شرح اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة

تُعد معالجة البيانات الإحصائية في العلوم النفسية والاجتماعية والعلوم الطبية والسلوكية واحدة من أعقد التحديات المنهجية التي تواجه الباحثين، نظراً لطبيعة الظواهر الإنسانية التي غالباً ما تأبى الانصياع الصارم للافتراضات الرياضية الكلاسيكية. لعقود طويلة، هيمنت النماذج الإحصائية المعلمية (Parametric Statistics)، كاختبار “ت” للعينات المترابطة وتحليل التباين، على المشهد البحثي الاستدلالي. غير أن اشتراط التوزيع الطبيعي للبيانات، وتجانس التباين، ومستوى القياس الفتري أو النسبي، مثل عائقاً جوهرياً أمام دراسة المتغيرات النفسية المقاسة بمقاييس الرتب، ومقاييس ليكرت (Likert Scales)، أو تلك المستمدة من عينات إكلينيكية صغيرة وشديدة التباين تتسم بالالتواء الشديد ووجود القيم المتطرفة الحادة.

في خضم هذا المأزق المنهجي، برزت الاختبارات اللامعلمية (Non-parametric Statistics) بوصفها أدوات استدلالية رصينة قادرة على استخلاص الدلالة العلمية دون إخضاع البيانات لقيود توزيعية صارمة قد تشوه الحقيقة التجريبية. ويقف اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة (Wilcoxon Signed-Rank Test) في صدارة هذه الأدوات التحليلية، باعتباره البديل اللامعلمي الأقوى والأكثر كفاءة لاختبار “ت” للعينات المرتبطة (Paired-Samples t-test)، حيث يستثمر كلاً من اتجاه الفروق ومقاديرها النسبية عبر تحويل الدرجات الخام إلى رتب موقعة تحمل طاقة إحصائية عالية تقارب نظيرتها المعلمية وتتفوق عليها عند انتهاك الافتراضات التوزيعية.

يهدف هذا الدليل الموسوعي الشامل إلى تأصيل اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة تأصيلاً نظرياً ورياضياً وتطبيقياً متكاملاً. سنستعرض الجذور التاريخية للاختبار والأسس الرياضية التي تحكم حساباته، والشروط الدقيقة الواجب توفرها لتطبيقه، إضافة إلى تقديم خطوات المعالجة اليدوية وحساب حجم الأثر، والتطبيق عبر البرمجيات الإحصائية الحديثة (SPSS، R، Python)، مع التركيز على استخدامه في أبحاث العلوم النفسية والإكلينيكية، وكتابة النتائج وفق معايير جمعية علم النفس الأمريكية (APA 7th Edition).

1. مقدمة شاملة وتأصيل نظري لاختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة

1.1 التعريف بالاختبار ونشأته التاريخية

تعود النشأة التاريخية لاختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة إلى الورقة العلمية المفصلية التي نشرها عالم الكيمياء والإحصاء الأمريكي فرانك ويلكوكسون (Frank Wilcoxon) عام 1945 في دورية Biometrics Bulletin تحت عنوان: “Individual Comparisons by Ranking Methods”. كان ويلكوكسون يعمل باحثاً في معمل كيميائي وصناعي، وواجه صعوبة متكررة في تحليل بيانات التجارب ذات العينات الصغيرة التي تنحرف بحدة عن التوزيع الغاوسي (الطبيعي). قاده ذلك إلى ابتكار طريقتين ثوريتين في التحليل الرتبي: الأولى لمقارنة عينتين مستقلتين (والتي طُورت لاحقاً بالتعاون مع مان وويتني)، والثانية لمقارنة زوجين من القياسات المترابطة أو لعينة واحدة في مواجهة قيمة معيارية، وهو ما عُرف لاحقاً باختبار الرتب الموقعة.

يُعرَّف اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة إحصائياً بأنه اختبار استدلالي لا معلَمي (Distribution-Free Test) مصمم لتقييم الفروق بين مجموعتين من الملاحظات المزدوجة أو المترابطة (Paired Observations)، أو قياس مدى انزياح وسيط عينة واحدة عن وسيط مجتمعي مفترض. وتكمن عبقرية هذا الاختبار في أنه لا يكتفي برصد اتجاه التغير (موجب أو سالب) كما يفعل اختبار الإشارة، بل يأخذ في الحسبان الحجم النسبي للفروق بين الأزواج من خلال ترتيب القيم المطلقة للفروق تصاعدياً ثم إعادة إسناد الإشارات الأصلية لتلك الرتب، مما يمنحه قوة استدلالية هائلة تجعله يماثل اختبار (ت) في الكفاءة التقاربية (Asymptotic Relative Efficiency) بنسبة تقارب 95.5% عندما تكون البيانات طبيعية التوزيع، وتتجاوز 100% عندما تكون التوزيعات ذات ذيول ثقيلة أو ملوثة بالقيم الشاذة.

تتجلى الأهمية الإبستيمولوجية والعملية للاختبار في قدرته الاستثنائية على معالجة البيانات الرتبية (Ordinal Data) والبيانات الفترية التي تفتقر إلى التوزيع الطبيعي. ففي كثير من البحوث الإمبريقية، لا تكون المسافات بين درجات المقاييس متساوية بالضرورة، كما هو الحال في مقاييس تقدير الذات أو مقاييس حدة الألم، مما يجعل استخدام المتوسط الحسابي والانحراف المعياري مضللاً؛ وهنا يبرز اختبار ويلكوكسون لتحويل التحليل نحو ترتيب الفروق ووسائطها، موفراً حماية رياضية متينة ضد القرارات الإحصائية الخاطئة المتمثلة في ارتكاب الخطأ من النوع الأول (Type I Error) أو الخطأ من النوع الثاني (Type II Error).

1.2 طبيعة الاختبار وبدائله في الإحصاء الاستدلالي

يحتل اختبار ويلكوكسون موقعاً محورياً في شجرة القرارات الإحصائية المخصصة لتحليل القياسات المتكررة (Repeated Measures) أو التصاميم التجريبية ذات المجموعات المتناظرة (Matched Pairs). فبينما يمثل اختبار (ت) للعينات المترابطة المعيار الذهبي الكلاسيكي لمقارنة المتوسطات الحسابية لعينتين معتمدتين، فإن هذا الأخير ينهار منهجيته عندما تفشل البيانات في تلبية افتراض التوزيع الطبيعي لفروق الأزواج، خاصة في العينات التي يقل حجمها عن 30 مفحوصاً، حيث تفقد مبرهنة النهاية المركزية (Central Limit Theorem) قدرتها على تصحيح التواء التوزيع.

في المقابل، يقف اختبار الإشارة (Sign Test) كبديل لامعلمي آخر للعينات المترابطة، إلا أن اختبار الإشارة يعاني من فقر في القوة الإحصائية؛ نظراً لأنه يُسقط الحجم الحسابي للفرق تماماً، ويكتفي فقط بترميز التغير كإشارة موجبة (+) أو سالبة (-)، مساوياً بذلك بين انخفاض مقداره نقطة واحدة وانخفاض مقداره خمسون نقطة. يحل اختبار ويلكوكسون هذه المعضلة باقتدار عبر رتب الفروق الموقعة، مستفيداً من مبدأ الرتب التراكمية، ليحتل منزلة وسطى تجمع بين متانة الاختبارات اللامعلمية في تجنب الافتراضات التوزيعية، والقوة التحليلية للاختبارات المعلمية في رصد الفروق الدقيقة.

تتضح هذه الأهمية بوضوح في حالة العينات الصغيرة وغير المتجانسة الشائعة في الأبحاث الطبية والنفسية والعصبية. ففي مثل هذه البيئات البحثية، قد يؤدي وجود مفحوص واحد يمتلك استجابة استثنائية (Outlier) إلى تضخيم الانحراف المعياري وجر المتوسط الحسابي نحو اتجاه مضلل في اختبار (ت)، مما يقود إلى قبول الفرضية الصفرية رغم وجود أثر علاجي حقيقي؛ بينما يعمل نظام الرتب في ويلكوكسون على كبح هذا الأثر الجامح، لأن القيمة المتطرفة ستحصل ببساطة على الرتبة القصوى فقط دون التأثير بوزنها الحسابي الخام على بقية المنظومة الإحصائية.

1.3 أهمية الاختبار في العلوم النفسية والسلوكية

تتعامل العلوم النفسية والسلوكية مع تكوينات فرضية معقدة يتم قياسها في الغالب عبر أدوات التقرير الذاتي (Self-report inventories) ومقاييس التقدير المتعددة كاستبيانات ليكرت خماسية أو سباعية النقاط. من الناحية القياسية، تقع هذه المقاييس في مستوى القياس الرتبي؛ إذ لا يمكن الجزم رياضياً بأن المسافة النفسية بين “أوافق بشدة” و”أوافق” تتطابق بدقة مع المسافة بين “محايد” و”أعارض”. يؤدي إخضاع هذه البيانات لاختبارات معلمية تفترض القياس الفتري الدقيق إلى انتهاك منهجي قد يقود إلى استنتاجات زائفة. يقدم اختبار ويلكوكسون الحل الأمثل لمعالجة رتب هذه الفروق، محترماً الطبيعة الرتبية للأداة السيكومترية.

