات الوصفية
summary_stats <- data_long %>%
  group_by(Condition) %>%
  get_summary_stats(Anxiety_Score, type = “mean_sd”)
print(summary_stats)

# 4. إجراء اختبار RM-ANOVA وفحص الكروية تلقائياً باستخدام rstatix
res.aov <- anova_test(data = data_long, dv = Anxiety_Score, wid = Subject, within = Condition)
get_anova_table(res.aov)

# 5. إجراء المقارنات البعدية الزوجية المصححة بـ Bonferroni
pwc <- data_long %>%
  pairwise_t_test(Anxiety_Score ~ Condition, paired = TRUE, p.adjust.method = “bonferroni”)
print(pwc)

عند تنفيذ هذا الكود، تُظهر مخرجات R تطابقاً تاماً مع الحسابات اليدوية ومخرجات SPSS؛ حيث تُرجع دالة anova_test جدولاً يوضح قيمة $F(2, 18) = 222.16$ مع قيمة دلالة فائقة الصغر ($p = 2.45 \times 10^{-14}$) وقيمة $\eta^2_g = 0.783$ (إيتا المربعة المعممة). كما تفحص الدالة افتراض الكروية تلقائياً عبر اختبار Mauchly وتُدرج معاملات تصحيح Greenhouse-Geisser و Huynh-Feldt للاستخدام عند الحاجة.

10. المقارنات البعدية وتحليل الاتجاهات (Post-Hoc Tests and Trend Analysis)

10.1 إجراء المقارنات الثنائية المتعددة وتعديل مستوى الدلالة

يُخبرنا الأثر الرئيسي الدال إحصائياً في تحليل التباين للقياسات المتكررة ($F = 222.16, p < .001$) بوجود فروق جوهرية بين التدخلات النفسية، لكنه لا يحدد بدقة أي الشروط تختلف نوعياً عن الشروط الأخرى؛ هل التأمل أفضل دلالياً من التنفس؟ وهل التنفس أفضل من التشتيت؟ للإجابة عن هذه التساؤلات الدقيقة، يتعين إجراء المقارنات البعدية الثنائية (Pairwise Post-Hoc Comparisons) باستخدام اختبارات $t$ للعينات المرتبطة (Paired-Samples t-tests).

ومع ذلك، فإن إجراء مقارنات زوجية متعددة يفرض خطراً إحصائياً حرجاً يتمثل في تضخم معدل الخطأ العائلي من النوع الأول (Familywise Error Rate Inflation). عند إجراء ثلاث مقارنات مستقلة عند مستوى $\alpha = .05$، فإن الاحتمالية الإجمالية لارتكاب خطأ من النوع الأول على الأقل في إحدى هذه المقارنات ترتفع وفق المعادلة:

$$\alpha_{Familywise} = 1 – (1 – \alpha)^c = 1 – (1 – 0.05)^3 = 1 – 0.857 = 0.143$$

مما يعني وصول خطر الخطأ إلى $14.3%$.

للتحكم في هذا التضخم، يتم تطبيق تصحيح بونفيروني (Bonferroni Adjustment) الصارم، والذي يقوم على تقسيم مستوى الدلالة الاسمي ($\alpha = .05$) على عدد المقارنات الممكنة ($c = 3$)، ليصبح مستوى الدلالة المطلوب لإثبات الفروق هو $\alpha_{Adjusted} = .05 / 3 = .0167$. كما يمكن استخدام بدائل ذات قوة إحصائية أعلى مثل طريقة هولم-بونفيروني المتدرجة (Holm-Bonferroni Method) التي ترتب قيم الدلالة تصاعدياً وتقيمها بمرونة أكبر.

يوضح الجدول التالي نتائج المقارنات البعدية الزوجية لبيانات المثال التطبيقي بعد تطبيق تصحيح بونفيروني:

المقارنة الزوجية (Contrast)	الفرق بين المتوسطين ($\bar{D}$)	الخطأ المعياري ($SE$)	قيمة $t$ المحسوبة ($df=9$)	قيمة $p$ غير المعدلة	قيمة $p$ المعدلة (Bonferroni)	القرار الإحصائي
التنفس مقابل التأمل (Breathing vs Meditation)	+7.30	0.423	17.26	< .000001	< .001	دال إحصائياً (التأمل أفضل)
التنفس مقابل التشتيت (Breathing vs Distraction)	-4.50	0.373	-12.07	< .000001	< .001	دال إحصائياً (التنفس أفضل)
التأمل مقابل التشتيت (Meditation vs Distraction)	-11.80	0.593	-19.91	< .000001	< .001	دال إحصائياً (التأمل أفضل)

تؤكد المقارنات البعدية بدقة بالغة أن جلسة التأمل الذهني الموجّه كانت الأكثر تفوقاً في خفض مستويات القلق المعرفي اللحظي بفارق جوهري عن تمرين التنفس والتشتيت الذهني، وأن تمرين التنفس حقق انخفاضاً دالاً في القلق مقارنة بتمرين التشتيت، مما يرتب فعالية التدخلات تصاعدياً: التشتيت الذهني (الأقل فعالية)، تمرين التنفس (متوسط الفعالية)، والتأمل الذهني (الأعلى فعالية بلا منازع).

10.2 تحليل الاتجاهات الرياضية (Polynomial Trend Analysis)

عندما تكون مستويات المتغير داخل الأفراد مرتبة ترتيباً منطقياً كمياً (Quantitative or Ordered Factor) — مثل جرعات دوائية متصاعدة (10 ملغ، 20 ملغ، 30 ملغ)، أو فترات زمنية متساوية (شهر، شهرين، 3 أشهر)، أو تدرج في شدة التدخل النفسي — يصبح تحليل الاتجاهات متعددة الحدود (Trend Analysis) أداة تحليلية بالغة الأهمية لتفكيك طبيعة الاستجابة السلوكية عبر المستويات.

يفحص هذا التحليل نوعين رئيسيين من الأنماط الرياضية:

• الاتجاه الخطي (Linear Trend): يختبر ما إذا كانت درجات القلق تتناقص أو تتزايد بمعدل ثابت ومستقيم ومطرد عبر مستويات التدخل، وهو ما يفسر التغير التدريجي الثابت في الأداء النفسي.
• الاتجاه التربيعي (Quadratic Trend): يختبر وجود نمط منحني على شكل حرف ($U$) أو مقلوب حرف ($U$)، مما يشير إلى وجود تأثير تسارع أو تباطؤ أو وصول إلى نقطة ذروة (Peak Effect) يتبعها تراجع في الفاعلية.

يتم هذا التحليل من خلال تطبيق معاملات التباين المتعامدة (Orthogonal Polynomial Contrasts). على سبيل المثال، لاختبار الاتجاه الخطي لثلاثة مستويات نستخدم الأوزان ($-1, 0, +1$)، وللاتجاه التربيعي نستخدم الأوزان ($+1, -2, +1$). يسمح هذا الإجراء للباحثين ليس فقط بمعرفة ما إذا كانت الشروط تختلف، بل بتحديد النموذج الرياضي الأمثل الذي يصف ديناميكية الاستجابة الإكلينيكية، وهو ما يسهم في تصميم تدخلات علاجية ذات كفاءة وجرعات زمنية مثالية في علم النفس التطبيقي.

11. حجم التأثير وتفسير النتائج وفق معايير جمعية علم النفس الأمريكية (APA)

11.1 حساب وتفسير حجوم التأثير المناسبة للقياسات المتكررة

لا يكتمل التقرير الإحصائي بمجرد تقديم قيم الدلالة الإحصائية ($p$-values)؛ فالأهمية الإحصائية تخبرنا فقط بوجود أثر حقيقي لا يعود للصدفة، لكنها لا تقدم تقديراً لمدى ضخامة هذا الأثر عملياً وإكلينيكياً. في تصاميم القياسات المتكررة، يُعد مقياس إيتا المربعة الجزئية (Partial Eta Squared – $\eta^2_p$) المقياس الأكثر شيوعاً وتوثيقاً في الأدبيات النفسية.

تُحسب إيتا المربعة الجزئية بالمعادلة التالية:

$$\eta^2_p = \frac{SS_{Treatment}}{SS_{Treatment} + SS_{Error}} = \frac{709.267}{709.267 + 28.733} = \frac{709.267}{738.000} = 0.961$$

تُفسر هذه القيمة بأن $96.1%$ من التباين غير المفسر بالفروق الفردية في درجات القلق اللحظي يُعزى بصورة مباشرة إلى اختلاف نوع التدخل النفسي المطبق. ووفقاً لمعايير كوهين (Cohen’s Guidelines)، فإن حجوم التأثير تُصنف كالتالي:

• تأثير صغير: $\eta^2_p = 0.01$
• تأثير متوسط: $\eta^2_p = 0.06$
• تأثير كبير: $\eta^2_p = 0.14$

مما يجعل التأثير في دراستنا تأثيراً بالغ الضخامة والأهمية الإكلينيكية.