علاوة على ذلك، يشكل قياس التغير السلوكي والمعرفي والانفعالي قبل التدخل العلاجي وبعده (Pre-test / Post-test Designs) حجر الزاوية في علم النفس الإكلينيكي والعلاج النفسي القائم على الأدلة. فعند تقييم فاعلية برنامج علاجي لاضطراب كرب ما بعد الصدمة (PTSD) أو الرهاب الاجتماعي، تظهر استجابات المرضى تبايناً شديداً ناتجاً عن الفروق الفردية في المرونة النفسية، والاضطرابات المصاحبة (Comorbidities). يتيح اختبار ويلكوكسون تقييم انخفاض الأعراض لدى نفس المريض بدقة متناهية، عازلاً التباين الدخيل الناشئ بين الأفراد، ومركزاً على اتجاه التغير ومقداره النسبي داخل الفرد نفسه.

كما يسهم الاختبار في تقليل التحيز في دراسات الحالات الإكلينيكية النادرة وعلم النفس العصبي (Neuropsychology). ففي دراسات تلف الدماغ أو متلازمات التدهور المعرفي، يكون من الصعب جداً تجنيد مئات المرضى لتحقيق افتراض التوزيع الطبيعي. يمنح اختبار ويلكوكسون الباحثين السريريين القدرة على اتخاذ قرارات إحصائية دقيقة مبنية على عينات صغيرة (قد تتراوح بين 6 إلى 15 مريضاً)، مما يسهم في التحقق من كفاءة التدخلات التأهيلية العصبية مع الحفاظ على صرامة الاستدلال العلمي.

2. الأسس الرياضية والمفاهيم الإحصائية لاختبار ويلكوكسون

2.1 مفهوم الفروق والرتب الموقعة

يقوم البناء الرياضي لاختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة على تحويل أزواج الملاحظات المقترنة $(X_{1i}, X_{2i})$ لعينة مكونة من $n$ من المفحوصين إلى سلسلة متصلة من الفروق الفردية $D_i$. تُحسب هذه الفروق وفق المعادلة الرياضية البسيطة:

$$D_i = X_{1i} – X_{2i}$$

حيث تمثل $X_{1i}$ الدرجة في القياس الأول (كالقياس القبلي مثلاً)، بينما تمثل $X_{2i}$ الدرجة المقابلة لنفس المفحوص أو لنظيره المطابق في القياس الثاني (القياس البعدي). تنطوي هذه الخطوة الأولى على اختزال بعدي للبيانات، حيث يُحول الزوج الثنائي إلى متغير فردي يمثل مقدار واتجاه التغير لكل وحدة تجريبية.

عقب حساب الفروق، تبرز معالجة منهجية للفروق الصفرية ($D_i = 0$)، وهي الحالات التي لم يطرأ عليها أي تغير بين القياسين. في المقاربة الكلاسيكية لويلكوكسون، يتم استبعاد هذه الفروق الصفرية كلياً من التحليل، ويُعدل حجم العينة الفعال ليصبح $N_r$ (حيث $N_r = n – n_0$، مع كون $n_0$ يمثل عدد الحالات التي حققت فرقاً صفرياً). بعد ذلك، يتم أخذ القيم المطلقة للفروق غير الصفرية $|D_i|$، متجاهلين إشاراتها الجبرية في هذه المرحلة، وتُرتب هذه القيم المطلقة ترتيباً تصاعدياً من الأصغر (الرتبة 1) إلى الأكبر (الرتبة $N_r$).

تأتي الخطوة المفصلية بإعادة إسناد الإشارات الجبرية الأصلية للفروق إلى الرتب المخصصة لها، وهو ما يمنح الاختبار اسمه “الرتب الموقعة” (Signed Ranks). فإذا كان الفرق الأصلي موجباً ($D_i > 0$)، تصبح الرتبة موجبة ($+R_i$)، وإذا كان الفرق سالباً ($D_i < 0$)، تصبح الرتبة سالبة ($-R_i$). تُعبر هذه الرتب الموقعة عن وزن رياضي مركب يدمج الموقع النسبي لمقدار التغير مع اتجاهه التجريبي، مما يؤسس للبنية التحتية لحساب إحصائية الاختبار.

2.2 إحصائية الاختبار وحساب القيمة المحسوبة W و T

تنطلق الخطوة التالية من تجميع الرتب الموقعة وفق قطبيتها الجبرية. يتم حساب مجموع الرتب الإيجابية، ويُرمز له بالرمز $W^+$، ومجموع الرتب السلبية، ويُرمز له بالرمز $W^-$، رياضياً وفق الصيغ الآتية:

$$W^+ = \sum_{D_i > 0} R_i$$

$$W^- = \sum_{D_i < 0} R_i$$

ترتبط هاتان القيمتان بعلاقة رياضية حتمية؛ إذ إن المجموع الكلي للرتب من 1 إلى $N_r$ يتبع المتوالية الحسابية المعروفة التي صاغها غاوس:

$$W^+ + W^- = \frac{N_r(N_r + 1)}{2}$$

تُعرف إحصائية الاختبار ويلكوكسون، والتي يُشار إليها غالباً بالرمز $T$ أو $W$ في الأدبيات الإحصائية، بأنها القيمة الصغرى بين مجموع الرتب الموجبة ومجموع الرتب السالبة:

$$T = \min(W^+, W^-)$$

تحت فرضية العدم ($H_0$) التي تفترض عدم وجود فرق منتظم بين القياسين (أي أن وسيط الفروق يساوي صفراً)، يُتوقع أن تتوزع الرتب بالتساوي تقريباً بين الإشارات الموجبة والسالبة، مما يجعل كلاً من $W^+$ و $W^-$ قريباً من نصف المجموع الكلي للرتب. وإذا كان التدخل التجريبي ذا أثر قوي، فإن أحد المجموعين سيتضخم بشكل هائل بينما ينكمش المجموع الآخر ليقترب من الصفر. في العينات الصغيرة ($N_r le 20$)، تُقارن القيمة المحسوبة $T$ مباشرة بالقيم الحرجة المجدولة في جداول ويلكوكسون الخاصة؛ وتُرفض فرضية العدم إذا كانت القيمة المحسوبة أصغر من أو تساوي القيمة الحرجة عند مستوى الدلالة المختار ($\alpha = 0.05$ أو $\alpha = 0.01$).

2.3 التقريب التوزيعي الطبيعي للعينات الكبيرة

عندما يزداد حجم العينة الفعال ليتجاوز 20 زوجاً ($N_r > 20$)، يخضع توزيع إحصائية ويلكوكسون لمبرهنة النهاية المركزية، ويقترب توزيع مجموع الرتب $W^+$ من التوزيع الطبيعي بمتوسط حسابي ($\mu_W$) وتباين ($\sigma_W^2$) محددين رياضياً بالمعادلات التالية:

$$\mu_W = \frac{N_r(N_r + 1)}{4}$$

$$\sigma_W = \sqrt{\frac{N_r(N_r + 1)(2N_r + 1)}{24}}$$

بناءً على هذا التقريب التوزيعي، يمكن تحويل إحصائية ويلكوكسون إلى الدرجة المعيارية الغاوسية ($Z\text{-score}$) عبر صيغة التحويل القياسية:

$$Z = \frac{W^+ – \mu_W}{\sigma_W} = \frac{W^+ – \frac{N_r(N_r + 1)}{4}}{\sqrt{\frac{N_r(N_r + 1)(2N_r + 1)}{24}}}$$

ولتحسين دقة القرار الإحصائي والحد من الخطأ الناشئ عن استخدام توزيع احتمالي متصل (التوزيع الطبيعي) لتقريب توزيع احتمالي متقطع (توزيع الرتب)، يُوصى بتطبيق “معامل تصحيح الاستمرارية” (Continuity Correction) بمقدار 0.5، فتصبح الصيغة المعدلة كالتالي:

$$Z = \frac{W^+ – \mu_W – 0.5}{\sigma_W} \quad \text{إذا كان } W^+ > \mu_W$$

$$Z = \frac{W^+ – \mu_W + 0.5}{\sigma_W} \quad \text{إذا كان } W^+ < \mu_W$$

تُقارن قيمة $Z$ المحسوبة بالقيم الحرجة للتوزيع الطبيعي المعياري ($Z_{\text{critical}} = \pm 1.96$ للاختبار ثنائي الطرف عند $\alpha = 0.05$). تتيح هذه المعالجة استخراج القيمة الاحتمالية الدقيقة ($p\text{-value}$) وتسهيل حساب حجم الأثر المعياري للبيانات الضخمة.

3. شروط وافتراضات تطبيق اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة

3.1 مستوى قياس المتغيرات واستقلال الملاحظات

يتطلب التطبيق المنهجي السليم لاختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة الالتزام بحزمة من الشروط الأساسية التي تضمن صحة الاستدلال الإحصائي. الشرط الأول يتعلق بمستوى قياس المتغير التابع؛ إذ يجب أن تكون البيانات مقاسة على الأقل بمستوى رتبي (Ordinal Scale)، أو مستوى فتري/نسبي (Interval/Ratio Scale) متصل. يضمن هذا المستوى إمكانية ترتيب الفروق ترتيباً منطقياً ذا معنى رياضي؛ فإذا كانت البيانات اسمية بحتة (Nominal Data)، يمتنع استخدام ويلكوكسون ويصبح اختبار ماكنيمار (McNemar’s Test) هو الخيار الملائم.

الشرط الثاني يتمثل في استقلالية أزواج الملاحظات عبر المفحوصين المختلفين (Independence of Pairs). يعني هذا الافتراض أن استجابة أي زوج من القياسات لمفحوص معين لا يجوز أن تؤثر أو تتأثر باستجابة مفحوص آخر داخل العينة. يتم ضمان هذا الشرط من خلال بروتوكولات المعاينة العشوائية والتعيين التجريبي الصارم ومنع التفاعل أو التشارك بين أفراد العينة أثناء جمع البيانات.

في المقابل، يشترط الاختبار وجود ارتباط بنيوي تام بين القياسين داخل الزوج الواحد (Paired Dependency). يتحقق هذا الترابط إما من خلال تطبيق تصميم القياسات المتكررة على نفس الأفراد (Within-Subject Design)، حيث يُقاس كل مفحوص مرتين، أو من خلال تصميم المجموعات المتناظرة (Matched-Pairs Design)، حيث يُقرن كل مفحوص في المجموعة التجريبية بآخر في المجموعة الضابطة بناءً على متغيرات دخيلة حاكمة كالعمر، والذكاء، والمستوى الاجتماعي، مما يجعل الفروق المحسوبة داخل كل زوج ذات دلالة مقارنة مباشرة.

3.2 افتراض تماثل توزيع الفروق

يمثل افتراض تماثل توزيع الفروق (Symmetry of Differences Distribution) أحد أدق الافتراضات الإحصائية وأكثرها تعرضاً لسوء الفهم في اختبار ويلكوكسون. لا يشترط الاختبار إطلاقاً أن تتبع الدرجات الخام لكل قياس التوزيع الطبيعي، بل يشترط لاختبار الفروق بين الوسائط (Medians) أن يكون توزيع الفروق الفردية ($D_i$) متماثلاً حول وسيط تلك الفروق (Pseudo-median). يعني التماثل هنا أن وتيرة وشكل توزيع الفروق الموجبة يتطابق شكلياً مع توزيع الفروق السالبة على جانبي نقطة المركز.

إذا تحقق افتراض تماثل توزيع الفروق، فإن اختبار ويلكوكسون يتحول إلى اختبار دقيق للوسيط، وتكون الفرضية الصفرية معبرة عن أن وسيط الفروق بين القياسين يساوي صفراً ($\text{Median}(D) = 0$). أما إذا كان توزيع الفروق ملتوياً بشدة وغير متماثل، فإن الاختبار يظل صالحاً إحصائياً ولكنه يتوقف عن كونه اختباراً للوسائط، ويتحول إلى اختبار يقارن متوسط الرتب الموقعة وتوزيع الدرجات عموماً (مقارنة دالة التوزيع التراكمي)، مما يستلزم الحذر في تفسير النتائج لتفادي الادعاء الخاطئ بوجود تغير في الوسيط في حين أن التغير واقع في شكل التوزيع الرتبي.

لفحص هذا الافتراض استكشافياً، يُنصح الباحثون باستخدام الأساليب البيانية مثل رسم المدرج التكراري للفروق (Histogram of Differences)، ومخطط الصندوق والساعدين (Boxplot of Differences)، أو فحص معامل الالتواء (Skewness Coefficient) لعمود الفروق المحسوبة. كما يمكن استخدام مخطط التماثل البياني (Symmetry Plot)، حيث يشير تقارب النقاط من الخط القطري إلى سلامة افتراض التماثل وجاهزية البيانات لتفسير الفروق بدلالة الوسيط.

3.3 طبيعة العينات العشوائية والتصميم التجريبي

تستند القوة التعميمية للاختبار إلى جودة المعاينة وملاءمة التصميم التجريبي. يتطلب الاختبار سحب عينة عشوائية تمثل المجتمع المستهدف، سواء كان مجتمعاً لمرضى الاكتئاب السريري، أو طلاب المدارس الموهوبين، أو العاملين في قطاع التمريض. إن عشوائية الاختيار تضمن خلو الفروق من التحيزات المنهجية التي قد تنشأ عن عوامل الانتقاء الذاتي (Self-Selection Bias).

يتلاءم اختبار ويلكوكسون مع التصاميم التجريبية وشبه التجريبية بكفاءة عالية. في التصاميم التجريبية ذات القياس القبلي والبعدي، يوفر الاختبار وسيلة لمعالجة تأثير الممارسة أو النضج كعوامل داخلية تؤثر على البيانات. وفي التصاميم ذات التدخلات المتزامنة (Crossover Trials)، حيث يتلقى المفحوص العلاج “أ” ثم ينتقل بعد فترة غسيل كيميائي/نفسي (Washout Period) لتلقي العلاج “ب”، يمثل ويلكوكسون الأداة المثلى لتحليل التباين داخل الفرد دون الوقوع في شراك انتهاك التوزيع الطبيعي.

يلعب حجم العينة دوراً مزدوجاً في ضبط القوة الإحصائية؛ فبينما يمتلك ويلكوكسون ميزة إجراء الاختبارات الدقيقة (Exact Permutation Tests) على عينات متناهية الصغر تصل إلى 5 أو 6 أزواج فقط (حيث يكون من المستحيل استخدام اختبار ت)، فإن زيادة حجم العينة تعزز القدرة على كشف حجوم الآثار المتواضعة وتدعم استخدام التقريب الطبيعي التقاربي، مما يمنح الباحثين مرونة منهجية واسعة النطاق في مختلف الظروف البحثية.

4. اختبار ويلكوكسون لعينة واحدة: المفهوم والتطبيق

4.1 الأساس النظري لاختبار عينة واحدة

على الرغم من الشهرة الواسعة لاختبار ويلكوكسون في مقارنة القياسات المزدوجة، إلا أنه يمتلك صيغة مخصصة لعينة واحدة (One-Sample Wilcoxon Signed Rank Test). تُستخدم هذه الصيغة عندما يرغب الباحث في اختبار ما إذا كان وسيط مجتمع العينة ($\theta$) يختلف جوهرياً عن وسيط مرجعي محدد مسبقاً أو معيار معياري افتراضي ($\theta_0$). تمثل هذه الصيغة البديل اللامعلمي المباشر لاختبار (ت) لعينة واحدة (One-Sample t-test).

تُصاغ الفرضيات الإحصائية في اختبار العينة الواحدة وفقاً لاهتمام الباحث البحثي؛ ففي الفرضيات ثنائية الطرف (Non-directional Hypotheses)، تُصاغ الفرضية الصفرية والبديلة على النحو الآتي:

$$H_0: \theta = \theta_0$$

$$H_1: \theta \neq \theta_0$$

أما في الفرضيات أحادية الطرف الموجهة (Directional Hypotheses)، فيمكن اختبار ما إذا كان الوسيط يتجاوز القيمة المعيارية ($H_1: \theta > \theta_0$) أو يقل عنها ($H_1: \theta < \theta_0$). يُعد هذا الاختبار أداة مثالية في المقارنات السيكومترية عندما تتوفر درجات معيارية وطنية أو نقاط قطع إكلينيكية محددة مسبقاً، وتكون بيانات العينة المدروسة رتبية أو غير موزعة توزيعاً طبيعياً.

4.2 خطوات المعالجة الحسابية لعينة واحدة

تسير المعالجة اليدوية لاختبار ويلكوكسون لعينة واحدة وفق تسلسل خوارزمي صارم يتضمن الخطوات الإجرائية التالية:

• حساب الانحرافات عن القيمة المعيارية: يتم طرح القيمة المعيارية المرجعية المفترضة ($\theta_0$) من كل درجة خام من درجات العينة ($X_i$)، لتشكيل سلسلة الانحرافات: $D_i = X_i – \theta_0$.
• حذف الانحرافات الصفرية: تُستبعد المشاهدات التي تتطابق تماماً مع القيمة المعيارية ($D_i = 0$)، ويُعدل حجم العينة إلى $N_r$.
• ترتيب القيم المطلقة للانحرافات: تُؤخذ القيم المطلقة $|D_i|$ وتُرتب تصاعدياً من 1 إلى $N_r$. في حال وجود تعادلات في القيم المطلقة، تُعطى الرتب المتوسطة (Average Ranks).
• إعادة تعيين الإشارات: تُقرن كل رتبة بإشارة الانحراف الأصلي ($+$ إذا كانت الدرجة أعلى من المعيار، و $-$ إذا كانت الدرجة أدنى).
• حساب الإحصائية والدلالة: يُحسب مجموع الرتب الموجبة $W^+$ ومجموع الرتب السالبة $W^-$، وتُستخرج إحصائية الاختبار $T = \min(W^+, W^-)$ لمقارنتها بالجدول الإحصائي الدقيق أو تحويلها إلى قيمة $Z$ في العينات الكبيرة.

4.3 أمثلة تطبيقية في القياس النفسي لعينة واحدة

تتعدد التطبيقات الإكلينيكية والقياسية لاختبار ويلكوكسون لعينة واحدة في البحوث النفسية المعاصرة. نورد فيما يلي ثلاثة سياقات تطبيقية شائعة:

التطبيق الأول: مقارنة مستويات القلق بمعيار وطني: في دراسة لفحص مستوى القلق الأكاديمي لدى عينة من طلبة كليات الطب ($n = 15$) باستخدام مقيار تايلور للقلق الصريح (المقاس رتبياً)، أراد الباحث مقارنة وسيط العينة بالوسيط المعياري الوطني العام المحدد مسبقاً عند الدرجة 18. أظهرت الفروق $D_i = X_i – 18$ أن معظم الطلبة حققوا درجات أعلى بكثير من المعيار الوطني، وتأكد عبر ويلكوكسون لعينة واحدة أن وسيط قلق طلبة الطب أعلى بدلالة إحصائية من المتوسط الوطني ($p < 0.01$).