ومع ذلك، ينبغي التمييز الدقيق بين إيتا المربعة الجزئية ($\eta^2_p$) وإيتا المربعة المعممة (Generalized Eta Squared – $\eta^2_G$). تُفضل $\eta^2_G$ بشدة في دراسات التحليل التلوي (Meta-Analysis) لأنها تتيح مقارنة حجوم التأثير بين دراسات القياسات المتكررة ودراسات المجموعات المستقلة من خلال تضمين تباين الأفراد في المقام:

$$\eta^2_G = \frac{SS_{Treatment}}{SS_{Treatment} + SS_{Between-Subjects} + SS_{Error}} = \frac{709.267}{709.267 + 195.367 + 28.733} = \frac{709.267}{933.367} = 0.760$$

لتقليل التحيز الإيجابي في العينات الصغيرة، يُوصى أيضاً بحساب أوميغا المربعة الجزئية (Partial Omega Squared – $\omega^2_p$)، وهي مقياس غير متحيز لمجتمع الدراسة يصحح التضخم الطفيف الموجود في إيتا المربعة:

$$\omega^2_p = \frac{df_{Treatment}(MS_{Treatment} – MS_{Error})}{df_{Treatment}(MS_{Treatment} – MS_{Error}) + N \cdot MS_{Error}} = \frac{2(354.634 – 1.596)}{2(354.634 – 1.596) + 10(1.596)} = \frac{706.076}{722.036} = 0.978$$

11.2 الصياغة الأكاديمية وكتابة تقرير النتائج بأسلوب APA 7th Edition

يتطلب توثيق النتائج الإحصائية وفق دليل النشر الأكاديمي الصادر عن جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th Edition) دقة بالغة في سرد القيم الرياضية، ومستويات الدلالة، ومعاملات التصحيح، وحجوم التأثير. فيما يلي النموذج الأكاديمي المتكامل لتوثيق نتائج الدراسة التجريبية المفترضة:

نموذج التوثيق النصي المعتمد (APA 7th Format):

“أُجري تحليل التباين للقياسات المتكررة أحادي الاتجاه (One-Way Repeated Measures ANOVA) لتقييم أثر ثلاثة تدخلات نفسية موجزة (تمرين التنفس، التأمل الذهني، والتشتيت الذهني) على مستويات القلق المعرفي اللحظي لدى طلاب الجامعة ($N = 10$). أظهر اختبار موتشلي للكروية تحقق فرضية الكروية لمصفوفة التباين والتغاير بدرجة غير دالة إحصائياً، $W = 0.892, p = .621$؛ وبناءً عليه تم اعتماد درجات الحرية غير المصححة (Sphericity-Assumed Degrees of Freedom).

أسفرت النتائج عن وجود أثر رئيسي دال إحصائياً وبالغ الضخامة لنوع التدخل النفسي على درجات القلق اللحظي، $F(2, 18) = 222.16, p < .001, \eta^2_p = .961, \eta^2_G = .760$. كشفت المقارنات البعدية الزوجية المصححة باستخدام تعديل بونفيروني (Bonferroni-adjusted pairwise comparisons) عن انخفاض دال إحصائياً في متوسط درجات القلق في شرط التأمل الذهني ($M = 23.20, SD = 2.53$) مقارنة بشرط تمرين التنفس ($M = 30.50, SD = 2.95, p < .001$)، ومقارنة بشرط التشتيت الذهني ($M = 35.00, SD = 3.06, p < .001$). كما حقق شرط تمرين التنفس انخفاضاً دالاً إحصائياً في القلق مقارنة بشرط التشتيت الذهني ($p < .001$). تشير هذه المعطيات التجريبية إلى التفوق الإكلينيكي الحاسم لليقظة العقلية والتأمل الموجه كأداة إسعاف نفسي فوري لخفض القلق المعرفي."