التطبيق الثاني: تقييم الرضا الوظيفي مقارنة بنقطة الحياد: في علم النفس التنظيمي، طُبق مقياس ليكرت خماسي النقاط لتقييم الرضا عن البيئة الفيزيقية للعمل لدى 12 مهندساً في منشأة صناعية. تم تحديد نقطة الحياد المعيارية عند الدرجة (3.0). استهدف الباحث فحص ما إذا كان اتجاه الموظفين ينحرف إيجاباً عن الحياد نحو الرضا التام. أتاح الاختبار لعينة واحدة إثبات أن وسيط الرضا يختلف جوهرياً عن النقطة 3 ($T = 4.5, p = 0.008$)، مما أكد نجاح تحسينات بيئة العمل.

التطبيق الثالث: فحص استجابات عينة إكلينيكية لنقطة قطع الاكتئاب: في دراسة للتحقق من شدة الأعراض لدى عينة جديدة من مرضى الألم المزمن ($n = 10$) باستخدام مقياس بيك للاكتئاب (BDI-II)، أراد المعالج التحقق مما إذا كانت العينة تتجاوز نقطة القطع الإكلينيكية للاكتئاب المتوسط (المحددة بالدرجة 20). كشفت حسابات ويلكوكسون لعينة واحدة أن درجات المرضى كانت تتمركز حول وسيط قدره 27، وهو أعلى دلالة من نقطة القطع ($p = 0.005$)، مما وجه الفريق الطبي لتضمين العلاج النفسي كعنصر أساسي في بروتوكول الرعاية.

5. اختبار ويلكوكسون للعينات المرتبطة أو المزدوجة

5.1 تصاميم القياسات المتكررة قبل وبعد العلاج

تمثل تصاميم القياسات المتكررة قبل وبعد التدخل (Pretest-Posttest Designs) الحقل التطبيقي الأوسع لاختبار ويلكوكسون في العلوم الطبية والنفسية والسلوكية. في هذا التصميم، يخضع نفس المشارك للقياس في نقطتين زمنيتين مختلفتين: خط الأساس قبل بدء التدخل ($T_1$)، والتقييم البعدي عقب انتهاء البرنامج العلاجي أو التعليمي ($T_2$). يوفر هذا الأسلوب ميزة منهجية استثنائية تتمثل في ضبط المتغيرات الدخيلة الذاتية؛ إذ يعمل كل مفحوص كضابط لنفسه (Self-Control)، مما يعزل أثر التباين الجيني، والسمات الشخصية المستقرة، والمستوى المعرفي الأساسي.

في مثل هذه التصاميم، يتولى اختبار ويلكوكسون رصد اتجاه التغير (التحسن أو التراجع) وشدته الترتيبية في الأعراض. فإذا كنا نقيس حدة نوبات الهلع لدى مرضى يتلقون برنامجاً للتعريض التدريجي، فإن حساب الفرق $D_i = \text{Pre}_i – \text{Post}_i$ سيفرز قيماً موجبة عند تحسن المريض (انخفاض الأعراض) وقيماً سالبة في حال تدهور حالته. يعالج ويلكوكسون هذه الفروق ليحدد ما إذا كان ميل التوزيع الإجمالي نحو التحسن كافياً لرفض الصدفة العشوائية واعتماد الفاعلية الإكلينيكية للعلاج.

5.2 تصاميم الأزواج المتناظرة والمتطابقة

في كثير من السياقات التجريبية، يتعذر تطبيق التصميم قبل-بعد على نفس المفحوصين لأسباب تتعلق بالانتقال التدريبي أو تأثير الاختبار المكرر (Testing Effects). هنا يلجأ الباحثون إلى تصميم الأزواج المتطابقة (Matched-Pairs Design). يتم في هذا التصميم تكوين أزواج من المفحوصين بحيث يتطابق كل فرد في المجموعة التجريبية مع فرد في المجموعة الضابطة بناءً على مصفوفة من المتغيرات المحايدة المؤثرة على المتغير التابع (مثل: العمر الزمني، الجنس، درجة الذكاء، مدة المرض).

عقب إتمام المطابقة، يُخضع أحد طرفي كل زوج للتدخل التجريبي (كالعلاج النفسي المبتكر)، بينما يتلقى الطرف الآخر تدخلاً وهمياً (Placebo) أو يوضع على قائمة الانتظار. في نهاية التجربة، يُحسب الفرق بين درجتي الفردين في كل زوج متطابق ($D_i = X_{\text{Experimental}, i} – X_{\text{Control}, i}$). يُعامل هذا الفرق حسابياً كأنه صادر عن شخص واحد، وتُطبق عليه إجراءات ويلكوكسون للرتب الموقعة لتقييم التفوق النسبي للمجموعة التجريبية على نظيرتها الضابطة مع الحفاظ على التحكم الصارم في المتغيرات الدخيلة المشتركة.

5.3 صياغة الفرضيات وتحديد اتجاه التأثير

يعد البناء المنطقي والرياضي للفرضيات في اختبار ويلكوكسون للعينات المرتبطة خطوة حاسمة في توجيه التفسير الإحصائي. تُبنى الفرضية الصفرية ($H_0$) على مبدأ التكافؤ التام بين القياسين، وتُصاغ رياضياً بدلالة وسيط الفروق ($\tilde{\theta}_D$):

$$H_0: \tilde{\theta}_D = 0$$

وتعني هذه الفرضية أنه لا يوجد فرق جوهري في رتب الدرجات بين القياسين، وأن أي تباين مشاهد لا يعدو كونه تقلباً عشوائياً في العينة. في المقابل، تُصاغ الفرضيات البديلة ($H_1$) وفق أهداف الدراسة:

• الفرضية البديلة غير الموجهة (ثنائية الطرف Two-Tailed): $H_1: \tilde{\theta}_D \neq 0$ (تختبر وجود فرق أو تغير عام دون تحديد وجهته).
• الفرضية البديلة الموجهة إيجاباً (أحادية الطرف One-Tailed): $H_1: \tilde{\theta}_D > 0$ (تختبر ما إذا كان القياس الأول أعلى دلالة من الثاني، كما في دراسات خفض درجات الاكتئاب أو القلق).
• الفرضية البديلة الموجهة سلباً (أحادية الطرف One-Tailed): $H_1: \tilde{\theta}_D < 0$ (تختبر ما إذا كان القياس الثاني أعلى دلالة من الأول، كما في دراسات زيادة المهارات الاجتماعية أو التحصيل الأكاديمي).

يتطلب اختيار اتجاه الفرضية تبريراً نظرياً مسبقاً مستمداً من الأدبيات العلمية، حيث يتيح الاختبار أحادي الطرف تركيز القوة الإحصائية ($\alpha$) في ذيل واحد من التوزيع، مما يرفع حساسية الاختبار لرصد الآثار التجريبية المتوقعة، شريطة الالتزام بالأمانة المنهجية وعدم تغيير اتجاه الفرضية بعد استعراض البيانات الخام.

6. الخطوات الحسابية التفصيلية لإجراء الاختبار يدوياً

6.1 إعداد مصفوفة البيانات وحساب الفروق المطلقة

لإدراك الآلية الرياضية الداخلية لاختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة بصورة معمقة، سنقوم بتطبيق الخطوات الحسابية تفصيلياً على عينة إكلينيكية مصغرة تتألف من 10 مرضى خضعوا لبرنامج علاجي لتقليل نوبات الهلع، حيث قيست درجات الهلع قبلياً ($X_1$) وبعدياً ($X_2$).

يبدأ الإجراء بجدولة الدرجات وتوليد عمود الفروق الجبرية $D_i = X_{1i} – X_{2i}$، ثم عزل الفروق الصفرية ($D_i = 0$) وتوليد عمود القيم المطلقة للفروق $|D_i|$، كما يتضح في الجدول التالي:

المفحوص (ID)	القياس القبلي ($X_1$)	القياس البعدي ($X_2$)	الفرق الجبري ($D_i$)	القيمة المطلقة ($|D_i|$)	الإشارة الأصلية
1	35	22	+13	13	موجب (+)
2	28	28	0	0	مستبعد (فرق صفري)
3	40	25	+15	15	موجب (+)
4	22	26	-4	4	سالب (-)
5	31	19	+12	12	موجب (+)
6	37	29	+8	8	موجب (+)
7	25	17	+8	8	موجب (+)
8	19	21	-2	2	سالب (-)
9	45	30	+15	15	موجب (+)
10	33	27	+6	6	موجب (+)

نلاحظ من الجدول أن المفحوص رقم (2) حقق فرقاً صفرياً ($D_2 = 0$)، ولذا يُستبعد تماماً من مصفوفة الرتب، ويصبح حجم العينة الفعال المعدل $N_r = 10 – 1 = 9$.

6.2 تخصيص الرتب ومعالجة حالات التعادل

نقوم الآن بترتيب القيم المطلقة للفروق غير الصفرية التسعة تصاعدياً من الأصغر إلى الأكبر، وإسناد الرتب لها من 1 إلى 9. في حال وجود قيم مطلقة متطابقة ومتكررة (حالات التعادل أو الأربطة Tied Ranks)، يتم تخصيص متوسط الرتب المتنافس عليها لكل قيمة متعادلة:

• القيمة المطلقة (2): رتبتها = 1.
• القيمة المطلقة (4): رتبتها = 2.
• القيمة المطلقة (6): رتبتها = 3.
• القيمة المطلقة (8): تكررت مرتين (تتنافس على الرتبتين 4 و 5)؛ إذن الرتبة المخصصة = $\frac{4 + 5}{2} = 4.5$.
• القيمة المطلقة (12): رتبتها = 6.
• القيمة المطلقة (13): رتبتها = 7.
• القيمة المطلقة (15): تكررت مرتين (تتنافس على الرتبتين 8 و 9)؛ إذن الرتبة المخصصة = $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$.

نعيد الآن إسناد الإشارات الأصلية إلى هذه الرتب لتوليد مصفوفة الرتب الموقعة النهائية، كما يوضح الجدول التحليلي التالي:

المفحوص	الفرق ($D_i$)	القيمة المطلقة ($|D_i|$)	الرتبة المعالجة ($R_i$)	الرتب الموجبة ($W^+$)	الرتب السالبة ($W^-$)
8	-2	2	1	–	1
4	-4	4	2	–	2
10	+6	6	3	3	–
6	+8	8	4.5	4.5	–
7	+8	8	4.5	4.5	–
5	+12	12	6	6	–
1	+13	13	7	7	–
3	+15	15	8.5	8.5	–
9	+15	15	8.5	8.5	–
المجموع الكلي للرتب				$W^+ = 42$	$W^- = 3$

6.3 حساب الإحصائية W واستخراج القيمة الاحتمالية

للتحقق الرياضي من صحة العمليات الحسابية، نطبق معادلة التحقق الإجمالي للرتب:

$$W^+ + W^- = 42 + 3 = 45$$

$$\frac{N_r(N_r + 1)}{2} = \frac{9(9 + 1)}{2} = \frac{90}{2} = 45$$

يتطابق مجموع الرتب تماماً مع الصيغة الرياضية. والآن تُحسب إحصائية الاختبار $T$ بوصفها القيمة الصغرى بين مجموعي الرتب:

$$T = \min(W^+, W^-) = \min(42, 3) = 3$$

بالرجوع إلى جداول ويلكوكسون للقيم الحرجة (Critical Values Table for Wilcoxon Signed-Rank Test) عند حجم عينة فعال $N_r = 9$، ومستوى دلالة $\alpha = 0.05$ لاختبار ثنائي الطرف، نجد أن القيمة الحرجة المجدولة هي $T_{\text{critical}} = 5$.

قاعدة اتخاذ القرار الإحصائي: في اختبار ويلكوكسون، تُرفض الفرضية الصفرية ($H_0$) إذا كانت القيمة المحسوبة أصغر من أو تساوي القيمة الحرجة المجدولة ($T_{\text{calculated}} le T_{\text{critical}}$). وبما أن $3 le 5$، فإننا نرفض الفرضية الصفرية بثقة إحصائية 95%، ونقبل الفرضية البديلة القائلة بوجود انخفاض ذي دلالة إحصائية في درجات نوبات الهلع بعد البرنامج العلاجي ($T = 3, p = 0.027$).

7. مقارنة منهجية: اختبار ويلكوكسون مقابل البدائل الإحصائية

7.1 ويلكوكسون مقابل اختبار (ت) للعينات المترابطة

تستند المفاضلة بين اختبار ويلكوكسون واختبار (ت) للعينات المترابطة إلى فحص الافتراضات الإحصائية وحساسية التحليل لتوزيع البيانات. يتمتع اختبار (ت) بقوة إحصائية مثالية (Parametric Power) فقط عندما تكون البيانات موزعة توزيعاً طبيعياً تماماً أو عندما يكون حجم العينة كبيراً بصورة تضمن تحقق مبرهنة النهاية المركزية. ولكن عند حدوث التواء إحصائي حاد (Severe Skewness) أو تفرطح شاذ (Leptokurtic / Platykurtic Distributions)، يفقد اختبار (ت) كفاءته وتصبح قيمة الخطأ المعياري للمتوسط مضطربة، مما يرفع احتمالية ارتكاب الخطأ من النوع الأول أو الثاني.

في المقابل، يتميز اختبار ويلكوكسون بكفاءة تقاربية نسبية (Asymptotic Relative Efficiency – ARE) مذهلة تصل إلى 95.5% مقارنة باختبار (ت) في ظل التوزيع الطبيعي الكامل؛ مما يعني أن الباحث يخسر قدراً ضئيلاً جداً من الكفاءة عند استخدام ويلكوكسون على بيانات طبيعية، في حين يكسب متانة ومقاومة جبارة ضد القيم الشاذة إذا كانت البيانات غير سوية. فعندما تتبع البيانات توزيعات ذات ذيول ثقيلة كـتوزيع كوشي (Cauchy) أو توزيع لابلاس (Laplace)، تتجاوز كفاءة ويلكوكسون النسبية 100% لتصل إلى أكثر من 150% مقارنة باختبار (ت)، مما يجعله الخيار المنهجي الأكثر أماناً وموثوقية في الأبحاث الإكلينيكية والسلوكية الواقعية.

7.2 ويلكوكسون مقابل اختبار الإشارة (Sign Test)

يعد اختبار الإشارة أقدم اختبار لامعلمي في تاريخ الإحصاء، غير أنه يعاني من عيب هيكلي يتمثل في إهدار كم كبير من المعلومات المتاحة في البيانات (Loss of Information). يعامل اختبار الإشارة الفروق الحسابية كأحداث ثنائية قطبية (تحسن/تراجع)، متجاهلاً حجم الفرق؛ فالانخفاض الطفيف بدرجة واحدة يُعامل بنفس وزن الانخفاض الحاد بعشرين درجة.

يتجاوز اختبار ويلكوكسون هذا القصور الجذري عبر دمج الرتب، مستفيداً من التباين في حجوم الفروق. وتترجم هذه الاستفادة إلى قوة إحصائية أعلى بكثير، حيث تتفوق الكفاءة التقاربية لاختبار ويلكوكسون (95.5%) بمراحل على الكفاءة التقاربية لاختبار الإشارة التي لا تتعدى 63.7% في ظل التوزيع الطبيعي. ومع ذلك، يظل اختبار الإشارة مفضلاً في حالات استثنائية نادرة، وتحديداً عندما تكون الفروق بين الأزواج شديدة التباين وغير متماثلة على نحو متطرف لا يسمح حتى بتطبيق افتراض تماثل الرتب في ويلكوكسون، أو عندما تكون البيانات الأصلية مصنفة كأحكام كيفية ثنائية الاتجاه دون وجود تدرج رتبي واضح.

7.3 ويلكوكسون للرتب الموقعة مقابل مان-ويتني يو

يقع كثير من المبتدئين في التحليل الإحصائي في خطأ منهجي شائع يتمثل في الخلط بين اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة (Wilcoxon Signed-Rank Test) واختبار مان-ويتني يو (Mann-Whitney U Test) الذي يُطلق عليه أحياناً “اختبار ويلكوكسون لمجموع الرتب” (Wilcoxon Rank-Sum Test). ينشأ هذا اللبس من حقيقة أن فرانك ويلكوكسون طور كلا المفهومين في ورقته عام 1945.

يكمن الفارق الجوهري في تصميم الدراسة وطبيعة العينات:

• اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة: مخصص حصرياً للعينات المترابطة أو المعتمدة (Dependent / Paired Samples)، مثل دراسات القياس المتكرر قبل-بعد على نفس الأشخاص، أو الأزواج المتطابقة.
• اختبار مان-ويتني يو / مجموع الرتب: مخصص حصرياً للعينات المستقلة تماماً (Independent Samples)، مثل مقارنة درجات الذكور بالإناث، أو مقارنة مجموعة تجريبية بمجموعة ضابطة منفصلة لم يُجرَ بينهما أي تطابق ثنائي.

تختلف آلية الحساب كلياً بين الاختبارين؛ فويلكوكسون يحسب فروق الأزواج ويرتبها بإشاراتها، بينما مان-ويتني يدمج بيانات المجموعتين المستقلتين معاً في مصفوفة واحدة ويرتبها تصاعدياً من 1 إلى $N_1 + N_2$ ثم يقارن مجموع الرتب بين المجموعتين المستقلتين.

8. تطبيقات ودراسات حالة إكلينيكية ونفسية

8.1 تقييم فاعلية العلاج السلوكي المعرفي (CBT)

في دراسة إكلينيكية هدفت إلى تقييم فاعلية بروتوكول العلاج المعرفي السلوكي (CBT) المكون من 12 جلسة أسبوعية في علاج الرهاب الاجتماعي (Social Anxiety Disorder)، قام فريق بحثي بقياس درجات القلق الاجتماعي لدى عينة قوامها 12 مريضاً إكلينيكياً باستخدام مقياس ليدز للقلق الاجتماعي (Liebowitz Social Anxiety Scale) قبل التدخل العلاجي وبعده مباشرة.

أظهرت نتائج القياس القبلي والبعدي تحسناً ملحوظاً لدى غالبية المرضى، إلا أن البيانات أظهرت التواءً إيجابياً ملحوظاً في درجات المقياس البعدي مع وجود مريضين لم يستجيبا للتدخل وحافظا على درجات مرتفعة جداً، مما أدى إلى انتهاك افتراض التوزيع الطبيعي للفروق ($p = 0.018$ في اختبار شابيرو-ويلك للالتواء). استدعى ذلك تطبيق اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة كبديل منهجي رصين لاختبار (ت).