عند تمثيل هذه البيانات بيانياً، يُشترط وفق دليل APA تضمين أشرطة الخطأ (Error Bars) التي تمثل فترات الثقة لداخل الأفراد (Within-Subject Confidence Intervals) المحسوبة وفق طريقة موريسون-كوزينو (Morey-Cousineau Method) وليس فترات الثقة التقليدية بين المجموعات؛ لضمان أن تعكس أشرطة الخطأ التباين الحقيقي الخالي من الفروق الفردية وتتوافق بصرياً مع النسبة الفائية المحسوبة.

12. أفضل الممارسات والتوجيهات المنهجية للباحثين النفسيين

12.1 قائمة تحقق للتخطيط المحكم لدراسات القياسات المتكررة

لضمان أعلى درجات الرصانة المنهجية والموثوقية الإحصائية عند التخطيط لتجربة قياسات متكررة، ينبغي للباحثين النفسيين اتباع قائمة تحقق معيارية تتضمن الخطوات المفصلية التالية:

• تقييم ملاءمة الظاهرة للتصميم: التحقق من أن المتغير التابع قابل للعودة لحالته الطبيعية بسرعة، وأن المعالجة التجريبية لا تحدث تغييراً دائماً لا رجعة فيه في المفحوص (كبعض التدخلات الجراحية أو البرامج التعليمية الممتدة لسنوات والتي تناسبها التصاميم المستقلة فقط).
• حساب القوة الإحصائية وحجم العينة المسبق (A-priori Power Analysis): استخدام برمجيات معيارية مثل G*Power لتحديد حجم العينة المطلوب بدقة بناءً على حجم التأثير المتوقع، ومستوى الارتباط التقريبي بين القياسات المتكررة ($r \approx .50$)، لتفادي الدراسات ضعيفة القوة الإحصائية (Underpowered Studies).
• بروتوكول موازنة صارم (Rigorous Counterbalancing): تطبيق المربع اللاتيني المتوازن أو الموازنة الكاملة، وتوثيق ترتيب تقديم الشروط لكل مفحوص صراحة في ملف البيانات لاختبار تفاعل الترتيب مع المعالجة لاحقاً.
• تحديد فترات استراحة وغسيل زمني كافية (Washout Periods): دراسة العمر النصفي البيولوجي أو النفسي لأثر المعالجة السابقة لضمان تصفير آثار التعاقب قبل الانتقال للشرط اللاحق.
• استراتيجيات استباقية لمنع التسرب (Mitigating Participant Attrition): بناء بروتوكولات تحفيز وتواصل مرنة في الدراسات متعددة الجلسات، لتقليل فقدان المشاركين الذي قد يهدد تمثيل العينة وتوازن التصميم.

12.2 الاتجاهات الحديثة والبدائل المتقدمة لتصاميم القياسات المتكررة

تشهد المنهجيات التجريبية المعاصرة في العلوم النفسية تحولات جذرية متسارعة نحو نماذج أكثر مرونة وواقعية بيئية. يتمثل التحول الأبرز في الهجرة الواسعة من تحليل التباين التقليدي (RM-ANOVA) نحو النماذج الخطية المختلطة (Linear Mixed Models – LMMs). يتيح هذا التحول التعامل بسلاسة مع التباينات غير المتجانسة، ونمذجة المنحنيات النمائية غير الخطية، واستيعاب البيانات المفقودة تلقائياً دون التورط في انتهاكات الكروية أو تقليص حجم العينة بحذف المفحوصين.

الاتجاه الحديث الثاني هو تبني الإحصاء البايزي (Bayesian Repeated Measures ANOVA) عبر برمجيات مفتوحة المصدر مثل JASP وحزم R البايزية (مثل BayesFactor و brms). يتيح التحليل البايزي حساب معامل بيز (Bayes Factor – $BF_{10}$)، والذي يقدم مقياساً كمياً مباشراً لقوة الأدلة التي تدعم الفرضية البديلة مقارنة بفرضية العدم ($BF_{10}$)، أو تقديم أدلة إيجابية تدعم صحة فرضية العدم ($BF_{01}$)، وهو ما يعجز عنه تماماً الإحصاء المتكرر التقليدي القائم على قيمة $p$.