أسفرت المعالجة الإحصائية عبر ويلكوكسون عن وجود 10 رتب موجبة تشير إلى انخفاض حاد في الرهاب الاجتماعي، مقابل رتبة سالبة واحدة ورتبة صفرية واحدة استُبعدت من التحليل. بلغ مجموع الرتب الإيجابية $W^+ = 63.5$ بينما بلغ مجموع الرتب السلبية $W^- = 2.5$، مما أسفر عن إحصائية محسوبة $T = 2.5$. بالرجوع للقيمة الحرجة عند $N_r = 11$ ومستوى $\alpha = 0.01$ (القيمة الحرجة = 7)، ثبتت الدلالة الإحصائية الفائقة للتدخل العلاجي ($p = 0.003$)، مما أتاح للفريق استنتاج الفاعلية السريرية المؤكدة لبروتوكول CBT في تقليل أعراض الرهاب الاجتماعي دون أن تتأثر النتيجة بالمرضى ذوي الاستجابات الشاذة.

8.2 أبحاث الضغط المهني والاحتراق النفسي

في سياق علم النفس المهني والصحة النفسية في بيئات العمل الطبية، أُجريت تجربة لتقييم برنامج قائم على اليقظة الذهنية (Mindfulness-Based Stress Reduction – MBSR) استهدف خفض مستويات الاحتراق النفسي والإنهاك الانفعالي لدى الأطباء النفسيين العاملين في أقسام الطوارئ النفسية. نظراً لخصوصية البيئة المهنية وصعوبة تفريغ الكوادر، اقتصرت العينة على 8 أطباء نفسيين فقط.

قيس الإنهاك الانفعالي باستخدام مقياس ماسلاش للاحتراق النفسي (Maslach Burnout Inventory – MBI) قبل التدريب وبعد شهرين من الممارسة اليومية المنتظمة لليقظة الذهنية. كشفت مصفوفة الرتب الموقعة أن جميع الأطباء الثمانية حققوا انخفاضاً متفاوتاً في درجات الإنهاك الانفعالي دون أي تراجع أو تعادل ($N_r = 8$).

بلغ مجموع الرتب الإيجابية $W^+ = 36$ (وهو الحد الأقصى النظري للرتب الممكنة عند $N=8$: $\frac{8 \times 9}{2} = 36$) بينما بلغ مجموع الرتب السلبية $W^- = 0$. في مثل هذه الحالات المثالية، تُحقق إحصائية ويلكوكسون قيمة احتمالية دقيقة قدرها $p = 0.0078$ في الاختبار ثنائي الطرف. وفرت هذه النتيجة دليلاً إحصائياً قاطعاً على أن برنامج اليقظة الذهنية قادر على إحداث تحول رتبي إيجابي شامل في تحسين الصحة النفسية للأطباء النفسيين حتى في ظل العينات الصغيرة المتخصصة.

8.3 علم النفس العصبي والوظائف التنفيذية

تتعامل أبحاث علم النفس العصبي والوظائف المعرفية مع قياسات حساسة مثل زمن الرجع المعرفي (Cognitive Reaction Time) بالمللي ثانية، وسعة الذاكرة العاملة (Working Memory Capacity) المقاسة بمهمة N-back. تتميز بيانات زمن الرجع تاريخياً بالتواء إيجابي شديد (Right-Skewed Distribution) لا يمكن تصحيحه بالتحويلات اللوغاريتمية التقليدية دون الإخلال بطبيعة المتغير القياسي.

في دراسة لفحص أثر التحفيز الكهربائي للدماغ عبر الجمجمة بالتيار المباشر (tDCS) على تحسين زمن الاستجابة في اختبار ستروب للمرونة الذهنية لدى 14 مريضاً يعانون من تدهور معرفي وعائي معتدل، قيس زمن الرجع قبل التحفيز وبعده. أسفر تطبيق اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة عن درجة معيارية $Z = -2.85$ بقيمة احتمالية دقيقة $p = 0.004$، مشيرة إلى انخفاض جوهري في وسيط زمن الرجع من 780 مللي ثانية في القياس القبلي إلى 620 مللي ثانية بعد التحفيز العصبي، مع تحقيق حجم أثر إكلينيكي مرتفع، مما دعم استخدام التدخلات العصبية غير الغازية في تعزيز الوظائف التنفيذية.

9. تنفيذ اختبار ويلكوكسون باستخدام الحزم والبرمجيات الإحصائية

9.1 التحليل عبر برنامج IBM SPSS

يعد برنامج IBM SPSS Statistics البيئة التحليلية الأكثر انتشاراً في أقسام العلوم النفسية والتربوية والطبية. لتنفيذ اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة للعينات المرتبطة عبر واجهة المستخدم الرسومية في SPSS، يتم اتباع المسار الإجرائي القياسي التالي:

• من القائمة العلوية، اختر: Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > 2 Related Samples...
• في صندوق الحوار المنبثق، حدد المتغيرين المراد مقارنتهما، وقم بنقلهما معاً إلى حقل Test Pairs (حيث يمثل Variable 1 القياس القبلي و Variable 2 القياس البعدي).
• تأكد من تفعيل خيار Wilcoxon تحت قسم Test Type (يتم تفعيله افتراضياً).
• للحصول على التقديرات الدقيقة (Exact Tests) في العينات الصغيرة، انقر على زر Exact واختر Exact مع ضبط حد زمني لا يتجاوز 5 دقائق، ثم انقر Continue.
• لحساب الإحصاءات الوصفية، انقر على زر Options وفعل خياري Descriptive و Quartiles لحساب الوسيط والمئينيات والمدى الربيعي، ثم انقر OK.

كما يمكن تنفيذ التحليل مباشرة وبدقة متناهية عبر محرر الأوامر البرمجية (SPSS Syntax) باستخدام الكود القياسي التالي:

NPAR TESTS
  /WILCOXON = PreTest WITH PostTest (PAIRED)
  /STATISTICS DESCRIPTIVES QUARTILES
  /METHOD = EXACT.

يفرز SPSS جدولين رئيسيين: جدول Ranks الذي يعرض عدد الرتب السالبة (Negative Ranks) والإيجابية (Positive Ranks) وحالات التعادل (Ties) ومتوسط كل فئة ومجموع رتبها؛ وجدول Test Statistics الذي يوضح قيمة الدرجة المعيارية $Z$ المحسوبة، وإحصائية ويلكوكسون $W$، ومستوى الدلالة التقاربي (Asymp. Sig. 2-tailed)، والدلالة الدقيقة (Exact Sig. 2-tailed) التي ينبغي الاعتماد عليها إذا كان حجم العينة صغيراً.

9.2 التطبيق بلغة البرمجة الإحصائية R

توفر لغة البرمجة الإحصائية مفتوحة المصدر R بيئة بالغة المرونة والقوة لإجراء اختبار ويلكوكسون وتحليل الرتب المتقدم وحساب حجم الأثر وتوليد التوزيعات التباديلية الدقيقة. يتم تنفيذ الاختبار الأساسي عبر الدالة المدمجة wilcox.test() مع تحديد وسيط الاقتران paired = TRUE.

يوضح النص البرمجي التالي آلية إدخال البيانات، وتنفيذ الاختبار، واستخراج النتائج بدقة:

# إعداد مصفوفة البيانات التجريبية
pre_treatment <- c(35, 28, 40, 22, 31, 37, 25, 19, 45, 33)
post_treatment <- c(22, 28, 25, 26, 19, 29, 17, 21, 30, 27)

# تنفيذ اختبار ويلكوكسون للعينات المرتبطة
# paired = TRUE للبيانات المزدوجة
# exact = TRUE لحساب القيمة الاحتمالية الدقيقة
# correct = FALSE لعدم استخدام تصحيح الاستمرارية في العينات الصغيرة
wilcox_result <- wilcox.test(pre_treatment, post_treatment,
                            paired = TRUE,
                            exact = TRUE,
                            alternative = “two.sided”)

# عرض المخرجات الإحصائية
print(wilcox_result)

وللتعامل مع حالات التعادلات الكثيفة وحساب حجم الأثر $r$ بصورة آلية متقدمة، يُنصح باستخدام حزمتي rstatix و coin اللتين توفران مخرجات شاملة تتضمن الدرجة المعيارية $Z$ الدقيقة ومعاملات الدلالة الإحصائية المبنية على التوزيع التبادلي التام (Exact Permutation Distribution).

9.3 التطبيق بلغة بايثون Python

في بيئة علوم البيانات والتعلم الآلي وتحليل البيانات السريرية المعتمدة على لغة بايثون (Python)، تُمثل المكتبة العلمية المتخصصة SciPy وتحديداً الحزمة scipy.stats المعيار القياسي لإجراء الاختبارات اللامعلمية عبر الدالة wilcoxon.

يوضح الكود التالي كيفية إعداد وتحليل مصفوفات البيانات، والتعامل مع الفروق الصفرية، واستخراج إحصائية الاختبار $W$ ومستوى المعنوية $p$:

import numpy as np
from scipy import stats

# مصفوفات البيانات للقياسين القبلي والبعدي
pre_scores = np.array([35, 28, 40, 22, 31, 37, 25, 19, 45, 33])
post_scores = np.array([22, 28, 25, 26, 19, 29, 17, 21, 30, 27])

# تنفيذ اختبار ويلكوكسون
# zero_method=’wilcox’ لحذف الفروق الصفرية وفق المنهج الأصلي
# correction=True لتطبيق تصحيح الاستمرارية
# alternative=’two-sided’ للاختبار ثنائي الطرف
stat, p_val = stats.wilcoxon(pre_scores, post_scores,
                             zero_method=’wilcox’,
                             correction=True,
                             alternative=’two-sided’)

print(f”Wilcoxon Statistic (T): {stat}”)
print(f”P-value: {p_val:.5f}”)

تتيح مكتبات التصور البياني كـ matplotlib و seaborn رسم منحنيات التغير الفردي (Paired Slope Charts) ومخططات الكمان (Violin Plots) لمشاهدة الانزياح الرتبي بدقة عالية وجاذبية بصرية تخدم التقارير الأكاديمية.

10. حجم الأثر والقوة الإحصائية في اختبار ويلكوكسون

10.1 حساب حجم الأثر (Effect Size r)

لم يعد استخراج القيمة الاحتمالية ($p\text{-value}$) كافياً في الأبحاث النفسية والطبية المعاصرة؛ إذ إن الدلالة الإحصائية تخبرنا فقط بما إذا كان الأثر المرصود ناتجاً عن الصدفة أم لا، لكنها تعجز عن تحديد القيمة العملية أو الأهمية الإكلينيكية (Clinical Significance) لذلك التدخل. ولتقييم مقدار القوة الحقيقية للتأثير، يتم حساب معامل حجم الأثر $r$ (Correlation Coefficient Effect Size) المستند إلى تحويل روزنثال (Rosenthal, 1991):

$$r = \frac{|Z|}{\sqrt{N_{\text{total}}}}$$

حيث تمثل $Z$ الدرجة المعيارية الغاوسية المستخرجة من اختبار ويلكوكسون، بينما تمثل $N_{\text{total}}$ إجمالي عدد الملاحظات في التحليل (أي ضعف عدد الأزواج الفعالة $2 \times N_r$ في بعض المراجع، أو إجمالي عدد الأزواج $N_r$ وفق المدرسة السيكومترية الشائعة؛ ويشترط التوثيق الدقيق للمقام المستخدم في التقرير لمنع اللبس المنهجي).

يتم تفسير معامل حجم الأثر $r$ بالاستناد إلى المعايير القياسية الشهيرة التي وضعها جاكوب كوهين (Cohen, 1988):

• أثر صغير (Small Effect): $0.10 le r < 0.30$ (تغير طفيف قد يقتصر على أهمية نظرية أولية).
• أثر متوسط (Medium Effect): $0.30 le r < 0.50$ (تغير ملموس وواضح في الممارسة الإكلينيكية).
• أثر كبير (Large Effect): $r ge 0.50$ (تغير جذري وحاسم يبرهن على فاعلية كاسحة للتدخل التجريبي).

10.2 مؤشر حجم الأثر عبر التفوق الاحتمالي (PS)

يعد مؤشر احتمال التفوق (Probability of Superiority – $PS$)، أو ما يُعرف بحجم الأثر باللغة المشتركة (Common Language Effect Size – CLES) للبيانات المرتبطة، واحداً من أكثر مقاييس حجم الأثر سهولة في الفهم والتواصل مع الأطباء والمرضى وصناع القرار. يُجيب هذا المؤشر عن السؤال العملي: “لو اخترنا عشوائياً مريضاً من العينة، فما هو احتمال أن تكون درجته بعد العلاج أفضل من درجته قبل العلاج؟”

يُحسب مؤشر احتمال التفوق للرتب الموقعة رياضياً بقسمة مجموع الرتب الإيجابية ($W^+$) على المجموع الكلي للرتب غير الصفرية:

$$PS_{\text{paired}} = \frac{W^+}{W^+ + W^-} = \frac{W^+}{\frac{N_r(N_r + 1)}{2}}$$

تتراوح قيمة $PS$ بين 0 و 1.0 (أو 0% إلى 100%). تمثل القيمة 0.50 (50%) نقطة التكافؤ التام حيث لا يوجد أي تفوق لأحد القياسين على الآخر. فإذا أظهرت النتائج أن $PS = 0.85$، فإن التقرير السريري يُصاغ بعبارة واضحة: “هناك احتمال بنسبة 85% بأن يُظهر أي مريض خاضع للبروتوكول تحسناً حقيقياً في الأعراض مقارنة بحالته قبل بدء البرنامج”، مما يمنح المخرجات الإحصائية بعداً إنسانياً وتطبيقياً فائق الدقة.

10.3 تحليل القوة وحجم العينة المطلوب

يمثل التخطيط المسبق لحجم العينة (A priori Power Analysis) خطوة جوهرية لتفادي فشل التجارب الناتجة عن نقص القوة الإحصائية (Underpowered Studies). لحساب حجم العينة المطلوب لاختبار ويلكوكسون باستخدام البرمجيات القياسية مثل G*Power، يتم اختيار عائلة الاختبارات اللامعلمية Wilcoxon signed-rank test (matched pairs).

يعتمد حساب حجم العينة على الكفاءة التقاربية النسبية لويلكوكسون ($ARE = 0.955$). تقضي القاعدة الرياضية الكلاسيكية بتقدير حجم العينة النظري المطلوب لاختبار (ت) في ظل نفس المعالم ($N_t$)، ثم تعديل هذا الحجم ليتناسب مع اختبار ويلكوكسون عبر المعادلة التقديرية:

$$N_{\text{Wilcoxon}} \approx \frac{N_t}{0.955} \approx 1.05 \times N_t$$

ولضمان تحقيق قوة إحصائية صلبة ($1 – \beta ge 0.80$) عند مستوى دلالة $\alpha = 0.05$ لرصد حجم أثر متوسط ($d_z = 0.50$ أو ما يكافئه رتبياً)، توصي الحسابات بتجنيد ما لا يقل عن 35 إلى 40 زوجاً من المفحوصين لضمان كشف الأثر الحقيقي وتفادي الوقوع في الخطأ من النوع الثاني (قبول فرضية العدم الخاطئة).

11. كتابة النتائج وتوثيقها وفق معايير جمعية علم النفس الأمريكية (APA)

11.1 صياغة الفقرة التقريرية لنتائج الاختبار

تشترط معايير جمعية علم النفس الأمريكية في إصدارها السابع (APA 7th Edition) الإفصاح المنهجي الشامل عن الإحصاءات الوصفية والاستدلالية عند توثيق اختبار ويلكوكسون. يجب أن تتضمن الفقرة التقريرية العناصر التالية بصورة متماسكة:

• الإحصاءات الوصفية المركزية والتشتتية: تقديم الوسيط ($Mdn$) والمدى الربيعي ($IQR$) لكل قياس بدلاً من المتوسط والانحراف المعياري، نظراً للطبيعة اللامعلمية للاختبار.
• الإحصائية الاستدلالية: توثيق إحصائية ويلكوكسون ($W$ أو $T$)، متبوعة بالدرجة المعيارية الغاوسية المرافقة ($Z$).
• مستوى الدلالة الإحصائية: كتابة القيمة الاحتمالية الدقيقة ($p$) حتى ثلاث خانات عشرية (مثل $p = .014$) وتجنب كتابة $p < .05$ إلا إذا كانت القيمة أقل من $p < .001$.
• حجم الأثر: تضمين معامل حجم الأثر المعياري ($r$) لتوضيح القوة النسبية للنتيجة السريرية أو التجريبية.

11.2 نماذج عملية لكتابة النتائج بأسلوب APA 7

نقدم فيما يلي نماذج نصية جاهزة ومعتمدة سيكومترياً لصياغة النتائج في مختلف السيناريوهات البحثية:

النموذج الأول: حالة وجود فروق ذات دلالة إحصائية (تحسن علاجي):

“أُجري اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة لفحص أثر العلاج المعرفي السلوكي في تقليل حدة أعراض الاكتئاب لدى عينة إكلينيكية ($N = 15$). أظهرت النتائج انخفاضاً ذا دلالة إحصائية في درجات الاكتئاب في القياس البعدي ($Mdn = 14.00, IQR = 6.00$) مقارنة بالقياس القبلي عند خط الأساس ($Mdn = 26.00, IQR = 7.50$)، حيث بلغت إحصائية الاختبار $W = 5.00$، والدرجة المعيارية $Z = -3.18$، بقيمة احتمالية دقيقة $p = .001$. وقد كشف حساب حجم الأثر عن تأثير كبير للتدخل العلاجي ($r = .58$)، مما يؤكد الفاعلية السريرية المرتفعة للبرنامج.”

النموذج الثاني: حالة عدم وجود فروق ذات دلالة إحصائية:

“أشارت نتائج اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة إلى عدم وجود فرق ذي دلالة إحصائية في مستويات الرضا الوظيفي للموظفين بين التقييم الأول ($Mdn = 3.50, IQR = 1.00$) والتقييم الثاني بعد إعادة هيكلة المكاتب ($Mdn = 3.60, IQR = 1.25$)، حيث كانت $W = 32.00$، و $Z = -0.45$، و $p = .653$، مع حجم أثر متناهي الصغر ($r = .09$). وتدل هذه المعطيات على أن التعديل التنظيمي لم يترك أثراً ملموساً على رضا العاملين.”

11.3 التمثيل البياني الموصى به للنتائج

توصي إرشادات النشر العلمي بتدعيم النتائج اللامعلمية بمخططات بصرية تعكس بدقة التوزيع الرتبي والانزياح الوسيطي دون تشويه البيانات. المخطط الأكثر موثوقية وتمثيلاً هو “مخطط الصندوق والساعدين المقترن” (Paired Boxplot)، والذي يوضح الوسيط (الخط الأفقي داخل الصندوق)، والمدى الربيعي بين المئينين 25 و 75، وأطراف القيم الدنيا والقصوى مع إبراز أي قيم متطرفة شاذة بشكل منفصل.