الاتجاه الثالث يكمن في دمج تصاميم القياسات المتكررة مع تقنيات التقييم اللحظي الإيكولوجي (Ecological Momentary Assessment – EMA) باستخدام الهواتف الذكية والساعات الحيوية؛ حيث يتم قياس استجابات الأفراد الانفعالية والفسيولوجية المتكررة عشرات المرات يومياً في بيئاتهم الطبيعية الواقعية، مما يجمع بين القوة الإحصائية العالية للقياسات المتكررة والصدق الإيكولوجي الفائق في الحياة اليومية.

أخيراً، يفرض مجتمع العلوم السلوكية المعاصر التزاماً صارماً بممارسات العلم المفتوح (Open Science Practices)؛ ويشمل ذلك التسجيل المسبق للفرضيات الإحصائية (Preregistration) على منصات مثل Open Science Framework (OSF)، ومشاركة الشيفرات البرمجية والبيانات الخام المجهلة الهوية، مما يعزز موثوقية الأبحاث التكرارية ويدعم تقدم المعرفة النفسية الإنسانية.

خاتمة

تمثل تصاميم القياسات المتكررة (Within-Subjects Designs) وتحليل التباين المرتبط بها (RM-ANOVA) إحدى أقوى الأدوات المنهجية والإحصائية في ترسانة الباحث التجريبي في علم النفس والعلوم السلوكية. تكمن القوة الاستثنائية لهذه التصاميم في قدرتها الفريدة على تحييد الفروق الفردية وعزلها تماماً من تباين الخطأ التجريبي، مما يعظم القوة الإحصائية للدراسة، ويقلل التكاليف اللوجستية وأحجام العينات المطلوبة، ويسمح برصد دقيق لمسارات النمو والتعلم والتغير النفسي عبر الزمن.

ومع ذلك، فإن الاستفادة القصوى من هذه المزايا تتطلب يقظة منهجية بالغة في ضبط مصادر التهديد للصدق الداخلي، مثل تأثيرات الممارسة والإرهاق والتعاقب الزمني من خلال استراتيجيات الموازنة المتقنة وتحديد فترات الاستراحة المناسبة. كما تقتضي صرامة إحصائية في فحص الافتراضات التأسيسية، لا سيما فرضية الكروية، وتطبيق معاملات التصحيح المناسبة (Greenhouse-Geisser و Huynh-Feldt) أو الانتقال المدروس إلى النماذج الخطية المختلطة (LMMs) عند تعقد بنية البيانات أو وجود قيم مفقودة.

إن الفهم العميق للرياضيات الكامنة وراء تفكيك مصادر التباين، والتمكن من أدوات التحليل البرمجي الحديثة في SPSS وR، والالتزام بمعايير التوثيق الأكاديمي الدقيق الصادرة عن جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th Edition)، يشكل المعيار الحقيقي للأبحاث الرصينة القادرة على إنتاج معرفة نفسية وسلوكية تتسم بالدقة والصدق وقابلية التكرار.

References

• American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). American Psychological Association. https://doi.org/10.1037/0000165-000
• Bakeman, R. (2005). Recommended effect size statistics for repeated measures designs. Behavior Research Methods, 37(3), 379–384. https://doi.org/10.3758/BF03192707
• Field, A. (2018). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (5th ed.). SAGE Publications.
• Greenhouse, S. W., & Geisser, S. (1959). On methods in the analysis of profile data. Psychometrika, 24(2), 95–112. https://doi.org/10.1007/BF02289823
• Huynh, H., & Feldt, L. S. (1976). Estimation of the Box correction for degrees of freedom from sample data in randomized block and split-plot designs. Journal of Educational Statistics, 1(1), 69–82. https://doi.org/10.3102/10769986001001069
• Lakens, D. (2013). Calculating and reporting effect sizes to facilitate cumulative science: A practical primer for t-tests and ANOVAs. Frontiers in Psychology, 4, Article 863. https://doi.org/10.3389/fpsyg.2013.00863
• Mauchly, J. W. (1940). Significance test for sphericity of a normal n-variate distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 11(2), 204–209. https://doi.org/10.1214/aoms/1177731909
• Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge. https://doi.org/10.4324/9781315642956
• Olejnik, S., & Algina, J. (2003). Generalized eta and omega squared statistics: Measures of effect size for some common research designs. Psychological Methods, 8(4), 434–447. https://doi.org/10.1037/1082-989X.8.4.434
• Tabachnick, B. G., & Fidell, L. S. (2019). Using multivariate statistics (7th ed.). Pearson.