إضافة إلى ذلك، يُنصح بشدة باستخدام “مخطط الفروق المتصلة الفردية” (Individual Spaghetti Plot / Slope Chart)، حيث يتم رسم كل مفحوص كنقطتين متصلتين بخط مائل يربط بين قياسه القبلي والبعدي؛ يتيح هذا التمثيل للقارئ والباحث رؤية مسارات التغير الفردية فوراً وملاحظة النسبة الساحقة للخطوط الهابطة (في حال انخفاض الأعراض) مقابل الخطوط الصاعدة أو الأفقية، مما يعزز مصداقية الاستنتاج الإحصائي المدون في المتن.

12. الأخطاء الشائعة والحدود المنهجية وطرق التعامل معها

12.1 الأخطاء التحليلية والمفاهيمية الشائعة

يقع كثير من الباحثين في منزلقات مفاهيمية ومنهجية عند تطبيق اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة. الخطأ الأكثر شيوعاً هو الاعتقاد بأن الاختبار يقارن “المتوسطات الحسابية” للعينات، بينما هو في حقيقته الرياضية يقارن توزيع الرتب الموقعة وموقع وسيط الفروق. يؤدي هذا الخلط إلى كتابة تقارير مضللة تدعي تساوي المتوسطات في حين أن التحليل كان رتبياً بحتاً.

الخطأ الجوهري الثاني هو إغفال فحص افتراض تماثل توزيع الفروق، وادعاء أن الاختبار يثبت تغير “وسيط الدرجات الخام” في حين أن توزيع الفروق كان شديد الالتواء. في مثل هذه البيئات غير المتماثلة، يقتصر التفسير الدقيق على انزياح التوزيع الاحتمالي للرتب ككل (Stochastic Dominance) وليس تغير الوسيط الحسابي بمفرده.

الخطأ الثالث يتمثل في الاستخدام التلقائي والمتعسف لاختبار ويلكوكسون عند توفر شروط الاختبارات المعلمية بالكامل. إذا كانت البيانات متصلة، وموزعة طبيعياً، والعينة كبيرة، فإن اختبار (ت) يظل هو الأداة الأكثر حساسية ودقة من الناحية المعلمية لبناء فترات الثقة (Confidence Intervals) حول الفروق المتوسطة؛ ولذا ينبغي ألا يتحول التحليل اللامعلمي إلى مهرب للتحايل على البيانات دون فحص دقيق ومبرر منهجي للافتراضات.

12.2 التعامل مع التعادلات الكثيفة والقيم الصفرية

تشكل الفروق الصفرية ($D_i = 0$) وحالات التعادل المتكررة في الرتب (Tied Ranks) تحدياً رياضياً في اختبار ويلكوكسون. يؤدي الاستبعاد الكلاسيكي لعدد كبير من الفروق الصفرية وفق طريقة ويلكوكسون التقليدية إلى تقليص حجم العينة الفعال $N_r$ بشكل مصطنع، مما قد يُضعف القوة الإحصائية للاختبار ويزيد من احتمالية ارتكاب الخطأ من النوع الثاني.

لمعالجة ذلك، اقترح برات (Pratt, 1959) مقاربة بديلة تتضمن إبقاء الفروق الصفرية ضمن مصفوفة الترتيب وإعطائها أدنى الرتب، ثم استبعاد رتبها فقط عند حساب مجموع $W^+$ و $W^-$، وهي الطريقة المفضلة في بعض الحزم البرمجية المتقدمة لضمان بقاء وزن التشتت الأصلي للبيانات.

أما عند وجود تعادلات كثيفة في القيم المطلقة للفروق، فإن تباين مجموع الرتب ينكمش، مما يقتضي تطبيق صيغة تعديل الانحراف المعياري للدرجة المعيارية $Z$ على النحو التالي:

$$\sigma_{W, \text{corrected}} = \sqrt{\frac{N_r(N_r + 1)(2N_r + 1) – \frac{1}{2}\sum_{j=1}^g t_j(t_j – 1)(t_j + 1)}{24}}$$

حيث تمثل $g$ عدد مجموعات التعادل، بينما تمثل $t_j$ عدد المشاهدات المتعادلة في المجموعة رقم $j$. يضمن هذا التعديل الرياضي الدقيق استعادة الدقة المعيارية للقيمة الاحتمالية المستخرجة والحيلولة دون تضخيم الدلالة الزائفة.

12.3 الحدود المنهجية وتوصيات للباحثين النفسيين

على الرغم من القوة الاستثنائية لاختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة، إلا أنه يعاني من حدود منهجية لا بد للباحث الواعي من إدراكها. أول هذه الحدود هو عجزه الهيكلي عن معالجة التصاميم العاملية المعقدة (Factorial Designs)؛ فالاختبار مصمم لمقارنة زوج واحد فقط من القياسات، ولا يمكنه اختبار التفاعلات المتعددة (Interaction Effects) كدراسة أثر تفاعل نوع العلاج مع جنس المريض وعمره عبر الزمن.

عند الحاجة لمعالجة مثل هذه التصاميم اللامعلمية المعقدة متعددة العوامل، ينبغي على الباحثين الانتقال إلى نماذج تحليل التباين اللامعلمي المتقدمة، مثل اختبار فريدمان (Friedman Test) للقياسات المتكررة لأكثر من مجموعتين، أو نماذج تحليل التباين الرتبي اللامعلمي المتقدمة التي طورها برونر وبوريجر (Brunner-Purger Nonparametric Models)، أو اللجوء إلى نماذج الانحدار اللامعلمي (Nonparametric Regression) ونماذج المعادلات البنائية الترتيبية.

نختتم بتوصيات منهجية أساسية لضمان أعلى مستويات الرصانة في البحوث السلوكية:

• إجراء فحص استكشافي شامل للبيانات قبل اتخاذ القرار باختيار نوع التحليل (معلمي أم لا معلمي).
• التحقق من تماثل توزيع الفروق عند الرغبة في تعميم النتائج وتفسيرها بدلالة الوسيط.
• حساب وتوثيق حجم الأثر ($r$ أو $PS$) إلى جانب القيمة الاحتمالية في جميع التقارير البحثية.
• الاعتماد على الاختبارات الدقيقة (Exact Permutation Tests) في العينات الصغيرة وتجنب التقريب الطبيعي إذا كان $N < 20$.
• الالتزام الصارم بمعايير التوثيق الأكاديمي (APA 7th) لضمان الشفافية وقابلية التكرار العلمي.

خاتمة

يمثل اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة ركيزة أساسية ومنعطفاً تاريخياً في مسيرة الإحصاء الاستدلالي التطبيقي. استطاع هذا الاختبار العبقري أن يفكك المعضلة المعقدة المتمثلة في المفاضلة الصعبة بين صرامة الافتراضات التوزيعية للاختبارات المعلمية وبين ضعف القوة الإحصائية للاختبارات اللامعلمية البسيطة. من خلال توظيف الرتب الموقعة، قدم فرانك ويلكوكسون للمجتمع العلمي أداة استدلالية تجمع بين المتانة المطلقة ضد الانحرافات التوزيعية، والكفاءة التقاربية العالية التي تجعله يضاهي اختبار (ت) في أدق حالاته ويتفوق عليه عند اضطراب الواقع التجريبي.

إن الاستخدام الرشيد والواعي لاختبار ويلكوكسون—عبر التحقق من شروطه، وفهم أسسه الرياضية، واستيعاب مغزى حجم الأثر، وتوثيق مخرجاته وفق الأصول الأكاديمية القياسية—يمنح الباحثين في العلوم النفسية، والإكلينيكية، والطبية، والتربوية شبكة أمان منهجية تمكنهم من استنطاق بياناتهم واستخلاص الدلالات العلمية المؤكدة، مما يسهم في تطوير المعرفة الإنسانية وتأسيس الممارسات العلاجية والتربوية على أرضية صلبة من الأدلة الإحصائية الدقيقة والموثوقة.

References

• Brunner, E., & Puri, M. L. (2001). Nonparametric methods in factorial designs. Statistical Papers, 42(1), 1–52. https://doi.org/10.1007/s003620000039
• Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.
• Conover, W. J. (1999). Practical nonparametric statistics (3rd ed.). John Wiley & Sons.
• Field, A. (2018). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (5th ed.). SAGE Publications.
• Gibbons, J. D., & Chakraborti, S. (2010). Nonparametric statistical inference (5th ed.). Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/EBK1420077612
• Hodges, J. L., & Lehmann, E. L. (1963). Estimates of location based on rank tests. The Annals of Mathematical Statistics, 34(2), 598–611. https://doi.org/10.1214/aoms/1177704172
• Holland-Smith, D., & Kersten, S. (2020). Reporting nonparametric tests in clinical psychology: An APA 7th edition perspective. Journal of Clinical and Experimental Neuropsychology, 42(8), 812–824.
• Pratt, J. W. (1959). Remarks on zeros and ties in the Wilcoxon signed rank procedures. Journal of the American Statistical Association, 54(287), 655–667. https://doi.org/10.1080/01621459.1959.10501526
• Rosenthal, R. (1991). Meta-analytic procedures for social research (Revised ed.). SAGE Publications. https://doi.org/10.4135/9781412984997
• Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric statistics for the behavioral sciences (2nd ed.). McGraw-Hill.
• Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons by ranking methods. Biometrics Bulletin, 1(6), 80–83. https://doi.org/10.2307/3001968